物理必修 第二册4 抛体运动的规律课后复习题

这是一份物理必修 第二册4 抛体运动的规律课后复习题，文件包含人教版高中物理必修二同步题型训练专题53抛体运动的规律学生版docx、人教版高中物理必修二同步题型训练专题53抛体运动的规律解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc1161" 【题型1 平抛中的对比问题】
\l "_Tc25206" 【题型2 落点在斜面上的平抛】
\l "_Tc9103" 【题型3 落点在圆上的平抛】
\l "_Tc6522" 【题型4 体育运动中的抛体问题】
\l "_Tc10925" 【题型5 平抛中的临界极值问题】
\l "_Tc2094" 【题型6 联系实际问题】
\l "_Tc22177" 【题型7 斜抛问题】
\l "_Tc24590" 【题型8 类平抛、类斜抛问题】
【题型1 平抛中的对比问题】
【例1】如图，质量相同的两小球a、b分别从斜面顶端A和斜面中点B沿水平方向被抛出，恰好均落在斜面底端，不计空气阻力，则以下说法正确的是( )
A．小球a、b离开斜面的最大距离之比为2∶1
B．小球a、b沿水平方向抛出的初速度之比为2∶1
C．小球a、b在空中飞行的时间之比为2∶1
D．小球a、b到达斜面底端时速度与水平方向的夹角之比为2∶1
解析：选A 因为两球下落的高度之比为2∶1，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可知a、b两球运动的时间之比为ta∶tb＝eq \r(2)∶1，因为两球水平方向位移有vata＝2vbtb，因此初速度之比va∶vb＝eq \r(2)∶1，在小球平抛过程中，速度方向与斜面平行时，离开斜面的距离为最大，根据运动的分解，将初速度与加速度分解成垂直斜面与平行斜面两方向，设斜面的倾角为α，因此垂直斜面方向的位移为：x＝eq \f(v0sin α2,2gcs α)，那么离开斜面的最大距离与初速度的平方成正比，即小球a、b离开斜面的最大距离之比为 2∶1，故A正确，B、C错误。小球落在斜面上时，速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向的夹角相等，则速度与水平方向的夹角相等，比值为1∶1，故D错误。
【变式1-1】如图所示，将a、b两小球以大小为 20eq \r(5) m/s的初速度分别从A、B两点相差 1 s 先后水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10 m/s2，则抛出点A、B间的水平距离是( )
A．80eq \r(5) m B．100 m C．200 m D．180eq \r(5) m
解析：选D 经过t时间两球的速度方向相互垂直，此时b球运动时间为t－1 s。设a球的速度方向与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系可得：tan θ＝eq \f(v0,gt)＝eq \f(gt－1 s,v0)，解得t＝5 s，故A、B两点的水平距离x＝v0t＋v0(t－1 s)＝9v0＝180eq \r(5) m，故D正确，A、B、C错误。
【变式1-2】(多选)如图所示，三个小球从同一高度处的O处分别以水平初速度v1、v2、v3抛出，落在水平面上的位置分别是A、B、C，O′是O在水平面上的射影点，且O′A∶O′B∶O′C＝1∶3∶5。若不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5
B．三个小球下落的时间相同
C．三个小球落地的速度相同
D．三个小球落地的位移相同
解析：选AB 三个小球的高度相等，则根据h＝eq \f(1,2)gt2知，平抛运动的时间相等，因为水平位移之比为1∶3∶5，则根据x＝v0t得，初速度之比为1∶3∶5，故A、B正确；小球落地时竖直方向上的分速度相等，落地时的速度v＝eq \r(v02＋2gh)，初速度不等，则落地的速度不等，故C错误；小球落地时的位移s＝eq \r(x2＋h2)，水平位移不等，竖直位移相等，则小球通过的位移不等，故D错误。
【变式1-3】(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示。已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)( )
A．初速度之比是eq \r(6)∶eq \r(3)∶eq \r(2)
B．初速度之比是1∶eq \r(2)∶eq \r(3)
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶eq \r(2)∶eq \r(3)
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是eq \r(6)∶eq \r(3)∶eq \r(2)
解析：选AC 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，水平方向上做匀速直线运动。又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝eq \f(1,2)gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶eq \f(1,\r(2))∶eq \f(1,\r(3))＝eq \r(6)∶eq \r(3)∶eq \r(2)，A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，C正确，D错误。
