第2章练习卷（中等作业）2024--2025学年四年级下册数学 北师大版

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（中等作业）2024-2025学年下学期小学数学北师大新版四年级同步个性化分层作业第2章练习卷一．选择题（共5小题）1．（2024•平泉市）一个三角形，其中两个角分别是50°和70°，第三个角是（　　）A．80° B．70° C．60° D．50°2．（2024春•无为市期末）一个三角形最小的一个角是50°，这个三角形是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形3．（2024•陆丰市）下列各组小棒，不能围成三角形的是（　　）A．3cm，4cm，5cm B．6cm，6cm，12cm C．5cm，6cm，7cm D．10cm，12cm，15cm4．（2024春•亳州期末）下面是王刚为爷爷的菜地设计围篱笆的方案，哪种方案更牢固？（　　）A． B． C．5．（2024春•市北区期末）把一个大三角形分成两个小三角形后，每个小三角形的内角和是（　　）A．90° B．180° C．360° D．无法确定二．填空题（共5小题）6．（2024春•八步区期末）淘气准备用小棒围三角形，已经选用长度是7厘米和5厘米的两根小棒，第三根小棒最长是 　 　厘米，最短是 　 　厘米（取整厘米数），他围成的三角形内角和是 　 　°。7．（2024春•郏县期末）小明把一根长18厘米的小棒平均分成三段，摆出一个三角形，这个三角形有 　 　条对称轴；按角分类，这个三角形是 　 　三角形。8．（2024春•大连期末）看图计算各角的度数，填写在横线里。∠A＝　 　°∠C＝　 　°9．（2024春•沈河区期末）红领巾的一个角是30°，另两个角分别是 　 　度和 　 　度。10．（2024•天府新区）一个等腰三角形的两条边分别是3厘米和6厘米，则第三条边的长度是 　 　厘米，按角分它是 　 　三角形。三．判断题（共7小题）11．（2023春•上蔡县月考）都是立体图形。 　 　（判断对错）12．（2022秋•海口期末）长方体的六个面一定都是长方形。 　 　（判断对错）13．（2023春•商州区期中）所有的三角形都是锐角三角形．　 　（判断对错）14．（2023春•商州区期中）一个三角形至少有3个锐角． 　 　（判断对错）15．（2022秋•秀山县期末）正方形、长方形都是平行四边形　 　．（判断对错）16．（2022秋•平山县期末）梯形的两条腰一定不平行．　 　．（判断对错）17．（2023秋•昆明期末）一个梯形最多有2个直角。 　 　（判断对错）四．计算题（共1小题）18．（2023春•阜南县期中）∠1、∠2、∠3分别为一个三角形的三个内角，已知∠1＝55°，∠2比∠1少15°，求∠3的度数．五．连线题（共1小题）19．（2023秋•江夏区期末）看图连线。六．操作题（共1小题）20．（2024春•交城县期末）在下面点子图中画出对应的图形。七．应用题（共5小题）21．（2022春•元氏县期末）一块三角形菜地，它最大角是90°，是最小角的3倍，请你求出另外两个角的度数。22．（2021春•高陵区期末）一个等腰三角形的其中一个内角是76°，这个等腰三角形的另外两个内角分别是多少度？23．（2021春•金沙县期末）一个等腰三角形的顶角是100°，它的一个底角是多少度？如果这个等腰三角形的一个底角是75°，则它的顶角是多少度？24．（2021春•富县期末）红红家有一块三角形的小菜园，菜园的最大角是120°，且最大角的度数是最小角的4倍，这块三角形菜地其他角的度数是多少？这块地的形状是一个什么三角形？25．（2021春•鹤壁期末）曲米有两根同样长的小棒，长5dm，如果她想用3根小棒摆成一个三角形，第3根小棒最长是多少分米（取整分米数）？曲婷给了她一根小棒，结果摆成的三角形一个底角是35°。顶角是多少度？（中等作业）2024-2025学年下学期小学数学北师大新版四年级同步个性化分层作业第2章练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2024•平泉市）一个三角形，其中两个角分别是50°和70°，第三个角是（　　）A．80° B．70° C．60° D．50°【考点】三角形的内角和．【专题】推理能力．【答案】C【分析】根据三角形内角和为180°，用180°减去两个已知角的度数，即可求出第三个角的度数。【解答】解：180°﹣50°﹣70°＝130°﹣70°＝60°答：第三个角是60°。故选：C。【点评】本题考查角度的计算。2．（2024春•无为市期末）一个三角形最小的一个角是50°，这个三角形是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形【考点】三角形的分类；三角形的内角和．【专题】常规题型；数感．