新高考数学二轮复习解答题提分训练专题03 数列之错位相减求和（2份，原卷版+解析版）

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1．已知数列的前n项和为，，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)将原式化简后两边同除可得等差关系；
(2)利用数列的通项解出，再用错位相减法求解；
【详解】（1）,两边同除，
得，
又，
所以数列是首项为5，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知，所以.
当时，.
又也符合上式，所以（），
所以，
所以，①
，②
所以②①得
.
2．已知数列，其前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系作差即可求解；（2）根据乘公比错位相减法即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，
两式作差，可得，当时，，
所以.
（2）由题意可知，，，
那么，
可知：，
两边乘以2，
可得：，
两式作差可得：
所以，
即：.
而当时，
所以.
3．已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将条件两边同时倒，然后两边同时加3，可证明等比数列.
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由得，即，
，又，
数列为以2为首相，3为公比的等比数列；
（2）由（1）得，
，
4．已知数列的前n项和为，且，___________．请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】首先由，可得为首项为，公差为1的等差数列.
对于（1），当选①②时，代入，可得数列的通项公式，若选③，
由可得数列的通项公式；
对于（2），由（1）可知，则，后利用错位相减法可得答案.
【详解】（1），所以，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列．
若选①：由，得，即，
解得．所以，即数列的通项公式为，．
若选②：由成等比数列，得，
解得，所以，．
若选③：因为，解得，
所以，．
（2），则，
则，，
两式相减得：，
故，．
5．已知数列满足
(1)求证：为等差数列；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)将题中递推公式整理变形可得：，进而证明；
(2)结合（1）的结论得出：，利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）由，可得
因此为等差数列，且公差为.
（2）又因为，所以 ，所以
所以
得
6．已知为等差数列，为公比大于的等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题设求得等差数列的公差与等比数列的公比，即可求得和.
(2)先由(1)求得，再利用错位相减法求得其前项和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
等比数列的公比为()，由题设可得：
，即
，解得，
所以，.
（2）由(1)可得：，
，
又，
两式相减得：
，
整理得：.
7．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式；
（2）用错位相减法求数列的和．
【详解】（1）解：设的公差为，的公比为，，，
联立，整理可得，解得，
所以，.
（2）解：由（1）知，
则，①
，②
①-②，得
.
所以.
8．已知数列中，，数列的前项和为满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用与的关系可得当时，，验证知成立，由此可得结论；
（2）根据等比数列通项公式可推导得到，采用错位相减法可求得.
【详解】（1）当时，，；
当时，，
则，
又满足，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，则，；
，
则，
，
.
9．设等差数列的前n项和为，已知，各项均为正数的等比数列满足．
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式与等比数列性质计算得， ，，，进而求解通项公式即可；
（2）由题知，进而根据错位相减法求解即可；
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为
所以，解得，
所以
因为各项均为正数的等比数列满足，
所以，即，故，
所以，等比数列的公比为，解得，
所以
所以，.
（2）解：由题知，
所以；
，
所以，
所以
10．已知各项均为正数的数列满足：，当时，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）当时，在等式两边同时除以，结合等差数列的定义可证得结论成立；
（2）由（1）可求得数列的通项公式，可得出数列的通项公式，利用错位相减法可求得数列的前项和.
【详解】（1）证明：数列满足：，当时，，
整理得，
数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）解：，，
对任意的，，故，所以，，
①，
则②，
①－②得：，
.
11．已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系可得递推公式，即可由递推公式求通项公式；
（2）由错位相减法求和.
【详解】（1）由题意得，，则，即，
∵，，，∴，，则不恒为0，∴，即.
∵，∴当，；当，.
故的通项公式为.
（2），
①，
②，
①-②得，
则数列的前n项和.
12．在等比数列中，，数列的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列的前项和，求证：
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据求出公比，再代入求出，即可求出的通项公式，再根据作差即可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可得证.
【详解】（1）解：在等比数列中，，，
所以，
所以，所以，所以，
又数列的前项和，
当时，
当时，
经检验当时也成立，所以.
（2）解：因为，所以，
所以，
，
两式相减得，
即，
也即
，
所以.
13．已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记为数列的前n项和，求，并证明：当时，．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用递推式相减得出，并验证首项符合通项，最后得出答案；
(2)错位相减法求前n项和
【详解】（1），①
则，②
①-②得 ，则，
当n=1时，由①得 ，
∴，
∴.
（2）易得，
，①
，②
②-①得
，
故，
当时，
14．数列（）的前项和满足.
(1)求；
(2)设（）的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据当时，时，代入化简求出；
（2）由（1）和条件求出，对进行分类讨论后，利用错位相减法求出前项和为．
【详解】（1）①当时，；
②当且时，.
当，故首项不符合以上公式.
.
（2）由（1）得，，
①当时，；当时，；
②当且时，
用下式减上式得：
即
得.
综上所述，
15．已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）变换得到，确定数列为等差数列，公差为，计算得到答案.
（2）确定，再利用错位相减法计算得到答案.
【详解】（1）由两式相减得，
，故，
当时，且，故，得（舍去），
，数列为等差数列，公差为，所以.
（2），
，
16．已知等比数列的前n项和为，．为等差数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用公式求的通项，由已知求的公差，再求通项公式；
（2）利用错位相减法求数列的前n项和.
【详解】（1）当时,，，
当时，，即，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
又，，解得，所以等差数列公差，从而.
（2）因为，
所以，①
，②
由①-②得，
所以.
17．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．通过，求出q，得到，然后求出公差d，推出．
（2）设数列的前n项和为，利用错位相减法，转化求解数列的前n项和即可．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
由已知，得，
而，所以．
又因为，解得．
所以，．
由，可得①，
由，可得②，
联立①②，解得，，
由此可得．
所以，的通项公式为，的通项公式为．
（2）设数列的前n项和为，
由，有，
，
上述两式相减，得
．
得．
所以，数列的前n项和为．
18．已知数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式，
(2)设数列满足（），求数列的前项和为
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用与的关系，分和讨论，得到数列为等比数列，即可求解；
(2)结合（1）的结论，利用错位相减法即可求出数列的前项和为.
【详解】（1）因为，
当时，，解得：，
当时，则有，
两式相减可得：，所以，
因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由可得：，
所以
两式相减可得：
所以.
19．已知数列
(1)令，求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）证明：因为，所以，即，
又，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得，
，
则，
，
两式相减得，
所以．
20．已知数列的前n项和为且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据递推关系可得，然后根据等差中项及等比数列的定义即得；
（2）由题可得，然后利用错位相减法即得.
【详解】（1）因为，，
当时，，
当时，，
所以，即，
又因为，且，则
所以是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，，又成等差数列，
所以，即，
所以，；
（2）因为，
所以，即，
所以，
，
所以，
所以.
21．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得①，当时，②.由①减②，即可证明数列是首项为1，公差为1的等差数列，即可求出数列的通项公式；
（2）求出，再由错位相减法求出数列的前n项和为，即可证明.
【详解】（1）由，得①，
所以当时，②.
由①减②，得.
因为数列为各项均为正数的数列，所以，
又由，，得.
所以，所以.
故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（2）由（1），得，
所以数列的前项和.
所以.
两式作差可得：，
所以.
因为，所以，故.
22．已知数列 ​的前​项和为​， 且​， __________．请在​成等比数列;​， 这三个条件中任选一个补充在上面题干中， 并解答下面问题．
(1)求数列 ​的通项公式;
(2)设数列 ​的前​项和​， 求证：​．
【答案】(1)任选一条件，都有​；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据得到数列​是首项为​， 公差为 1 的等差数列，然后利用等差数列的通项公式或前项和公式列方程求解即可；
（2）利用错位相减法得到，即可得到，然后根据得到数列是递增数列，即可得到.
【详解】（1）因为， 所以​， 即​，
所以数列​是首项为​， 公差为 1 的等差数列， 其公差​．
若选，
由， 得​， 即，
所以， 解得​，
所以， 即数列​的通项公式为；
若选，，成等比数列，
由，，成等比数列， 得​，
则， 所以​， 所以；
若选，
因为，所以​， 所以​，
所以.
（2）由题可知，所以，
，
两式相减得
，
所以，
所以，又，
所以数列是递增数列，，故.
23．已知数列满足，且，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入数据计算得到，确定是以3为首项，3为公比的等比数列，计算得到答案.
（2），令，数列的前n项和为，利用错位相减法得到，再利用分组求和得到答案.
【详解】（1），，，解得.
可得，即，，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，故，.
（2），令，数列的前n项和为，
则，，
，
所以.
.
24．数列是各项均为正数的等比数列，且，，，
(1)求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)；证明见解析
(2)
【分析】（1）首先求等比数列的通项公式，代入对数运算，求数列的通项公式，并根据等差数列的定义证明；
（2）由（1）可知，，利用错位相减法求和.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
，，所以，
所以，
，
（常数），，
所以数列是首项为3，公差为1的等差数列；
（2），


