浙江省杭州四中吴山2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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2024年1月
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟．
2、答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号．
3、所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效．
4、考试结束，只上交答题卷．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若集合，，，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集、并集的定义计算可得.
【详解】因为，，，
所以，则.
故选：C
2. “”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，可得，
所以由推不出，即充分性不成立，
由推得出，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
3. 若，，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为在定义域上单调递减，所以，
即，
在定义域上单调递减，所以，即，
所以.
故选：B
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：A
5. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为函数是上减函数，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故选：D
6. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再由特殊值判断即可.
【详解】函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D；
因为，又，故排除A.
故选：C
7. 已知函数有一条对称轴为，当取最小值时，关于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件函数的一条对称轴为，求得的值，解得，利用换元法令，画出函数，的函数图像，数形结合即可求解.
【详解】由正弦函数的对称轴可知：
，，又因为，
所以的最小值为，即.
，则，令，
则有，，函数图像如图所示：
由于x的方程在区间上恰有两个不相等的实根，
根据的图像有实数a的取值范围是.
故选：D
8. 若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可.
【详解】因为正实数、满足，
即，所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
因为正实数、满足，且恒成立，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 若，给出下列命题中，错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C.
【详解】对于A：因为，，所以，故A正确；
对于B：因为，，则，所以，故B错误；
对于C：若，，，，满足，，但是，故C错误；
对于D：因为，，所以，故D正确，
故选：BC
10. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B不正确；
对于C中，由，所以C不正确；
对于D中，由，所以D正确.
故选：AD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 该图象对应的函数解析式为B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称D. 函数在区间上单调递减
【答案】AB
【解析】
【分析】先依据图像求得函数的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间，即可判断.
详解】由图象可知，，即，所以，
又，可得，又因为，所以，
所以，故A正确；
当时，，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，
故函数的图象不关于点对称，故C错误；
当时，则，因为在上不单调，
所以函数在上不单调递减，故D错误．
故选：AB
12. 养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A. 函数定义域为，且是奇函数
B. 对于任意的，都有
C. 对于任意的，都有
D. 对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据真数大于0求定义域，利用奇偶性定义判断奇偶性可判断A，根据对数运算化简即可判断BC，取特殊值判断D.
【详解】由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以是奇函数，故A正确；
任意的，，故B正确；
因为，，
所以，故C正确；
取，则，，故D错误.
故选：ABC
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形的面积为_________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由扇形的面积公式有：
考点：扇形的面积公式
【名师点睛】
1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
2．本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法．
3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形．
14. 函数的零点，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数单调性以及零点存在定理定理得，由此即可得解.
【详解】因为和均单调递增，所以也单调递增，
又注意到，
所以由零点存在定理可知函数的零点，
所以，.
故答案为：.
15. 已知是第二象限角，且，则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简即可得解.
【详解】因为是第二象限角，且，
所以，，
所以.
故答案为：
16. 已知，若方程有四个根，且，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】作出函数和函数的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出与，与的关系，从而得出结果.
【详解】因为方程有四个根，
故函数的图象与函数的图象有四个交点，
它们的横坐标分别为，如图所示，

当时，，且，故，
当时，，且，所以，解得，
因为函数的图象与函数的图象有四个交点，
由图可得，，故，
所以，
令，，在单调递增，
所以，，
故 的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】17.
18. 0
【解析】
【分析】（1）根据对数及指数幂的运算法则求解；
（2）利用诱导公式化简求解.
小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
.
18. 已知集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两个集合的交集的定义求出.
（2）根据，分时和时两种情况，分别求得的范围，再取并集，即得所求.
【小问1详解】
当时，集合，，
故.
【小问2详解】
，则，
当时，，即，满足，故；
当时，，即时，则，解得，
于是得，
综上所述：，所以实数的取值范围是.
19. 某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），该零部件的面积是．
（1）求关于的函数解析式，并求出定义域；
（2）设用到的圆形铁片的面积为（单位：），求的最小值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）用表示阴影部分面积，由此可得y关于x的函数解析式，结合已知求定义域；
（2）用表示圆的半径的平方，再利用基本不等式求其最小值，由此可得圆的面积最小值.
【小问1详解】
依题意可得零件的面积，
故，由，即，解得．
故，.
【小问2详解】
如图所示：作交于，交于，连接．
故，又，设圆的半径为，
故
，
当，即时等号成立．
故当时，面积最小值，
即的最小值为．
20. 已知函数．
（1）若过定点，求的单调递减区间；
（2）若值域为，求a的取值范围．
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，得到，令，求得函数的定义域为，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定法，即可求解；
（2）根据题意，转化为，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数过定点，
可得，可得，解得，所以，
令，解得或，即函数的定义域为，
设，则函数在上为单调递减函数，
又由函数在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减，
所以函数的递减区间为.
【小问2详解】
解：由函数的值域为，
即为函数值域的子集，即，
当时，可得，此时函数的值域为，符合题意；
当时，则满足，解得，所以；
当时，此时的开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数的取值范围为.
21. 已知函数．
（1）求函数在R上的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
解：将函数的图形向左平移个单位长度，
得到，
再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得，
由实数满足，则为函数的最值，
不妨设，
则，
解得，
则，
当或时，此时.
22. 设，函数．
（1）若函数为奇函数，求a的值；
（2）若，函数在区间上的值域是（），求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数利用求解即可；
（2）分讨论，分别求出函数的定义域，单调性，时利用单调递增建立方程，根据方程根的分布列出不等式即可求出的范围，当时，可分析所在区间，据此得出关于的等式，化简可得解.
【小问1详解】
由函数，且函数为奇函数
所以，
即，
化简可得，解得，
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意；
当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意.
所以函数为奇函数时，或.
【小问2详解】
，
，，故，而，，
当时，在上为增函数，
当时，，
即是方程的两个不同的实根，
令，则在上有两个不等的实根，
故，即，解得；
当时，，函数定义域为，
时，，
若，则，而，所以，矛盾，
故，
因为在上单调递减，
故，即，
两式相减可得，因为，所以，即，
所以，即.
综上，当时，，当时，，
即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于对分类讨论，确定函数的定义域及单调性；关键点之二在于当函数为单调递增函数时，建立最大值与最小值的表达式，据此抽象出为方程的两不等实根，从而换元后根据根为正数，列出不等式组.