【答案】A【分析】因为在一个三角形中，至少有2个锐角，再据“一个三角形中最小的一个内角是50°”可知，另一个锐角的度数一定大于50°，则这两个锐角的和一定大于90°，又因三角形的内角和是180°，从而可以得出第三个内角必定小于90°，于是就可以判定这个三角形的类别。【解答】解：因为在一个三角形中，至少有2个锐角，再据“一个三角形中最小的一个内角是50°”可知，另一个锐角的度数一定大于50°，则这两个锐角的和一定大于90°，又因三角形的内角和是180°，从而可以得出第三个内角必定小于90°，所以这个三角形是锐角三角形。故选：A。【点评】此题主要考查依据角的度数判定三角形的类别方法。3．（2024•陆丰市）下列各组小棒，不能围成三角形的是（　　）A．3cm，4cm，5cm B．6cm，6cm，12cm C．5cm，6cm，7cm D．10cm，12cm，15cm【考点】三角形边的关系．【专题】几何直观．【答案】B【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答。【解答】解：A.4+3＞5，可以组成三角形；B.6+6＝12，不可以组成三角形；C.5+6＞7，能组成三角形；D.10+12＞15，能围成三角形。故选：B。【点评】本题考查了三角形的三边关系的应用。4．（2024春•亳州期末）下面是王刚为爷爷的菜地设计围篱笆的方案，哪种方案更牢固？（　　）A． B． C．【考点】平行四边形的不稳定性．【专题】空间与图形．【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，解答此题即可。【解答】解：这种方案更牢固。故选：C。【点评】熟练掌握三角形和四边形的特性，是解答此题的关键。5．（2024春•市北区期末）把一个大三角形分成两个小三角形后，每个小三角形的内角和是（　　）A．90° B．180° C．360° D．无法确定【考点】三角形的内角和．【专题】常规题型；几何直观．【答案】B【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。【解答】解：把一个大三角形分成两个小三角形后，每个小三角形的内角和是180°。故选：B。【点评】任何三角形的内角和都等于180°。二．填空题（共5小题）6．（2024春•八步区期末）淘气准备用小棒围三角形，已经选用长度是7厘米和5厘米的两根小棒，第三根小棒最长是 　11　厘米，最短是 　3　厘米（取整厘米数），他围成的三角形内角和是 　180　°。【考点】三角形的内角和；三角形边的关系．【专题】应用意识．【答案】11，3，180。【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行解答即可。【解答】解：（7﹣5）厘米＜第三边＜（7+5）厘米所以：2厘米＜第三边＜12厘米即第三边的取值在2厘米～12厘米（不包括2厘米和12厘米），因为三根小棒都是整厘米数，所以第三根小棒最长为：12﹣1＝11（厘米），最短为：2+1＝3（厘米）。他围成的三角形内角和是180°。故答案为：11，3，180。【点评】此题关键是根据三角形的三边关系进行分析、解答。7．（2024春•郏县期末）小明把一根长18厘米的小棒平均分成三段，摆出一个三角形，这个三角形有 　3　条对称轴；按角分类，这个三角形是 　锐角　三角形。【考点】三角形的分类；确定轴对称图形的对称轴条数及位置．【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．【答案】3；锐角。【分析】把小棒平均分成三段，每段的长度相等，根据等边三角形的特征确定是什么形状的三角形，再根据轴对称图形的特点确定这个三角形的对称轴，进而根据三角形的分类得出这个三角形的类型。【解答】解：18÷3＝6（厘米）三角形的三条比边长度相等，这是一个等边三角形。等边三角形的对称轴有3条。等边三角形的每个角都是60°，60°是锐角，所以这个三角形是锐角三角形。答：小明把一根长18厘米的小棒平均分成三段，摆出一个三角形，这个三角形有3条对称轴；按角分类，这个三角形是锐角三角形。故答案为：3；锐角。【点评】本题考查三角形的分类以及等边三角形的特征，熟练掌握等边三角形、锐角三角形以及轴对称图形的特征是解题的关键。8．（2024春•大连期末）看图计算各角的度数，填写在横线里。∠A＝　77　°∠C＝　55　°【考点】三角形的内角和．【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．【答案】77；55。【分析】（1）根据三角形内角和是180°，用180°减去∠B、∠C的度数，即可求出∠A的度数；（2）根据三角形内角和是180°，直角三角形中有一个角是90°，求出∠C的度数。【解答】解：（1）180°﹣75°﹣28°＝105°﹣28°＝77°答：∠A＝77°。