浙江省杭州市下沙区杭四吴山2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份浙江省杭州市下沙区杭四吴山2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 集合，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以.
故选：B．
2. 设，则“”是“”的（ ）条件．
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充分必要D. 既非充分又非必要
【答案】B
【解析】因为不能推出，所以“”不是“”的充分条件；
因为能推出，所以“”是“”的必要条件；
所以“”是“”的必要条件非充分条件.
故选：B．
3. 如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意；
对于B，当时，，不符合题意；
对于C，，定义域为，函数为偶函数，
且在上单调递减，在上单调递增，符合题意；
对于D，，当时，，不符合题意.
故选：C.
4. 已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将不等式变形可得，
因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于，
所以，即的取值范围为.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由对数函数在上单调递增，
所以，所以，
对数函数在上单调递增，所以，所以，
因为指数函数的图像在轴上方且在定义域上单调递减，
所以，所以，
所以：.
故选：B.
6. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由题设且，则，故，
又，则，
所以，
则.
故选：B.
7. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，函数在上单调递减，
函数在单调递减，
且，即有，即，
解得.
故选：B.
8. 若，则实数（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】，
即
.
故.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列运算正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】选项A，，说法错误；
选项B，，说法错误；
选项C，令，则，即，说法正确；
选项D，，说法正确.
故选：CD.
10. 已知的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 图像可由的图象向左平移个单位得到
C. 的对称轴为
D. 在区间上的最大值为
【答案】ABD
【解析】根据函数的部分图象，
可得，.
再根据五点法作图可得，，因为，，
又最大值为，∴.
的最小正周期为，故A正确；
的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确；
令，则，所以对称轴为，故C不正确；
时，，在区间上单调递增，故当时，，故D正确.
故选：ABD．
11. 已知函数是定义在上的以4为周期的函数，对任意整数，区间．当时，．集合在上有两个不相等的实根，则（ ）
A. B. 是函数的一个对称中心
C. D. 若，则
【答案】ACD
【解析】已知函数的周期为，则.
当时，，所以，故，选项A正确.
当时，，，所以在上是偶函数，
结合周期性，易知函数图象关于轴对称，即在R上也是偶函数.
又函数的周期为，则，即不是对称中心，选项B错误.
因为函数的周期为，所以，由于是偶函数，所以，选项C正确.
当时，，则.
在上有两个不相等的实根，即与在上有两个不同交点.
当时，，的图象是由向右平移4k个单位得到的.
当直线过点时，，故要使与在上有两个不同交点，
则，即，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意，即，根据指数函数单调性可得.
13. 已知，为锐角，则______．
【答案】
【解析】因为为锐角，所以，
因为，所以，
所以
.
14. 已知正实数满足，则的最小值为______．
【答案】6
【解析】由题设，
当且仅当时取等号，即的最小值为6.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）由题知：角的终边经过点，
∴由三角函数的定义可知.
（2）由（1）可知：，
.
16. 已知函数．
（1）求函数的最小值，及取最小值时的的值；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的最小正周期和单调递减区间．
解：（1）
.
所以的最小值为，
此时：，，即，.
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
得到的图象，
再将的图象向右平移个单位，
得到.
由，得函数的最小正周期为.
由，，
得，，
所以，.
所以函数的单调递减区间为：，.
17. 已知函数．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并给予证明；
（3）求关于的不等式的解集．
解：（1）由题意知函数满足，解得，
即函数的定义域为.
（2）为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
，故为奇函数.
（3）即，
当时，在上单调递增，有，解得；
当时，在上单调递减，有，解得；
故当时，关于的不等式的解集为；
当时，关于的不等式的解集为.
18. 已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围．
解：（1）由条件可得，对称轴为：，由开口向上，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2），
当时，，显然在区间上单调递增，符合；
当时，对称轴为：，且开口向上，
若函数在区间上单调递增，需满足：，解得：，
当时，对称轴为：，且开口向下，
若函数在区间上单调递增，需满足：，解得：，
综上若函数在区间上单调递增，实数的取值范围.
（3）若函数在区间上有且仅存一个零点，，
当时，由，解得：，符合；
当，对于，若，即时，方程有一根，符合，
若，①，因为对称轴为：，又，
若函数在区间上有且仅存一个零点，
需满足：，即，故：；
②，对称轴为：，，
若函数在区间上有且仅存一个零点，
需满足：，且，即且，解得：；
综上实数的取值范围是.
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的，我们可以定义双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似性质．
（1）判断并证明双曲余弦函数的奇偶性和单调性；
（2）（ⅰ）证明；
（ⅱ）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明；
（3）若函数在上最大值为0，求实数的值．
解：（1）设，其定义域为，关于原点对称.
计算：，
因为，所以双曲余弦函数是偶函数.
设，计算的值：
，
因为指数函数在上单调递增，当时，，即.
当时，，则，即，
此时，即，
所以在上单调递减.
当时，，则，即，
此时，即，
所以在上单调递增.
综上所得，双曲余弦函数是偶函数，在上单调递减，在上单调递增.
（2）（ⅰ）
，
所以.
（ⅱ）结论：.
证明：右边
.
所以成立.
（3）令，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以.
因为，，
所以
.
那么函数.
因为函数在上单调递减，
要使在上最大值为，
则在上有最小值.
函数的对称轴为.
当，即时，在上单调递增，
则．
由，解得.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则.
由，即，此方程无实数解.
综上，实数的值为.