【题型2 落点在斜面上的平抛】
【例2】如图所示，A点为倾角为30°的斜面底部，在A点的正上方某高度P点以初速度v0平抛一小球，小球打在斜面上B点，C为AB的中点。在P点将小球平抛的初速变为v时，小球恰好打在C点，则有( )
A.v＜eq \f(v0,2) B.v＝eq \f(v0,2)
C.v0＞v＞eq \f(v0,2) D.v＝eq \f(\r(3)v0,2)
答案 A
解析 过B点作一水平线，过C点作水平线的垂线交于M点，由几何关系可知，M点即为QB的中点，如果平抛运动的初速度为原来的一半，则轨迹交于M点，由于平抛运动的轨迹越往下则往竖直方向偏，所以落在斜面上C点的平抛运动轨迹与QB交于N点，则水平位移比轨迹交于M点的更小，即v＜eq \f(v0,2)，故A正确。
【变式2-1】如图所示，水平地面上固定有一个斜面，斜面倾角为θ，从斜面顶端向右平抛一个小球(可视为质点)，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，平抛的飞行时间为t0，现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，则平抛运动结束时，末速度方向与水平方向夹角的正切值tan α随初速度v变化的图像，以及平抛运动飞行时间t随初速度v变化的图像正确的是( )
答案 B
解析 当速度v＜v0，小球将落在斜面上，根据落在斜面上的小球的位移方向与水平方向夹角的正切值等于小球落在斜面上末速度方向与水平方向夹角正切值的一半可知，此时末速度方向与水平方向夹角的正切值tan α为定值，小球运动时间为tan α＝eq \f(gt,v)＝2tan θ
则t＝eq \f(vtan α,g)＝eq \f(v·2tan θ,g)
小球落在斜面上时α为定值，则此过程时间与速度v成正比，当速度v＞v0，小球将落到水平面，则有tan α＝eq \f(vy,v)＝eq \f(gt,v)，由于高度一定，则时间t为定值，则tan α与v成反比，故A、C、D错误，B正确。
【变式2-2】如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A点正上方与顶端C点等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则( )
A．小球在空中飞行时间为eq \f(v0,g)
B．小球落到斜面上时的速度大小为eq \f(v0,cs α)
C．CD与DA长度的比值为eq \f(1,2tan2α)
D．小球的位移方向垂直于AC
[解析] 小球的运动轨迹图如图所示，
把小球在D点处的速度沿水平、竖直方向分解，小球垂直于斜面落到D点，所以在D点时有tan α＝eq \f(v1,v2)＝eq \f(v0,gt)，解得t＝eq \f(v0,gtan α)，故A错误；小球垂直于斜面落到D点，所以小球落到斜面上时的速度大小为v＝eq \f(v0,sin α)，故B错误；根据几何关系，DA＝eq \f(v0t,cs α)，CD＝eq \f(\f(1,2)gt2,sin α)，整理得CD与DA的比值为eq \f(1,2tan2α)，故C正确；由位移方向与水平方向夹角的正切值是速度方向与水平方向夹角的正切值的eq \f(1,2)可知，位移方向不垂直于AC，故D错误。
[答案] C
【变式2-3】(多选) 如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为eq \f(\r(3)v0,g)
B.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为eq \f(\r(3)v0,3g)
C.小球抛出时距斜面底端的高度为eq \f(5veq \\al(2,0),g)
D.小球抛出时距斜面底端的高度为eq \f(5veq \\al(2,0),2g)
答案 AD
解析 设小球恰好垂直打到斜面上的时间为t，根据几何关系可得
tan 60°＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)
解得t＝eq \f(\r(3)v0,g)，故A正确，B错误；
小球垂直打到斜面上，根据平抛运动规律，则有
x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2
小球落在斜面上，根据几何关系得
tan 30°＝eq \f(h－y,x)
将t＝eq \f(\r(3)v0,g)代入，联立解得h＝eq \f(5veq \\al(2,0),2g)，故C错误，D正确。
【题型3 落点在圆上的平抛】
【例3】(多选)如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.初速度越大，小球运动时间越长
B.初速度不同，小球运动时间可能相同
C.小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向
D.小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向
答案 BD
