浙江省杭州市下沙区杭四吴山2024-2025学年高二上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份浙江省杭州市下沙区杭四吴山2024-2025学年高二上学期期末数学试题（原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了考试结束后，只上交答题卷.等内容，欢迎下载使用。
命题人：杜红梅 审核人：孟祥迪 2025年1月
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间90分钟.
2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号.
3．所有的答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.
4．考试结束后，只上交答题卷.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 过点和点的直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 数列是等差数列，，记是的前9项和，则（ ）
A. B.
C D.
3. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则平面ABC的一个法向量可以为（ ）
A. B. C. D.
5. 若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知正项等比数列}满足为与的等比中项，则（ ）
A. B. C. D. 2
7. 已知点，点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. 3D. 5
8. 设是定义在R上奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知正方体，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 直线倾斜角越大，斜率越大
B. 过点的直线方程是
C. 经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条
D. 直线在y轴上的截距是
11. 如图，在正方体中，，E为棱的中点，F为棱（含端点）上的一个动点给出下列四个结论正确的是（ ）
A. 存在符合条件的点F，使得平面；
B. 不存在符合条件的点F，使得；
C. 异面直线与所成角的余弦值为；
D. 三棱锥的体积的取值范围是．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 曲线在点处切线方程是____________．
13. 数列，通过数列图象上所有点的直线的斜率____________．
14. 椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，求取值范围____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）
15. 如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，底面，，其中，是的中点，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
16. 已知是等差数列的前n项和．
（1）证明等差数列；
（2）设为数列的前n项和，若，求．
17. 已知函数（a为实常数）．
（1）若，求证：在上是增函数；
（2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；
（3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
18. 已知椭圆的离心率为，其中一个焦点的坐标为.
（1）求的方程；
（2）过左焦点的直线交于、两点，点在上.
（i）若的重心为坐标原点，求直线的方程；
（ii）若重心在轴上，求的横坐标的取值范围.
19. 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（mdm）（“|”为整除符号）．
（1）解同余方程（md3）；
（2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．