高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究一恒成立或存在性问题(原卷版+解析)

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【例1-1】(1)已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．若a＝1，∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的最大值．
(2)已知函数.若存在，使得，求实数的取值范围
【例1-2】已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．
题型二 函数单调性求参数范围
【例2-1】已知函数．
(1)求的单调递增区间； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
题型三 端点值问题
【例3-1】已知函数，．
(1)若，求函数的单调区间：
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【请完成课时作业（十九）】
【课时作业（十九）】
1．已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是．
(1)求a，b的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
2．设函数，，是自然对数的底数．
(1)若，求函数的极值； (2)当时，，求的取值范围．
3．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性，并求出极值； (2)当时，，求的取值范围.
4．已知函数．
(1)讨论的单调性； (2)若，求a的取值范围．
5．已知．
(1)讨论函数的单调性； (2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
6．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有极值点，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
7．已知函数，（其中）．
(1)当时，证明函数的图象与轴正半轴只有一个交点；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围．
专题研究一 恒成立或存在性问题
编写：廖云波
题型一 分离参数法求参数范围
【例1-1】(1)已知函数f（x）＝ax﹣1﹣lnx（a∈R）．若a＝1，∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的最大值．
(2)已知函数.若存在，使得，求实数的取值范围
【答案】（1）1.(2)
【解析】
【分析】
（1）解：a＝1，从而f（x）＝x﹣1﹣lnx．因此f（x）≥bx﹣2 ，即1，令g（x）＝1，则，由≥0得x≥e2则g（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+∞）上递增，，故实数b的最大值是1．
（2）由参变量分离法可得出，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
(2)解：存在，使得可得，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
【例1-2】已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在；最小值为3
【解析】
【分析】
（1）求导，然后分与讨论即可求解
（2）由题意可得恒成立，令，则由题意有，利用导数法求出的最大值即可求解
(1)
∵，
当，，
∴在单调递增
当时，，
令，得，得
∴在单调递增，在单调递减
综上：时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减；
(2)
∵，
∴，
∴，
∴
令，
∴
令，
∴在单调递减，
∵
∵
∴，使得，即，
当，，，单调递增，
当，，，单调递减，
∴，
∵，，
∴，
∴m的最小值为3
题型二 函数单调性求参数范围
【例2-1】已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)见详解；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导，分类解不等式可得；
（2）根据函数单调性分类求得，然后解可得.
(1)
函数的定义域为
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
当时，不等式无实数解.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，无单调递增区间.
(2)
由（1）知，当时，在上单调递减，所以，显然恒成立；
当时，在上单调递减，所以，显然恒成立；
当时，在上单调递增，在上单调递减，所以
因为当时恒成立，所以，解得.
综上，实数m的取值范围为
题型三 端点值问题
【例3-1】已知函数，．
(1)若，求函数的单调区间：
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)减区间为，增区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）由可求得的值，再利用导数与函数单调性的关系可求得函数的单调增区间和减区间；
（2）令，，只需，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.
(1)
解：因为，该函数的定义域为，，
所以，，解得.
此时，
令，其中，，
所以，函数在上单调递增，且，
当时，，则；当时，，则.
所以，函数的减区间为，增区间为.
(2)
解：令，，只需，
可得，，
记，，则，，
①当时，，则函数在上为增函数，
所以，，所以，函数在上为减函数，
所以，，此时当时，恒成立；
②当时，令，则，
故函数在上单调递减，所以，，
同①可知，当时，恒成立；
③当时，由②可知，函数在上为减函数，所以，，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，则，
所以，，
所以，，
所以，存在使得，
当时，，此时函数在上单调递增，
此时，则函数在上单调递增，
此时，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【请完成课时作业（十九）】
【课时作业（十九）】
1．已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是．
(1)求a，b的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数表示切线的斜率，列方程组即可求得；（2）利用分离参数法得到恒成立.令，利用导数判断出在上单调递减，在上单调递增，求出的最小值，即可得到实数m的取值范围.