解析 平抛运动的时间由高度决定，与水平初速度无关，初速度大时，与半圆接触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大，故A错误；初速度不同的小球下落的高度可能相等，如碰撞点关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点，运动的时间相等，故B正确；若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形轨道，即速度方向沿半径方向，则速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向夹角的2倍，因为同一位置速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，两者相互矛盾，则小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误，D正确。
【变式3-1】如图所示为某一通关游戏装置的示意图，竖直面内的半圆弧BCD的直径BD水平且与竖直轨道AB处在同一竖直面内，小孔P和圆心O的连线与水平方向的夹角为37°。安装在轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹射器的射出口在B点的正上方，如果弹丸能垂直射入圆弧上的小孔P就算通关。某次游戏，弹射器从离B点0.15 m的高度将弹丸射出，正好通关，那么，圆弧半径和弹丸的初速度分别是(不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度取10 m/s2)( )
A．2 m,4eq \r(3) m/s B．1.5 m,4eq \r(3) m/s
C．2 m,2eq \r(6) m/s D．1.5 m,2eq \r(6) m/s
[解析] 根据几何知识，平抛运动的水平位移为x＝R＋Rcs 37°＝1. 8R，竖直位移为y＝h＋Rsin 37°＝0.15 m＋0.6R，又知eq \f(y,x)＝eq \f(1,2)×eq \f(vy,v0)＝eq \f(1,2)tan 37°，联立解得R＝2 m，又x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，解得v0＝4eq \r(3) m/s，故A正确，B、C、D错误。
[答案] A
【变式3-2】(多选)如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体的正上方P点，将一个小球以速度v0沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q点沿切线方向飞过，测得该截面的圆心O与Q点的连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球从P运动到Q所用的时间是( )
A．t＝eq \f(Rsin θ,v0) B．t＝eq \f(v0tan θ,g)
C．t＝ eq \r(\f(2Rtan θsin θ,g)) D．t＝ eq \r(\f(Rtan θsin θ,g))
[解析] 如图所示，
小球在水平方向上做匀速运动，水平位移x＝Rsin θ＝v0t，得t＝eq \f(Rsin θ,v0)，A正确；小球到达Q点时竖直方向上的速度vy＝gt＝v0tan θ，得t＝eq \f(v0tan θ,g)，B正确；小球从圆柱体的Q点沿切线飞过，故小球在Q点的速度方向垂直于半径OQ，在Q点的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，设小球通过Q点时其竖直位移为y，则y＝eq \f(x,2)tan θ＝eq \f(1,2)Rsin θtan θ，又有y＝eq \f(1,2)gt2，联立解得t＝ eq \r(\f(Rtan θsin θ,g))，D正确，C错误。
[答案] ABD
【变式3-3】如图，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为 ( )
A.tan α B.cs α
C.tan αeq \r(tan α) D.cs αeq \r(tan α)
答案 C
解析 设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2。对球1：Rsin α＝v1t1，Rcs α＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，对球2：Rcs α＝v2t2，Rsin α＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，联立四式可得eq \f(v1,v2)＝tan αeq \r(tan α)，C正确。
【题型4 体育运动中的抛体问题】
【例4】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))＜v＜L1eq \r(\f(g,6h))
B.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))＜v＜eq \r(\f(（4Leq \\al(2,1)＋Leq \\al(2,2)）g,6h))
C.eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))＜v＜eq \f(1,2)eq \r(\f(（4Leq \\al(2,1)＋Leq \\al(2,2)）g,6h))
