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新高考数学二轮专题《导数》第13讲 导数解答题之构造新函数类（2份打包，解析版+原卷版）
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第13讲 导数解答题之构造新函数类1．已知函数，，其中，均为实数． （1）求的极值；（2）设，，若对任意的，，，恒成立，求的最小值；（3）设，若对任意给定的，，在区间，上总存在、，使得成立，求的取值范围．【解析】解：（1），令，解得，，时，；时，，根据极大值的定义知：极大值是（1），无极小值．（2）当，时，，所以在，上，所以在，上是增函数．设，所以在，上，所以在，上为增函数．设，则恒成立，变成恒成立，即：恒成立，即：．设，则在，上为减函数．在，上恒成立．恒成立．设，所以，因为，，所以，所以，所以为减函数．在，上的最大值为（3）．，的最小值为：．（3）由（1）知在，上单调递增，在，单调单调递减，又，（e），所以的值域是，．；当时，，在，为减函数，由题意知，在，不是单调函数；故不合题意；当时，，由于在，上不单调，所以，即；①此时在递减，在，递增；（e），即，解得；②所以由①②，得；，，（1）满足条件．下证存在，使得；取，先证，即证；③设，则在，时恒成立；在，上递增，，所以③成立；再证；，时，命题成立．所以的取值范围是：，．2．已知．（1）当时，①求的图象在点处的切线方程；②当时，求证：．（2）若存在，，使得成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）时，，，①可得，，所以在处的切线方程为；②证明：设，，，所以，在，上递增，所以，所以，在，上递增，所以，即有当时，；（2）存在，，使得成立存在，，使得，设，，，可得在，单调增，即有，①当时，，可得在，单调增，则，解得；②当时，，设，，，另可得，可得，则在单调递减，在，单调递增．则．设，，，，可得在单调递增，即有，则在单调递增，则，则，则当时，恒成立，不合题意．综上可得，的取值范围为．3．已知函数．（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）设，且有两个极值点，，其中，若恒成立，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）易求 的定义域，，，，，解得： 或，解得：，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，．（Ⅱ）由题意知，，令，则，由有两个极值点，，得，又因为，所以，所以，令，，，因为，，所以在，1单调递减，故（1），综上所述．4．已知函数为常数）有两个极值点．（1）求实数的取值范围；（2）设的两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的最小值．【解析】解：（1）由题设知，函数的定义域为，且有两个不同的正根，即两个不同的正根，，则，，，，，，，，，，，是的两个极值点，符合题意，；（2），，令，则，，，在上单调递减，，不等式恒成立，，是的最小值．5．记，表示，中的最大值．如，．已知函数，，，．（1）求函数在，上的值域；（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）由题意设，则，所以时，递增，时递减，所以（1），所以即，所以，其在，上的最大值为时函数值3，取最小值为，所以函数在，上的值域，；（2）①当时，因为，所以，所以，所以，当对恒成立，则对恒成立，设，则，令得，递增，令得，递减，所以（2），所以，又，所以，．②当时，由①知对恒成立，若对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，显然不成立，即时，不满足对恒成立；综上，存在实数使得，对恒成立，的取值范围是，．6．已知函数，．（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）的导数为，曲线在处的切线斜率为，由切线的方程为，可得，解得；（2），对任意两个不等的正数，，都有恒成立，即，令，则在递增，故恒成立，即恒成立，因为，所以，即的取值范围是，．7．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；（Ⅲ）若正实数，满足，证明．【解析】解：（Ⅰ），由，得，又，所以．所以的单调减区间为，函数的增区间是．（Ⅱ）令，所以．因为，所以．令，得．所以当，；当时，．因此函数在是增函数，在，是减函数．故函数的最大值为．令，因为，又因为（a）在是减函数．所以当时，（a），即对于任意正数总有．所以关于的不等式恒成立．（Ⅲ）由，即，从而．令，则由得，．可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以（1），所以，又，因此成立．8．设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，，，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，，且，，，满足．【解析】（Ⅰ）解：由，可得，进而可得．令，解得，或．当变化时，，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间是，，，单调递减区间是．（Ⅱ）证明：由，得，．令函数，则．由（Ⅰ）知，当，时，，故当，时，，单调递减；当，时，，单调递增．因此，当，，时，，可得即，令函数，则．由（Ⅰ）知，在，上单调递增，故当，时，，单调递增；当，时，，单调递减．因此，当，，时，，可得得，即，．所以，．（Ⅲ）对于任意的正整数，，且，令，函数．由（Ⅱ）知，当，时，在区间内有零点；当，时，在区间，内有零点．所以在内至少有一个零点，不妨设为，则．由（Ⅰ）知在，上单调递增，故（1）（2），于是．因为当，时，，故在，上单调递增，所以在区间，上除外没有其他的零点，而，故．又因为，，均为整数，所以是正整数，从而．所以．所以，只要取（2），就有． ，