（2）180°﹣90°﹣35°＝90°﹣35°＝55°答：∠C＝55°。故答案为：77；55。【点评】本题考查角的计算，熟练掌握三角形内角和是180°是解题的关键。9．（2024春•沈河区期末）红领巾的一个角是30°，另两个角分别是 　30　度和 　120　度。【考点】三角形的内角和．【专题】几何直观．【答案】30，120。【分析】红领巾是等腰三角形，内角和是180度，并且两腰相等、两底角相等；由此解答即可。【解答】解：因为红领巾的形状是钝角三角形，所以一个角是30°，另一个角也是30°，则钝角为：180﹣30﹣30＝120（度）所以红领巾的一个角是30°，另两个角分别是30度和120度。故答案为：30，120。【点评】灵活掌握三角形的内角和及等腰三角形的含义，是解答此题的关键。10．（2024•天府新区）一个等腰三角形的两条边分别是3厘米和6厘米，则第三条边的长度是 　6　厘米，按角分它是 　锐角　三角形。【考点】三角形边的关系．【专题】几何直观．【答案】6；锐角。【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边长度的和大于第三边，可以确定第三条边的长度，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此解答。【解答】解：假设等腰三角形的腰是3cm，3+3＝6，不符合三角形的三边关系，假设等腰三角形的腰是6cm，3+6＞6，6+6＞3，符合三角形的三边关系，所以第三条边的长度是6厘米；如下图，由图可知，这个三角形是锐角三角形。故答案为：6；锐角。【点评】掌握三角形的三边关系、等腰三角形的特征是解答本题的关键。三．判断题（共7小题）11．（2023春•上蔡县月考）都是立体图形。 　×　（判断对错）【考点】立体图形的分类及识别．【专题】几何直观．【答案】×【分析】从实物中抽象出来的各种图形，统称为几何图形，几何图形是数学研究的主要对象之一，有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。据此解答。【解答】解：前三个分别是三角形，正方形和圆形，它们是平面图形，因此原题说法错误。故答案为：×。【点评】本题考查了立体图形和平面图形的特征。12．（2022秋•海口期末）长方体的六个面一定都是长方形。 　×　（判断对错）【考点】长方形的特征及性质．【专题】几何直观．【答案】×【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），当长方体有两个相对的面是正方形时，其余四个面的面积相等，形状完全相同。【解答】解：长方体的六个面中，最多有2个面是特殊的长方形，即正方形，此时剩下的4个面是相同的长方形；所以长方体的六个面一定都是长方形，不能有正方形的面是错误的。故答案为：×。【点评】正确理解长方体的特征是解决此题的关键。13．（2023春•商州区期中）所有的三角形都是锐角三角形．　×　（判断对错）【考点】三角形的分类．【专题】平面图形的认识与计算．【答案】见试题解答内容【分析】因为三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形，两个边相等的三角形是等腰三角形；据此解答即可．【解答】解：据分析可知：三角形按照角分类，可以分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，所以题干的说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题考查了根据角对三角形分类的方法．14．（2023春•商州区期中）一个三角形至少有3个锐角． 　×　（判断对错）【考点】三角形的内角和．【专题】平面图形的认识与计算．【答案】×【分析】根据三角形的内角和等于180度可知，一个三角形至少有3个锐角，就有可能三个内角和小于180度；一个三角形中若有两个直角或钝角，就超过180°，由此可以做出判断．【解答】解：因为三角形的内角和是180°，若一个三角形至少有3个锐角，就有可能三个内角和小于180度，若一个三角形中若有两个直角或钝角，就超过180°，就构不成一个三角形了，所以一个三角形，至少应有两个锐角．故“一个三角形至少有3个锐角“是错误的．故答案为：×．【点评】此题主要考查三角形的分类以及三角形的内角和．15．（2022秋•秀山县期末）正方形、长方形都是平行四边形　√　．（判断对错）【考点】平行四边形的特征及性质．【专题】平面图形的认识与计算．【答案】见试题解答内容【分析】有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，正方形和正方形都是特殊的平行四边形．据此解答即可．【解答】解：正方形和长方形是特殊的平行四边形，所以方形、长方形都是平行四边形，故答案为：√．