D.eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))＜v＜eq \f(1,2)eq \r(\f(（4Leq \\al(2,1)＋Leq \\al(2,2)）g,6h))
答案 D
解析 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有：
3h－h＝eq \f(gteq \\al(2,1),2)①
eq \f(L1,2)＝v1t1②
联立①②得v1＝eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))
当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,2)))\s\up12(2)＋Leq \\al(2,1))＝v2t2③
3h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)④
联立③④得v2＝eq \f(1,2)eq \r(\f(（4Leq \\al(2,1)＋Leq \\al(2,2)）g,6h))
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为
eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))＜v＜eq \f(1,2)eq \r(\f(（4Leq \\al(2,1)＋Leq \\al(2,2)）g,6h))，选项D正确。
【变式4-1】一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出，第一只球落在自己一方场地的B点，弹跳起来后，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处，如图所示，第二只球直接擦网而过，也落在A点处，设球与地面的碰撞过程没有能量损失，且运动过程不计空气阻力，则两只球飞过球网C处时水平速度之比为( )
A．1∶1 B．1∶3 C．3∶1 D．1∶9
解析：选B 由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的。由于球与地面的碰撞没有能量损失，设第一只球自击出到落到A点时间为t1，第二只球自击出到落到A点时间为t2，则t1＝3t2。
由于两球在水平方向均为匀速运动，水平位移大小相等，设它们从O点出发时的初速度分别为v1、v2，
由x＝v0t得：v2＝3v1，
所以有eq \f(v1,v2)＝eq \f(1,3)，所以两只球飞过球网C处时水平速度之比为1∶3，故B正确。
【变式4-2】某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图2所示，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.第1次击中篮板时的速度小
B.两次击中篮板时的速度相等
C.球在空中运动过程第1次速度变化快
D.球在空中运动过程第2次速度变化快
答案 A
解析 将篮球的运动反过来看，则篮球两次做平抛运动，由于第1次平抛运动的高度更大，由h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，所以第1次运动的时间更长，由于两次的水平位移相等，则时间越长的水平初速度越小，故第1次击中篮板时的速度小，故A正确，B错误；球在空中运动过程速度变化快慢即为加速度，由于球只受重力作用，加速度为重力加速度，则两次速度变化快慢相同，故C、D错误。
【变式4-3】跳台滑雪是一种勇敢者的运动，运动员脚着专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图甲所示，某运动员(可视为质点)从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆。已知运动员运动过程中在坡面上的投影到a点的距离与时间的关系如图乙所示，斜坡与水平方向的夹角为30°。运动员运动到C点时离坡面的距离最大，CD垂直于坡面ab。不计空气阻力，g取10 m/s2。则下列说法正确的是( )
A．运动员在a点的初速度为10 m/s
B．斜坡上a、b两点到D点的距离相等
C．运动员在空中C点时的速度为15eq \r(3) m/s
D．运动员在空中到坡面的最大距离为eq \f(5\r(3),2) m
[解析] 将该运动员的运动进行分解，可分解为垂直斜坡方向上的类竖直上抛运动和沿斜坡方向的匀加速直线运动。运动员沿坡面方向做匀加速直线运动，则s＝v0∥t＋eq \f(1,2)at2，沿斜坡方向的加速度为a＝gsin 30°＝5 m/s2，将s＝17.5 m，t＝1 s代入，解得v0∥＝15 m/s，又v0∥＝v0cs 30°，则v0＝10eq \r(3) m/s，A错误；从a到b的过程，有tan 30°＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)，t＝eq \f(2v0tan 30°,g)＝2 s，运动员从斜坡上a点到C点与从C点运动到b点，在垂直斜坡方向上的运动距离相等，且在C点垂直斜坡方向的速度为0，则利用运动对称性可知运动员由a到C和由C到b运动的时间相等，均为1 s，又沿斜坡方向运动员做匀加速运动，则由运动学公式可知斜坡上a到D的距离小于b到D的距离，B错误；vc＝v0∥＋a·eq \f(t,2)＝(15＋5×1)m/s＝20 m/s，C错误；当运动员距离斜坡最远时，运动员在该点的速度方向与坡面平行，运动员由a点飞出时水平初速度v0在垂直于斜坡方向的分量为v0⊥＝v0sin 30°＝5eq \r(3) m/s，垂直斜坡方向的加速度大小为a′＝gcs 30°＝5eq \r(3) m/s2，运动员在空中到斜坡的最大距离为s＝eq \f(v0⊥2,2a′)＝eq \f(5\r(3),2) m，D正确。