第13讲 导数解答题之构造新函数类1．已知函数，，其中，均为实数． （1）求的极值；（2）设，，若对任意的，，，恒成立，求的最小值；（3）设，若对任意给定的，，在区间，上总存在、，使得成立，求的取值范围．【解析】解：（1），令，解得，，时，；时，，根据极大值的定义知：极大值是（1），无极小值．（2）当，时，，所以在，上，所以在，上是增函数．设，所以在，上，所以在，上为增函数．设，则恒成立，变成恒成立，即：恒成立，即：．设，则在，上为减函数．在，上恒成立．恒成立．设，所以，因为，，所以，所以，所以为减函数．在，上的最大值为（3）．，的最小值为：．（3）由（1）知在，上单调递增，在，单调单调递减，又，（e），所以的值域是，．；当时，，在，为减函数，由题意知，在，不是单调函数；故不合题意；当时，，由于在，上不单调，所以，即；①此时在递减，在，递增；（e），即，解得；②所以由①②，得；，，（1）满足条件．下证存在，使得；取，先证，即证；③设，则在，时恒成立；在，上递增，，所以③成立；再证；，时，命题成立．所以的取值范围是：，．2．已知．（1）当时，①求的图象在点处的切线方程；②当时，求证：．（2）若存在，，使得成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）时，，，①可得，，所以在处的切线方程为；②证明：设，，，所以，在，上递增，所以，所以，在，上递增，所以，即有当时，；（2）存在，，使得成立存在，，使得，设，，，可得在，单调增，即有，①当时，，可得在，单调增，则，解得；②当时，，设，，，另可得，可得，则在单调递减，在，单调递增．则．设，，，，可得在单调递增，即有，则在单调递增，则，则，则当时，恒成立，不合题意．综上可得，的取值范围为．3．已知函数．（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）设，且有两个极值点，，其中，若恒成立，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）易求 的定义域，，，，，解得： 或，解得：，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，．（Ⅱ）由题意知，，令，则，由有两个极值点，，得，又因为，所以，所以，令，，，因为，，所以在，1单调递减，故（1），综上所述．4．已知函数为常数）有两个极值点．（1）求实数的取值范围；（2）设的两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的最小值．【解析】解：（1）由题设知，函数的定义域为，且有两个不同的正根，即两个不同的正根，，则，，，，，，，，，，，是的两个极值点，符合题意，；（2），，令，则，，，在上单调递减，，不等式恒成立，，是的最小值．5．记，表示，中的最大值．如，．已知函数，，，．（1）求函数在，上的值域；（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）由题意设，则，所以时，递增，时递减，所以（1），所以即，所以，其在，上的最大值为时函数值3，取最小值为，所以函数在，上的值域，；（2）①当时，因为，所以，所以，所以，当对恒成立，则对恒成立，设，则，令得，递增，令得，递减，所以（2），所以，又，所以，．②当时，由①知对恒成立，若对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，显然不成立，即时，不满足对恒成立；综上，存在实数使得，对恒成立，的取值范围是，．6．已知函数，．（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）的导数为，曲线在处的切线斜率为，由切线的方程为，可得，解得；（2），对任意两个不等的正数，，都有恒成立，即，令，则在递增，故恒成立，即恒成立，因为，所以，即的取值范围是，．7．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；（Ⅲ）若正实数，满足，证明．【解析】解：（Ⅰ），由，得，又，所以．所以的单调减区间为，函数的增区间是．（Ⅱ）令，所以．因为，所以．令，得．所以当，；当时，．因此函数在是增函数，在，是减函数．故函数的最大值为．令，因为，又因为（a）在是减函数．所以当时，（a），即对于任意正数总有．所以关于的不等式恒成立．（Ⅲ）由，即，从而．令，则由得，．可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以（1），所以，又，因此成立．8．设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，，，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，，且，，，满足．【解析】（Ⅰ）解：由，可得，进而可得．令，解得，或．当变化时，，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间是，，，单调递减区间是．（Ⅱ）证明：由，得，．令函数，则．由（Ⅰ）知，当，时，，故当，时，，单调递减；当，时，，单调递增．因此，当，，时，，可得即，令函数，则．由（Ⅰ）知，在，上单调递增，故当，时，，单调递增；当，时，，单调递减．因此，当，，时，，可得得，即，．所以，．（Ⅲ）对于任意的正整数，，且，令，函数．由（Ⅱ）知，当，时，在区间内有零点；当，时，在区间，内有零点．所以在内至少有一个零点，不妨设为，则．由（Ⅰ）知在，上单调递增，故（1）（2），于是．因为当，时，，故在，上单调递增，所以在区间，上除外没有其他的零点，而，故．又因为，，均为整数，所以是正整数，从而．所以．所以，只要取（2），就有． ，
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