【点评】解决本题的关键是明确长方形和正方形是特殊的平行四边形．16．（2022秋•平山县期末）梯形的两条腰一定不平行．　√　．（判断对错）【考点】梯形的特征及分类．【专题】平面图形的认识与计算．【答案】见试题解答内容【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形，平行的这组对边叫做梯形的底，不平行的对边叫做梯形的腰，由此可知：梯形的两条腰一定不平行；由此判断即可．【解答】解：根据梯形的特征可知：梯形的两条腰一定不平行，如果延长，可以相交，所以本题说法正确；故答案为：√．【点评】此题考查梯形的特征及同一平面内两条直线的位置关系的灵活应用．17．（2023秋•昆明期末）一个梯形最多有2个直角。 　√　（判断对错）【考点】梯形的特征及分类．【专题】几何直观．【答案】√【分析】根据梯形的特征及四边形的内角和是360°，梯形只有一组对边平行，所以梯形中最多有两个直角．据此解答。【解答】解：一个梯形，直角最多有2个。故答案为：√。【点评】此题考查的目的是理解掌握梯形的特征，以及四边形的内角和是360°。四．计算题（共1小题）18．（2023春•阜南县期中）∠1、∠2、∠3分别为一个三角形的三个内角，已知∠1＝55°，∠2比∠1少15°，求∠3的度数．【考点】三角形的内角和．【专题】平面图形的认识与计算．【答案】见试题解答内容【分析】由∠1＝55°，∠2比∠1少15°可知，∠2的度数等于∠1的度数减15°，再根据三形内角和定理，三角形三个内角之和为180°即可求出∠3的度数．【解答】解：因为已知∠1＝55°，∠2比∠1少15°所以∠2＝55°﹣15°＝40°又因为∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝555°，∠2＝40°所以∠3＝180°﹣55°﹣40°＝85°答：∠3的度数是85°．【点评】解答此题的关键是三角形内角定理．五．连线题（共1小题）19．（2023秋•江夏区期末）看图连线。【考点】立体图形的分类及识别．【专题】空间观念．【答案】【分析】根据正方体、球、圆柱、长方体的特征进行分类识别，再连线即可。【解答】解：【点评】本题考查了正方体、球、圆柱、长方体的特征，从而进行分类识别。六．操作题（共1小题）20．（2024春•交城县期末）在下面点子图中画出对应的图形。【考点】平面图形的分类及识别；角的分类（锐角直角钝角）；正方形的特征及性质．【专题】几何直观．【答案】（锐角的画法不唯一）【分析】根据平行四边形、锐角、正方形的特征作图即可。【解答】解：（锐角的画法不唯一）【点评】本题考查了平行四边形、锐角、正方形的特征，要熟练掌握。七．应用题（共5小题）21．（2022春•元氏县期末）一块三角形菜地，它最大角是90°，是最小角的3倍，请你求出另外两个角的度数。【考点】三角形的内角和．【专题】空间与图形．【答案】30°和60°。【分析】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。【解答】解：90÷3＝30（度）180﹣90﹣30＝60（度）答：另外两个角的度数是30°和60°。【点评】熟练掌握三角形的内角和知识，是解答此题的关键。22．（2021春•高陵区期末）一个等腰三角形的其中一个内角是76°，这个等腰三角形的另外两个内角分别是多少度？【考点】三角形的内角和．【专题】应用意识．【答案】52°、52°或76°、28°。【分析】根据三角形的内角和是180°，当76°是顶角时，用180°减去76°，再除以2，求出底角的度数；当76°是底角时，用三角形的内角和减去两个76°就是顶角的度数。【解答】解：（180°﹣76°）÷2＝104°÷2＝52°180°﹣76°×2＝180°﹣152°＝28°答：这个等腰三角形的另外两个内角是52°、52°或76°、28°。【点评】熟练掌握三角形的内角和以及等腰三角形的特征是解题的关键。23．（2021春•金沙县期末）一个等腰三角形的顶角是100°，它的一个底角是多少度？如果这个等腰三角形的一个底角是75°，则它的顶角是多少度？【考点】三角形的内角和．【专题】几何直观．【答案】40°；30°。【分析】因为等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180度，用180°减去顶角100°，然后再除以2，即可知道底角度数；用180度减去两个底角的和就是顶角，据此解答。【解答】解：根据等腰三角形特性，底角：（180°﹣100°）÷2＝80°÷2＝40°答：它的一个底角是40°。顶角：180°﹣75°×2＝180°﹣150°＝30°答：它的顶角是30°。【点评】解决本题的关键是根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形的内角和是180度进行解答。24．