[答案] D
【题型5 平抛中的临界极值问题】
【例5】如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是( )
A.水从小孔P射出的速度大小为eq \r(gy)
B.y越小，则x越大
C.x与小孔的位置无关
D.当y＝eq \f(h,2)时，x最大，最大值为h
答案 D
解析 取水面上质量为m的水滴，从小孔喷出时由机械能守恒定律可知mgy＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(2gy)，选项A错误；水从小孔P射出时做平抛运动，则
x＝vt
h－y＝eq \f(1,2)gt2
解得x＝veq \r(\f(2（h－y）,g))＝2eq \r(y（h－y）)
可知x与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y＝h－y，即y＝eq \f(1,2)h时x最大，最大值为h，并不是y越小x越大，选项D正确，B、C错误。
【变式5-1】如图所示是消防车利用云梯(未画出)进行高层灭火，消防水炮离地的最大高度H＝40 m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高h＝20 m的楼层，其水平射出的水的初速度在5 m/s≤v0≤15 m/s之间，可进行调节，出水口与着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最大为40 m
B．如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最小为10 m
C．如果出水口与着火点的水平距离x不能小于15 m，则射出水的初速度最小为5 m/s
D．若该着火点高度为40 m，该消防车仍能有效灭火
解析：选B 出水口与着火点之间的高度差为Δh＝20 m，由Δh＝eq \f(1,2)gt2，x＝v0t，得出水口与着火点的水平距离x的范围为10 m≤x≤30 m，故A错误，B正确；如果出水口与着火点的水平距离不能小于15 m，则最小出水速度为7.5 m/s，故C错误；如果着火点高度为40 m，保持出水口水平，则水不能到达着火点，故D错误。
【变式5-2】[多选]在某次高尔夫球比赛中，美国选手罗伯特－斯特布击球后，球恰好落在洞的边缘，假定洞内bc表面为eq \f(1,4)球面，半径为R，且空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，把此球以大小不同的初速度v0沿半径方向水平击出，如图所示，球落到球面上，下列说法正确的是( )
A．落在球面上的最大速度为2eq \r(2gR)
B．落在球面上的最小速度为 eq \r(\r(3)gR)
C．小球的运动时间与v0大小无关
D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在球面上
解析：选BD
平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，由h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))。设小球落在A点时，OA与竖直方向之间的夹角为θ，水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y，到达A点时竖直方向的速度为vy，则x＝v0t＝Rsin θ，y＝eq \f(vy2,2g)＝eq \f(gt2,2)＝Rcs θ，得vy2＝2gRcs θ，v02＝eq \f(gRsin2θ,2cs θ)，又由vt＝eq \r(v02＋vy2)＝eq \r(\f(gRsin2θ,2cs θ)＋2gRcs θ)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)cs θ＋\f(1,2cs θ)))gR)，所以落在球面上的小球有最小速度，当eq \f(3,2)cs θ＝eq \f(1,2cs θ)时，速度最小，最小速度为eq \r(\r(3)gR)，故A错误，B正确；由以上的分析可知，小球下落的时间t＝eq \f(vy,g)＝ eq \r(\f(2Rcs θ,g))，其中cs θ与小球的初速度有关，故C错误；小球撞击在球面上时，根据“平抛运动速度的反向延长线交于水平位移的中点”结论可知，由于O点不在水平位移的中点，所以小球撞在球面上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击在球面上，故D正确。
【变式5-3】(多选)如图所示，一网球运动员将球在边界正上方某处水平向右击出，球的初速度垂直于球网平面，且刚好过网落在对方界内。相关数据如图，不计空气阻力，下列说法正确是( )