两式相减得

，
所以.
25．已知数列的前n项和为，且，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)．
【分析】（1）首先利用，消元后再构造数列的递推形式，证明数列是等比数列；
（2）根据（1）的结果可知，再根据等差数列的定义，即可证明；
（3）由（2）可得，再利用错位相减法求和.
【详解】（1）证明：因为，时，，得
所以当时，，
两式作差得，
所以，
又，所以，
即，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列．
（2）证明：由（1）可知，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
（3）由（2）可知，即，
根据题意得，
则，
所以，
两式相减得，
即，
所以．
26．已知等比数列{an}的各项均为正数，2，，4成等差数列，且满足=4，数列{bn}的前n项和Sn=bn，n∈N*，且b1=1.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设，n∈N*，数列{cn}的前n项和为An，求证：；
（3）设dn=(1)n[+()]，求{dn}的前n项和Tn.
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）答案见解析.
【分析】
（1）由题设，应用等差中项的性质及等比数列通项公式列方程求等比数列基本量，写出{an}通项公式，再由bn与Sn的关系可得，结合已知可得{bn}的通项公式；
（2）由（1）得，由裂项相消可得An=，根据An的单调性即可证结论.
（3）由（1）得dn= (1)n(n+1)2+(n+1)×，应用分组及错位相减法、奇偶讨论分别求{(1)n(n+1)2}的前n项和Bn、{(n+1)×}的前n项和为Hn，进而写出{dn}的前n项和Tn.
【详解】
（1）设等比数列{an}的公比为q>0，
∵2，4成等差数列，且满足=4，
∴2a4=2a4q+4a4q2，，解得：q=，a1=.
∴an=.
数列{bn}的前n项和Sn=bn，n∈N*且b1=1.
∴n≥2时，bn=SnSn-1=bnbn-1，化为：，可得bn=n.
（2）证明：==，
∴数列{cn}的前n项和为An=++…+=，
∵An单调递增，即A1≤An