（2021春•富县期末）红红家有一块三角形的小菜园，菜园的最大角是120°，且最大角的度数是最小角的4倍，这块三角形菜地其他角的度数是多少？这块地的形状是一个什么三角形？【考点】三角形的内角和；三角形的分类．【专题】平面图形的认识与计算；运算能力；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】这块三角形菜园的最大角是120°，且最大角的度数是最小角的4倍，用120°除以4就是最小角的度数；再根据三角形内角和定理（三角形三个内角之和是180°）即可求出另一个角的度数．这个三角形中最大角是120°，属于钝角，根据钝角三角形的意义，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，此三角形为钝角三角形．【解答】解：120°÷4＝30°180°﹣120°﹣30°＝30°这个三角形的最大角是钝角，它是一个钝角三角形答：这块三角形菜地其他角的度数都是30°，这块地的形状是一个钝角三角形．【点评】此题考查的知识有三角形内角和定理、三角形（按角）分类．25．（2021春•鹤壁期末）曲米有两根同样长的小棒，长5dm，如果她想用3根小棒摆成一个三角形，第3根小棒最长是多少分米（取整分米数）？曲婷给了她一根小棒，结果摆成的三角形一个底角是35°。顶角是多少度？【考点】三角形边的关系；三角形的内角和．【专题】常规题型；能力层次．【答案】9分米；110度。【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，和三角形的内角和等于180°，解答此题即可。【解答】解：第3根小棒＜5+5第三根小棒＜10（分米）答：第3根小棒最长是9分米。180°﹣35°×2＝180°﹣70°＝110°答：顶角是110度。【点评】熟练掌握三角形的三边关系和三角形内角和定理，是解答此题的关键。考点卡片1．平面图形的分类及识别【知识点归纳】1．概念：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形．2．平面图形分类：（1）三角形：按边分有等腰三角形，不等腰三角形．按角分有：锐角三角形．直角三角形，钝角三角形．（2）四边形：任意四边形，平行四边形，梯形．（3）圆形：扇形．【命题方向】常考题型：例：把符合要求的序号填在括号里．它是只有一组对边平行的四边形．（　D　）它是一个平行四边形，相邻两边不相等，并且有四个直角．（　B　）它是两组对边分别平行，没有直角．（　A　）它是四条边都相等的平行四边形，并且有四个直角．（　C　）A．平行四边形 B．长方形 C．正方形 D．梯形．分析：正方形、长方形、平行四边形、梯形都是由四条线段围成的图形，所以都是四边形，任意一个四边形的内角和都是360°，所以它们四个内角的和都是360°；只有一组对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别平行并且相等的四边形叫做平行四边形．4个角都是直角，只有正方形和长方形具有这样的特征，所以4个角都是直角的图形不是正方形就是长方形，据此即可解答．解：只有一组对边平行的四边形是梯形，相邻两边不相等，并且有四个直角是直角的平行四边形是长方形，两组对边分别平行，没有直角的是平行四边形，四条边都相等，并且有四个直角的平行四边形是正方形，故答案为：D，B，A，C．点评：本题主要考查平面图形的分类及识别，熟练掌握正方形、长方形、平行四边形、梯形的特征是解答本题的关键．2．立体图形的分类及识别【知识点归纳】1．立体几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，统称为几何图形，几何图形是数学研究的主要对象之一．有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形．由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形．点动成线，线动成面，面动成体．即由面围成体，看一个体最多看到立体图形实物三个面．2．常见立体几何图形及性质：（1）正方体：有8个顶点，6个面．每个面面积相等（或每个面都有正方形组成）．有12条棱，每条棱长的长度都相等．（正方体是特殊的长方体）（2）长方体：有8个顶点，6个面．每个面都由长方形或相对的一组正方形组成．有12条棱，相对的4条棱的棱长相等．（3）圆柱：上下两个面为大小相同的圆形．有一个曲面叫侧面．展开后为长方形或正方形或平行四边形．有无数条高，这些高的长度都相等．（4）圆锥：有1个顶点，1个曲面，一个底面．展开后为扇形．只有1条高．四面体有1个顶点，四面六条棱高．（5）直三棱柱：三条侧棱切平行，上表面和下表面是平行且全等的三角形．（6）球：球是生活中最常见的图形之一，例如篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体．