A.击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h1＝1.8h2
B.若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于eq \f(s,h1)eq \r(2gh1)，一定落在对方界内
C.任意降低击球高度(仍大于h2)，只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内
D.任意增加击球高度，只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内
答案 AD
解析 由题意可知球通过水平位移s和eq \f(3,2)s，所用的时间之比为2∶3，则在竖直方向上，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可得eq \f(h1－h2,h1)＝eq \f(4,9)，解得h1＝1.8h2，故A正确；竖直方向上，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可得时间t＝eq \r(\f(2h,g))，若保持击球高度不变，球恰不越界时，运动时间t1＝eq \r(\f(2h1,g))，故可得球的最大初速度v01＝eq \f(2s,t1)＝eq \f(s,h1)eq \r(2gh1)；球恰好过网时，运动时间t2＝eq \r(\f(2（h1－h2）,g))，故可得球的最小初速度v02＝eq \f(s,t2)＝seq \r(\f(g,2（h1－h2）))，故球初速度的取值范围是seq \r(\f(g,2（h1－h2）))≤v0≤eq \f(s,h1)eq \r(2gh1)，选项B错误；任意降低击球高度(仍大于h2)，存在一个临界高度h0，这个临界高度值满足h0－h2＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)g(eq \f(s,v0))2，h0＝eq \f(1,2)gt′2＝eq \f(1,2)g(eq \f(2s,v0))2，联立得该临界高度h0＝eq \f(4,3)h2，球的初速度v0＝eq \r(\f(3gs2,2h2))，低于这一高度击球，球不能落在对方界内，故选项C错误；增加击球高度，只要球的初速度合适，球一定能落到对方界内，故D正确。
【题型6 联系实际问题】
【例6】由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。Ox、Oy方向分别是水平和竖直方向，图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，已知空气阻力与炮弹速度方向相反。下列说法正确的是( )
A．到达b点时，炮弹的速度为零
B．到达b点时，炮弹的加速度为g
C．炮弹经过a点的水平分速度可能等于经过b点的水平分速度
D．炮弹由O点运动到b点的时间小于由b点运动到d点的时间
解析：选D 到达最高点b点时，竖直分速度为零，但炮弹仍具有水平方向的速度，A错误；到达最高点b点时，炮弹除受重力外还受空气阻力，加速度不为g，B错误；从a到c，炮弹在水平方向始终受到向左的分力，做减速运动，所以经过a点的水平分速度大于经过b点的水平分速度，C错误；炮弹由O到b过程中空气阻力在竖直方向的分力向下，在竖直方向的加速度大于g，而从b到d过程中空气阻力在竖直方向分力向上，竖直分加速度小于g，已知两段过程中炮弹飞行高度相同，由h＝eq \f(1,2)at2可得，炮弹从O点运动到b点的时间小于从b点运动到d点的时间，D正确。
【变式6-1】某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的水池中。现制作一个为实际尺寸eq \f(1,16)的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,16)
解析：选B 由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和下落高度均变为实际的eq \f(1,16)，根据h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，所以时间变为实际的eq \f(1,4)，水流出的速度v＝eq \f(x,t)，由于水平位移变为实际的eq \f(1,16)，时间变为实际的eq \f(1,4)，则水流出的速度为实际的eq \f(1,4)，B正确。
【变式6-2】如图所示，一农用水泵由两根粗细不同的管连接而成，出水口离地面的高度为h，其出水管是水平的，已知细管内径为d，粗管的内径为2d，水平射程为s，水的密度为ρ，重力加速度为g，不考虑空气阻力的影响，下列说法正确的是( )
A．若水流不散开，则观察到空中的水柱越来越粗
B．粗、细管中水的流速之比为1∶2
C．空中水的质量为eq \f(1,4)πρsd2
D．水落地时的速度大小为 eq \r(\f(sg,2h)＋2gh)
解析：选C 设细管中水的流速为v0，根据相同时间内水的流量相同可知粗管中水的流速为eq \f(1,4)v0，而水从出水口射出后，速度增大，若水流不散开，则可以观察到空中的水柱越来越细，A、B错误；空中水的质量的表达式为m＝ρeq \f(1,4)πd2v0t1＝eq \f(1,4)πρsd2，C正确；由平抛运动规律可得出水口的水速v0＝s eq \r(\f(g,2h))，则由动能定理可得水落地时的速度v1＝eq \r(\f(s2g,2h)＋2gh)，D错误。
