2024-2025学年浙江省杭州市杭四吴山中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市杭四吴山中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.过点(0,0)和点(0,1)的直线倾斜角为( )
A. 45°B. 90°C. 135°D. 0°
2.数列{an}是等差数列，a5=10，a9=18，记S9是{an}的前9项和，则( )
A. a3=6，S9=90B. a3=6，S9=94
C. a3=8，S9=90D. a3=8，S9=94
3.抛物线y=4x2的焦点坐标为( )
A. (1,0)B. (2,0)C. (0,18)D. (0,116)
4.已知A(0,4,0)，B(3,0,0)，C(0,0,2)，则平面ABC的一个法向量可以为( )
A. (4,3,6)B. (−4,3,6)C. (4,−3,6)D. (4,3,−6)
5.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4，焦距为4 3，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±2xB. y=± 2xC. y=±12xD. y=± 22x
6.已知正项等比数列{an}满足a3为2a2与a6的等比中项，则a3+a5a1+a3=( )
A. 22B. 12C. 2D. 2
7.已知点O(0,0)，点P满足|PO|=1，则点P到直线x−my−4=0的距离的最大值为( )
A. 2B. 4C. 3D. 5
8.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(4)=0，当x>0时，有xf′(x)−f(x)0的解集为( )
A. (−4,0)∪(0,+∞)B. (−4,0)∪(0,4)
C. (−∞,−4)∪(4,+∞)D. (−∞,−4)∪(0,4)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为( )
A. {DA,DC,DD1}B. {AC,A1C,BB1}
C. {A1B,BD1,DC}D. {A1B,A1D,B1D1}
10.下列说法正确的有( )
A. 直线倾斜角越大，斜率越大
B. 过点P(x1,y1)，Q(x2,y2)的直线方程是x−x1x1−x2=y−y1y1−y2
C. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条
D. 直线x2−y3=1在y轴上的截距是−3
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E为棱BB1的中点，F为棱CC1(含端点)上的一个动点给出下列四个结论正确的是( )
A. 存在符合条件的点F，使得B1F//平面A1ED
B. 不存在符合条件的点F，使得BF⊥DE
C. 异面直线A1D与EC1所成角的余弦值为 55
D. 三棱锥F−A1DE的体积的取值范围是[23,2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线f(x)=ex−2x在点(0,1)处的切线方程是______．
13.数列an=18,n=1an−1−4,1b>0)与双曲线x2a2−y2b2=1的离心率分别为e1，e2，双曲线的渐近线的斜率小于2 55，则e1取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，已知在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=4，AD=DC=2，E是B1C1的中点，F是DD1的中点．
(1)求证：D1E//平面CB1F；
(2)求平面CB1F与平面ABCD夹角的余弦值．
16.(本小题12分)
已知Sn是等差数列{an}的前n项和．
(1)证明{Snn}是等差数列；
(2)设Tn为数列{Snn}的前n项和，若S4=12，S8=56，求Tn．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数)．
(1)若a=−1，求证：f(x)在(1,+∞)上是增函数；
(2)当a=−4时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值与最小值及相应的x值；
(3)若存在x∈[1,e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，其中一个焦点的坐标为(1,0)．
(1)求C的方程；
(2)过左焦点的直线交C于A，B两点，点P在C上．
(i)若△PAB的重心G为坐标原点，求直线AB的方程；
(ii)若△PAB的重心G在x轴上，求G的横坐标的取值范围．
19.(本小题12分)
同余定理是数论中的重要内容.同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N∗且m>1.若m|a−b则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mdm)(“|”为整除符号)．
(1)解同余方程x2−x≡0(md3)；
(2)设(1)中方程的所有正根构成数列{an}，其中a1