【命题方向】命题方向：例：下列形体，截面形状不可能是长方形的是（　　）分析：用一个平面截一个几何体得到的形状叫做几何体的截面，据此分析解答．解：长方体，正方体，圆柱的截面都可能出现长方形，只有圆锥的截面只与圆、三角形有关；故选：C．点评：面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关；对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．3．角的分类（锐角直角钝角）【知识点归纳】根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180°（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360°（3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。【命题方向】常考题型：1.钟面上9时整，时针和分针成______角；钟面上6时整，时针和分针成_______角．解：由分析可知，钟面上9时整时针和分针所成的角是：3×30°＝90°，是一个直角；6时整，时针指着6，分针指着12，两针成一直线，时针和分针成平角；故答案为：直，平。2.2022年北京冬奥会将于2022年2月4日晚上8时开幕，此时时针和分针所形成的角是______角。答案：钝3、1平角＝______直角 1周角＝______直角．答案：2；44．长方形的特征及性质【知识点归纳】长方形：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等．长方形的性质：1．长方形的4个内角都是直角；2．长方形对边相等；3．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点．4．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质长方形的判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形②定理1：有三个角是直角的四边形是长方形矩形的面积：S矩形＝长×宽＝ab．黄金长方形：宽与长的比是（√5﹣1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金长方形．黄金长方形给我们一协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙等．【命题方向】常考题型：例：如图中甲的周长与乙的周长相比（　　）A、甲长 B、乙长 C、同样长分析：因为甲的周长＝长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长＝长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，根据长方形的特征：对边相等；进行解答继而得出结论．解：甲的周长＝长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长＝长方形的另一组邻边的和+中间的曲线的长，因为长方形对边相等，所以甲的周长等于乙的周长；故选：C．点评：解答此题应根据长方形的特征，并结合周长的计算方法进行解答．5．正方形的特征及性质【知识点归纳】1．概念：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：（1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直（2）内角：四个角都是90°；（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）．（5）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．（6）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．（7）正方形是特殊的长方形．【命题方向】常考题型：例：四个角都是直角的四边形一定是正方形．　×　．（判断对错）分析：根据正方形的特征及性质可知：具有四条边都相等且四个角都是直角的四边形为正方形，据此判断即可．解：因为四边相等，四个角都是直角的四边形是正方形，所以题干的说法不全面，四个角都是直角的四边形还可能是长方形，因此题干的说法是错误的；故答案为：×．点评：本题主要考查正方形的特征及性质．6．平行四边形的特征及性质【知识点归纳】平行四边形的概念：1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“▱ABCD”，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．