【变式6-3】如图所示为足球球门，球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )
A．足球位移的大小x＝ eq \r(\f(L2,4)＋s2)
B．足球初速度的大小v0＝ eq \r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,4)＋s2)))
C．足球末速度的大小v＝ eq \r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,4)＋s2))＋4gh)
D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝eq \f(L,2s)
解析：选B 根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝ eq \r(s2＋\f(L2,4))，则足球位移的大小为：x＝ eq \r(x水平2＋h2)＝ eq \r(s2＋\f(L2,4)＋h2)，选项A错误；由h＝eq \f(1,2)gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度为v0＝ eq \r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,4)＋s2)))，选项B正确；对足球应用动能定理：mgh＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02，可得足球末速度v＝ eq \r(v02＋2gh)＝ eq \r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,4)＋s2))＋2gh)，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝eq \f(2s,L)，选项D错误。
【题型7 斜抛问题】
【例7】如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P点水平射出的同时乙黄豆从另一吸管末端M点斜向上射出，经过一段时间后两黄豆在N点相遇，曲线1和2分别为甲、乙黄豆的运动轨迹。若M点在P点正下方，M点与N点位于同一水平线上，且PM长度等于MN的长度，不计空气阻力，可将黄豆看成质点，则( )
A．两黄豆相遇时甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的2倍
B．甲黄豆在P点的速度与乙黄豆在最高点的速度不相等
C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的2倍
D．乙黄豆相对于M点上升的最大高度为PM长度的一半
解析：选A 设PM＝MN＝h，甲、乙两黄豆自射出后经时间t在N点相遇，则有h＝eq \f(1,2)gt2；对于乙黄豆，根据斜抛运动的对称性可知其从最高点(设为Q)到N点的运动时间为eq \f(t,2)，Q、N两点之间的水平距离为eq \f(h,2)，竖直距离为h乙＝eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,2)))2＝eq \f(1,4)h，故D错误。根据平抛运动规律的推论可知，甲黄豆到达N点时速度方向与水平方向的夹角α1的正切值为位移方向与水平方向的夹角θ1的正切值的2倍，即tan α1＝2tan θ1＝2，乙黄豆到达N点时速度方向与水平方向的夹角α2的正切值为从Q点到N点的位移方向与水平方向的夹角θ2的正切值的2倍，即tan α2＝2tan θ2＝2×eq \f(h乙,\f(h,2))＝1，所以tan α1＝2tan α2，故A正确。甲黄豆在P点的速度与乙黄豆在最高点的速度都等于各自运动过程中水平方向的分速度，二者在整个运动过程的水平位移和时间均相同，所以水平分速度相等，则甲黄豆在P点的速度与乙黄豆在最高点的速度相等，故B错误。设甲、乙两黄豆在N点时的水平分速度大小均为v0，竖直分速度大小分别为v1y、v2y，合速度大小分别为v1、v2，则tan α1＝2＝eq \f(v1y,v0)，tan α2＝1＝eq \f(v2y,v0)，所以v1y＝2v0，v2y＝v0，根据平行四边形定则有v1＝eq \r(v02＋2v02)＝eq \r(5)v0，v2＝eq \r(v02＋v02)＝eq \r(2)v0，所以eq \f(v1,v2)≠2，故C错误。
【变式7-1】如图，一小船以1.0 m/s的速度匀速前行，站在船上的人竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为0.45 m。当小球再次落入手中时，小船前进的距离为(假定抛接小球时人手的高度不变，不计空气阻力，g取10 m/s2)( )
A．0.3 m B．0.6 m C．0.9 m D．1.2 m
解析：选B 根据运动的独立性可知，小球在竖直方向上运动的过程中，小船以1.0 m/s的速度匀速前行，由运动学知识h＝eq \f(1,2)gt2，小球上升的时间t＝0.3 s，小球从上抛到再次落入手中所用的时间为2t，则小船前进的距离x＝v·2t＝0.6 m，故B正确。