(1)
，
∵曲线在点处的切线方程是，
∴，，∴，，
解得，．
(2)
由（1）得，，
由，得，
∵，∴可化为恒成立，
令，则，
当时，；当时，．
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，∴，
即实数m的取值范围为．
2．设函数，，是自然对数的底数．
(1)若，求函数的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出，利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义求解即可；
（2）求出，，利用导数研究函数的单调性，确定函数的取值情况，由此分析求解即可．
(1)
解：当时，函数，
则，
令，解得，，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值；
(2)
（2）由题意，令，且，
则，且，
令，
，且，
①当，即时，，所以，则单调递增，
所以，则在上单调递增，
所以，符合题意；
②当，即时，，，
所以存在，使得，
当时，，则单调递减，
故，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
3．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性，并求出极值；
(2)当时，，求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值为1，无极大值；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用导数求解即可；
（2）当时，不等式等价于，然后利用导数求出右边的最大值即可.
(1)
当时，，定义域为，
，显然，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在时，取得极小值为，无极大值；
(2)
由题意得，不等式为 ，
①当时，不等式为：，显然成立，符合题意，此时；
②当时，不等式等价于.
令 ，
则 .
令，则，
而，所以，所以在上单调递减，
所以，即.
从而在上单调递减，
所以，即在上恒成立.
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，在处取得极大值，也是最大值，.
因此，.
综上可得，实数的取值范围是.
4．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增；
(2).
【解析】
【分析】
（1）对函数f(x)求导，然后分为和两种情况去讨论即得；
（2）分为和两种情况讨论，在时，求解函数的极小值，进而即得.
(1)
由题意知：．
当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增．
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增．
(2)
当时，，即不合题意；
当时，由（1）可知，
则，即．
综上，a的取值范围为．
5．已知．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，分别讨论及时的正负，即可得到单调性；
（2）将代入到不等式得到，再对求导判断单调性得到最大值，并让其小于0，即可得到m的取值范围．
(1)
函数的定义域为，
，
当时，．
当时，方程的两个实数根为
，，
当时，；
当时，．
综上可知，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
(2)
不等式，即．
令，
则．
当时，恒成立，则在上单调递增，
而，可知不恒成立．
当时，令，解得；令，解得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故只需即可．
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以．故实数m的取值范围为．
6．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有极值点，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)3
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，对分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）由（1）可知，即可得到的解析式，参变分离可得在上恒成立．构造函数利用导数求出函数的最大值，即可得解.
(1)
解：因为定义域为，
所以，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
(2)
解：由（1）可知，若有极值点，
则，且，所以，所以，
因为关于的不等式恒成立，
所以在上恒成立．
设，则，
设，，所以在上单调递减，
，
．
所以存在，使得，且当时，，即，单调递增，
当时，，即，单调递减，
所以，其中满足，
所以，设的最小值为，则，
由得，．
当时，，所以，即．
所以整数的最小值为3．
7．已知函数，（其中）．
(1)当时，证明函数的图象与轴正半轴只有一个交点；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，确定函数的单调性，结合零点存在定理证明结论成立；
（2）分类讨论，时，由（1）得存在使，即，是极小值点，由，需引入新函数，确定函数的单调性，得出的范围，及时同样由单调性证明求解．
(1)
证明：∵，∴，
∴在上为增函数，又，
∴，，
所以，函数的图象与轴正半轴只有一个交点．
(2)
解：当时，，
由（1）可知，存在使，即，
∴当时，，在上为减函数；
当时，，在上为增函数，
∴，
由，知，设，则，
∴在上为减函数，又，
∴当时，；当时，，
∴存在，使不等式成立，此时；
当时，由（1）知，在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以不存在，使不等式成立，
当时，取，即，所以，
所以存在，使不等式成立，
综上所述，的取值范围是或．