（1）平行四边形属于平面图形．（2）平行四边形属于四边形．（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等．（4）平行四边形属于中心对称图形．2．平行四边形的性质：主要性质（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．【命题方向】常考题型：例1：两组对边分别平行没有直角的图形是（　　）A、长方形 B、平行四边形 C、梯形分析：平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；如果两组对边分别平行、有4个直角的四边形是长方形或正方形；据此判断即可．解：两组对边分别平行没有直角的图形是平行四边形．故选：B．点评：此题应根据平行四边形的含义进行分析、解答．例2：一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（　　）A、周长不变，面积变大 B、周长不变，面积也不变C、周长变小，面积变小 D、周长不变，面积变小分析：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．解：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．故选：D．点评：此题主要考查周长的定义及平行四边形和长方形的面积之间的变化关系．7．平行四边形的不稳定性【知识点归纳】当平行四边形变长固定时，却可以改变其夹角形成无数个边长相同而夹角不同的平行四边形，而平行四边形的不稳定性就是指行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。【命题方向】常考题型：1.伸缩门利用了平行四边形不稳定的特性．_______．（判断对错）答案：√2.下面说法不正确的是（　　）A．伸缩门是根据平行四边形的不稳定性制作的B．三角形具有稳定性C．好多桌子椅子都方的，所以正方形也具有稳定性答案：C3.圆柱体、三角形、正方体、平行四边形中，_____、_______是立体图形，平面图形里_______具有不稳定性。解：圆柱体、三角形、正方体、平行四边形中，圆柱体、正方体是立体图形，平面图形里平行四边形具有不稳定性。故答案为：圆柱体、正方体；平行四边形。8．梯形的特征及分类【知识点归纳】1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．2．分类：（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（3）一般梯形．【命题方向】常考题型：例1：只有一组对边平行的四边形是（　　）A、三角形 B、长方形 C、平行四边形 D、梯形分析：根据梯形的定义可知：只有一组对边平行的四边形是梯形，由此即可选择．解：只有一组对边平行的四边形是梯形，故选：D．点评：此题考查了梯形的定义．例2：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成（　　）A、平行四边形 B、长方形 C、三角形分析：两个完全一样的直角梯形，可以拼成平行四边形和长方形，但不能拼成三角形；据此解答．解：由分析可知：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成三角形；故选：C．点评：结合题意，根据完全一样的两个直角三角形拼组的特点，即可得出结论．9．三角形的分类【知识点归纳】1．按角分判定法一：锐角三角形：三个角都小于90°．直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．钝角三角形：有一个角大于90°．判定法二：锐角三角形：最大角小于90°．直角三角形：最大角等于90°．钝角三角形：最大角大于90°．其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．2．按边分不等边三角形；等腰三角形；等边三角形．【命题方向】常考题型：例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（　　）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定分析：判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了（2+3+4）＝9份，最大角占总和的49，根据一个数乘分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可．解：最大角：180×42+3+4=80（度），因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；故选：A．点评：此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．10．三角形的内角和【知识点归纳】三角形内角和为180°．直角三角形的两个锐角互余．【命题方向】常考题型：例1：把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（　　）A、90° B、180° C、60°分析：根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180度，据此解答．解：因为三角形的内角和等于180°，所以每个小三角形的内角和也是180°．故选：B．点评：本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．例2：在三角形三个内角中，∠1＝∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）三角形．A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不能确定分析：根据三角形的内角和为180°结合已知，可求∠1＝90°，即可判断三角形的形状．解：因为∠1＝∠2+∠3，所以∠1＝180°÷2＝90°，所以这个三角形是直角三角形．故选：B．点评：此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．11．三角形边的关系【知识点归纳】1、两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。2、三角形任意两边的和大于第三边。【命题方向】常考题型：1.判断每组线段能不能围成三角形？为什么？8cm，2cm，4cm5cm，5cm，5cm3cm，3cm，6cm3cm，7cm，9cm答案：5cm，5cm，5cm 和3cm，7cm，9cm可以，其他不行2.通过用纸条摆三角形，可以发现：三角形任意两边的和_______第三边。答案：大于3.搭1个有两个内角相等的三角形，若其中两条边分别长4cm和8cm，则第三条边是几厘米？解决这个问题最主要用到下列（　　）知识。A．三角形的内角和B．三角形的三边关系C．三角形的稳定性D．三角形的分类答案：B3.在“研究三角形的三边关系”时，同学们准备把12厘米长的小棒剪成三段围成三角形，如果第一刀剪在3厘米处，要想围成三角形，第二刀可以剪在（　　）处。A．A B．B C．C答案：C12．确定轴对称图形的对称轴条数及位置【知识点归纳】1．对称轴的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 （成轴）对称，这条直线就是它的对称轴．2．找到对应点的连线，如果连线的中点都在一条直线上，说明是其图形的对称轴．3．掌握一般图形的对称轴数目和位置对于快速判断至关重要．【命题方向】常考题型：例：下列图形中，（　　）的对称轴最多．A、正方形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、圆形分析：依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以作出正确选择．解：（1）因为正方形沿两组对边的中线及其对角线对折，对折后的两部分都能完全重合，则正方形是轴对称图形，两组对边的中线及其对角线就是其对称轴，所以正方形有4条对称轴；（2）因为等边三角形分别沿三条边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等边三角形是轴对称图形，三条边的中线所在的直线就是对称轴，所以等边三角形有3条对称轴；（3）因为等腰梯形沿上底与下底的中点的连线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等腰梯形是轴对称图形，上底与下底的中点的连线就是其对称轴，所以等腰梯形有1条对称轴；（4）因为圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，所以说圆有无数条对称轴．所以说圆的对称轴最多．故选：D．点评：解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征．例2：下列图形中，对称轴条数最多的是（　　）分析：先找出对称轴，从而得出对称轴最多的图形．解：A：根据它的组合特点，它有4条对称轴；B：这是一个正八边形，有8条对称轴；C：这个组合图形有3条对称轴；D：这个图形有5条对称轴；故选：B．点评：此题考查了轴对称图形的定义，要求学生能够正确找出轴对称图形的对称轴． 题号12345答案CABCB