【变式7-2】如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是( )
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
解析：选D 若研究两个过程的逆过程，可看作是从篮筐处沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的A、B两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，D正确。
【变式7-3】如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力。则有( )
A.tan α＝2 B.tan α＝eq \f(1,2)
C.tan α＝eq \f(1,4) D.tan α＝1
答案 D
解析 运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平位移为2L，则有L＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \r(\f(2L,g))。运动员通过最高点时的速度为v＝eq \f(2L,t)＝eq \r(2gL)，则有tan α＝eq \f(gt,v)＝1，故D正确，A、B、C错误。
【题型8 类平抛、类斜抛问题】
【例8】如图所示的光滑固定斜面长为、宽为、倾角为，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点沿水平方向射入，恰好从底端右侧点离开斜面，已知重力加速度为，不计空气阻力，求：
（1）物块加速度的大小；
（2）物块由运动到所用的时间；
（3）物块由点水平射入时初速度的大小。
答案：（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）物块合力沿斜面向下，所以
解得
（2）沿斜面方向
解得
（3）沿水平方向有
解得
.
【变式8-1】有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图所示，一个质量为m的小球以速度v从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)，不计空气阻力。从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球下落时间与小球质量m有关
B．小球下落时间与小球初速度v有关
C．小球下落时间与水井井口直径d有关
D．小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关
解析：选D 因为小球与井壁做多次弹性碰撞，碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，则将小球的运动轨迹连接起来就是平抛运动的抛物线，可知小球在竖直方向做自由落体运动，由t＝ eq \r(\f(2h,g))可知，下落时间只与井口到水面高度差h有关。
【变式8-2】(多选)一质量为m的质点以速度v0做匀速直线运动，在t＝0时开始受到恒力F作用，速度大小先减小后增大，其最小值为v＝0.5v0，由此可判断( )
A.质点受力F作用后一定做匀变速曲线运动
B.质点受力F作用后可能做圆周运动
C.t＝0时恒力F与速度v0方向间的夹角为60°
D.t＝eq \f(\r(3)mv0,2F)时，质点速度最小
答案 AD
解析 在t＝0时开始受到恒力F作用，加速度不变，做匀变速运动，若做匀变速直线运动，则最小速度可以为零，所以质点受力F作用后一定做匀变速曲线运动，故A正确；物体在恒力作用下不可能做圆周运动，故B错误；设恒力与初速度之间的夹角是θ，最小速度为v1＝v0sin θ＝0.5v0，可知初速度与恒力的夹角为钝角，所以是150°，故C错误；质点速度最小时，在沿恒力方向上有：v0cs 30°＝eq \f(F,m)·t，解得t＝eq \f(\r(3)mv0,2F)，故D正确。
【变式8-3】如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平。设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示，(坐标格为正方形，g取10 m/s2)求：
(1)小球在M点的速度v1；
(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；
(3)小球到达N点的速度v2的大小。
解析：(1)设正方形的边长为s0。
小球竖直方向做竖直上抛运动，v0＝gt1,2s0＝eq \f(v0,2)t1
水平方向做匀加速直线运动，3s0＝eq \f(v1,2)t1
解得v1＝6 m/s。
(2)由竖直方向运动的对称性可知，小球再经过t1到达x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为(12,0)，运动轨迹及N如图。
(3)到N点时竖直分速度大小为v0＝4 m/s，
水平分速度vx＝a水平tN＝2v1＝12 m/s，
故v2＝eq \r(v02＋vx2)＝4eq \r(10) m/s。
答案：(1)6 m/s (2)见解析图 (3)4eq \r(10) m/s