浙江省杭州市江干区杭四吴山2024-2025学年高一(上)期中数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市江干区杭四吴山2024-2025学年高一(上)期中数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设，则.
故选：A.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】命题“”的否定是“”.
故选：C.
3. 已知函数，则的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设，即的定义域为，
对于，有，则，即定义域为.
故选：D.
4. 下列函数中，在上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，幂函数的定义域为，且在0,+∞上单调递增，
，即为偶函数，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，的定义域为，且和均在上单调递增，
所以在上单调递增，故B正确；
对于C， 的定义域为，故C错误；
对于D，的定义域为，故D错误.
故选：B.
5. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，，
所以函数为奇函数，故排除B和C；
当时，，故排除A.
故选：D.
6. 已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为的定义域为，所以，
图象的开口方向向上，对称轴方程为，
当时，，即，
所以在单调递减，
的最大值为，最小值为，不合题意；
当时，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
又的最大值为，所以，
即，整理得，解得或，
又，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
7. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（…为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在30℃的保鲜时间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，则该食品在0℃的保鲜时间是（ ）
A. 54小时B. 72小时
C. 108小时D. 144小时
【答案】D
【解析】由题知，即，解得，则，
令，则，
所以该食品在0℃的保鲜时间是144小时.
故选：D.
8. 已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. ，使得
【答案】C
【解析】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递减，
所以在单调递增，又，所以，
所以当时，；当时，.
对于A，，故A正确；
对于B，若，则，即，
解得或，故B正确；
对于C，若，则或，
即或，
解得或，故C错误；
对于D，因为定义在上的函数的图象是连续不断的，
且在上单调递减，在单调递增，
所以，所以对，只需即可，故D正确
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分.
9. 已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】A：，又，
所以，则，即，对；
B：，且，而符号不定，
所以符号不定，错；
C：由题设，若，则，错；
D：，则，对.
故选：AD.
10. 已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数为增函数
B. 函数为偶函数
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】由题设得，故，则定义域为，故为非奇非偶函数，
且在上单调递增，A对，B错，
当，则，C对；
当，则，
所以，即，D对.
故选：ACD.
11. 已知函数，恒成立，则的取值可以为（ ）
A. B. 2C. 5D. 8
【答案】BC
【解析】的定义域为，
因为，
所以，
，
所以，即，
所以恒成立，
即恒成立，解得.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 2024年10月21日，第52个梅森素数被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有________个.
【答案】
【解析】因为集合中有52个元素，所以集合的非空真子集的个数为.
故答案为：.
13. 数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，函数（且）的图象必过定点_________.
【答案】
【解析】由，故函数图象必过定点.
故答案为：.
14. 正实数，满足，则的最小值为________．
【答案】
【解析】依题意，因为，
所以，所以，
即
，
当且仅当，即,故取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求，；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）若，则，
所以，或；
（2）若，①当时，，解得；
②当时，，解得，
综上，，
所以的取值范围为.
16. （1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）已知，求；
（3）已知函数，求；
解：（1）令，又，
所以，
所以，故；
（2）由题设，联立，
所以，则，故；
（3）由题设，时，时，时，
所以.
17. 已知函数，.
（1）若过点，求；
（2）若，当时，函数单调递增，求a的取值范围；
（3）当时，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，求a的范围.
解：（1）由题意，解得，
所以当时，，
则.
（2）根据题意得，
由函数在上单调递增，
则有，解得，
故a的取值范围是.
（3）由，
由题意函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，
则方程在内有解.
当，则，
则，
令，，
其中，
当时，，
由零点存在性定理可知，在内存在零点，
即方程在内有解，满足题意；
当，，满足题意；
由上分析可知，当时，方程在内有解，
故在内有解，
即函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称.
①下面证明：当时，方程，即在内无解.
由，得，则；
令，，
由，且，
在同一直角坐标系中，作出两函数的大致图象，
由图象可知，当时，；
则，
故当时，方程在内无解；
②下面证明：当时，方程在内也无解.
当x∈0,2，则，
则，
设，x∈0,2，
由，得，则；
令，，
由，且，
同理，作出函数的图象，
由图象可知，当x∈0,2时，；
则.
故当时，方程在内无解.
综上所述，若函数图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，则a的范围是.
18. 已知奇函数经过点.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围.
解：（1）因为为奇函数，所以，
即，所以，得，
所以，，
因为函数经过点，所以，解得，
所以；
（2），，
，
因为，，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
（3）因为存在，使得不等式成立，
则，
由（2）知，函数在上单调递增，且奇函数，
所以函数在上单调递增，
所以当时，；
令，，
的图象开口方向向上，对称轴方程为，
当时，，
所以，解得或，所以；
当时，，
所以，解得或，所以，
综上，或，
所以实数m的取值范围为.
19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”.
（1）若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
（2）若集合是“等差集”，求m的值；
（3）已知正整数，证明：不是“等差集”.
（1）解：因为，且B是“等差集”，
所以B至少含有三个元素，
根据“等差集”的定义可知：，
所以或或；
（2）解：若，则，
又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去；
若，则或，
显然时，，舍去，而时，，符合题意；
若，则，
同上，显然此时，不符题意，舍去；
综上所述：.
（3）证明：假设是“等差集”，显然
则存在，使得成立，
整理得，
易知，则，此时，
与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕.