初中数学北师大版（2024）九年级下册2 圆的对称性练习

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册2 圆的对称性练习，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=16cm，CD=6cm，则⊙O的半径为（ ）
A．cmB．10cmC．8cmD．cm
2．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．42°B．48°C．21°D．16°
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧
C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
4．下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等．其中正确的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
5．如图,在中,, 则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE= ( )

A．40°B．60°C．80°D．120°
7．如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A．15B．20C．15＋5D．15＋5
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
9．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（ ）①CE＝OE②∠C＝50° ③＝④AD＝2OE
A．①④B．②③C．②③④D．①②③④
10．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数
C．长度相等的两段弧是等弧D．半径相等的两个半圆是等弧
11．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
13．如图,∠AOB＝110°, 则 ∠ACB= .
14．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
15．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为 度．
16．如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD= CE，则 与弧长的大小关系是
17．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝ ．
三、解答题
18．如图，已知点O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.
求证：(1)∠AOE＝∠BOD；
(2).
19．如图，中，弦AB，CD相交于点E，且，连结AC，BD，求证：．
20．（1）解方程：．
（2）如图，，，，是上的四个点，且，求证：．
21．如图，，比较与的长度，并证明你的结论．
22．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；
23．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°.
(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；
(2)若点D是的中点，求证：四边形OADB是菱形．
24．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点，
求证：；
若求平分．
《3.2圆的对称性》参考答案
1．A
【详解】试题分析：连结OA，如图，设⊙O的半径为r，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=8，
在Rt△OAC中，∵OA=r，OC=OD﹣CD=r﹣6，AC=8，
∴（r﹣6）2+82=r2，解得r=，
即⊙O的半径为cm．
故选A．
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
2．C
【分析】根据弦相等可得，再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．
【详解】解： 点A、B、C、D、E在上，，，
，
，
故选：C．
【点睛】题目主要考查同圆中，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，熟练运用圆周角定理及四者之间的关系是解题关键．
3．B
【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．
【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；
B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；
D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识．
4．B
【详解】试题分析：本题利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”来判断，其中“在同圆或等圆中”是必备条件.
解：①两个相等的弧一定是在同圆或等圆中，故此时等弧对等弦，①正确；
②两个相等的弦不一定在同圆或等圆中，故②错误；
③两个相等的弦不一定在同圆或等圆中，故③错误；
④两个相等的圆心角不一定在同圆或等圆中，故④错误；
⑤两个相等的弧一定是在同圆或等圆中，故此时等弧所对的圆心角相等，⑤正确．
综上①⑤正确.
故选B.
5．A
【分析】根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，选择即可．
【详解】∵中,, ，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了圆心角的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
6．B
【分析】根据题意先求出∠BOE=120°，再利用邻补角即可求出∠AOE.
【详解】∵D,C是劣弧EB的三等分点,
∴∠BOE=3∠BOC=120°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=60°
选B.
【点睛】此题主要考查圆的圆心角度数问题.
7．C
【详解】试题分析：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，
因此，只要AP的长为最大值，
∴当P的运动到D点时，AP最长为，所以周长为5×3+=15+．
故选C．
考点：圆心角、弧、弦的关系；勾股定理．
8．B
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
9．B
【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．
【详解】∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE＝DE，，，
∴∠BOC＝2∠A＝40°，，
即，故③正确；
∵∠OEC＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠C＝50°，故②正确；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①错误；
作OP∥CD，交AD于P，
∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP＝90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④错误；
故选：B．
【点睛】此题考查圆的垂径定理，圆心角、弧、弦的定理，直角三角形两锐角互余及边的关系，平行线的性质.
10．C
【分析】根据圆的相关性质，圆心角、弧、弦的关系判定即可．
【详解】解：A等弧所对的圆心角相等，故正确；
B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故正确；
C.等弧的概念是在只能完全重合的两段弧，错误；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，
故选：C．
【点睛】此题主要考查圆心角、弧、弦的关系，正确的理解题意是解题的关键．
11．B
【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案.
【详解】①直径是圆中最长的弦，故正确；
②在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，故②错误；
③圆是中心对称图形，故正确；
④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故④错误，
正确的有2个，
故选：B.
【点睛】此题考查圆的性质，正确掌握弦、等弧的定义，圆的对称性是解题的关键.
12．C
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．
【详解】解：如图，连接OC、OD．

∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD=DA=4，
∴弧AD=弧CD=弧BC，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4，
∴⊙O的周长=2×4π=8π．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等．．
13．125°
【分析】根据弧的度数等于弧所对的圆心角的度数，等于所对的圆周角度数的2倍解题.
【详解】解：.根据题意可得：劣弧AB的度数为110°，则优弧AB的度数为250°，
则圆周角∠ACB=125°.
【点睛】本题考查圆心角，圆周角及弧的度数，掌握它们之间的关系是本题的解题关键.
14．30°
【分析】连接OC,由题意得出△AOC是等边三角形即可解答.
【详解】如图，连接OC．
∵AB是直径，，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【点睛】本题考查了等弧所对的圆心角相等的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的有关知识.
15．60
【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答．
【详解】连接OC、OD，
∵，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠P=60°，
故答案为60．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
16．相等
【详解】试题分析：由CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE,再结合公共边CO可得△COD≌△COE，即可得到∠COD=∠COE，从而得到结果.
∵CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE，CO=CO
∴△COD≌△COE
∴∠COD=∠COE
∴ 与弧长的大小关系是相等.
考点：全等三角形的判定和性质，圆的基本性质
点评：全等三角形的判定和性质的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.
17．2
【分析】根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC=∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD=2CM，代入求出即可．
【详解】解：连接OC，
∵C为的中点，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a，
∴OM＝ON＝n，
∴CM＝＝，
∵CM⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD＝2CM＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间关系、垂径定理，角平分线性质等知识点，关键是求出CM的长和得出CD=2CM．
18．证明见解析
【详解】分析：（1）先画出图形，根据等腰三角形的性质，可得出∠A=∠B，再由OA=OD，OB=OE，可得出∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，即可得出∠AOD=∠BOE，即可得出∠AOE=∠BOD；
（2）根据∠AOD=∠BOE，由弧、弦、圆心角之间的关系，即可得出．
详解：（1）∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵OA=OD，OB=OE，
∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，
∴∠AOD=∠BOE，
∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，
∴∠AOE=∠BOD；
（2）∵∠AOD=∠BOE，
∴．
点睛：本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
19．证明见解析．
【分析】由AB＝CD，根据弧与弦的关系，可得，继而证得，则可证得AC＝BD．
【详解】证明：∵，
∴．
∴．
即．
∴．
【点睛】此题考查了弦与弧的关系，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．（1），；（2）见解析
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可求解；根据圆中弧、弦、圆心角的关系即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
或，
，；
（2）证明：，
，
，
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法及圆中弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是根据定理进行解答．
21．＝，见解析．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AD=BC解得＝，继而得到＝．
【详解】解：＝，
证明如下：
∵AD＝BC，
∴＝，
∴＋＝＋，
即＝．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
22．见解析
【分析】根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证．
【详解】证明：∵＝，
∴＝，
∴，
∴BD=AC．
【点睛】本题考查了弦与弧之间的关系，掌握同圆或等圆中，等弧对等弦是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系，由得AB=AC，加上∠ACB=60°，则可判断△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA，于是根据圆心角、弧、弦的关系即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）连接OD，如图，由D是的中点得，则根据圆周角定理得∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，易得△OAD和△OBD都是等边三角形，则OA=AD=OD，OB=BD=OD，所以OA=AD=DB=BO，于是可判断四边形OADB是菱形．
【详解】（1）∵，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，
又∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，AB＝BC＝CA，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；
（2）如图，连接OD，
∵D是的中点，
∴ .
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝∠ACB＝60°，
又OD＝OA，OD＝OB，
∴△OAD和△OBD都是等边三角形，
∴OA＝AD＝OD，OB＝BD＝OD，
∴OA＝AD＝DB＝BO，
∴四边形OADB是菱形．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．
24．证明见解析；证明见解析．
【分析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；
利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案．
【详解】证明：


为直径，


．
证明：


为半圆的切线，





平分．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
B
A
B
C
B
B
C
题号
11
12








答案
B
C