北师大版（2024）九年级下册第三章 圆6 直线与圆的位置关系同步测试题

这是一份北师大版（2024）九年级下册第三章 圆6 直线与圆的位置关系同步测试题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（ ）
A．与x轴相离、与y轴相切B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相切、与y轴相离D．与x轴、y轴都相切
2．如图，已知圆O是的内切圆，且，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆B．三角形的外心是三角形的中心
C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上
4．已知的半径是，点在上，如果点到直线的距离是，那么与直线的位置关系是 （ ）
A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离
5．已知某直线到圆心的距离为，圆的周长为，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
6．如图 ，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
A．4B．8C．6D．10
7．若与四边形各边都相切的圆叫四边形的内切圆，则下列图形一定有内切圆的是( )
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．任意四边形
8．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA.若∠P=36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（ ）
A．27°B．32°C．36°D．54°
9．如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
10．如图，点A的坐标为（－3，－2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（0，－2）B．（0，－3）C．（－3，0）或（0，－2）D．（－3，0）
11．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cmB．2cmC．8cmD．2cm或8cm
12．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（ ）时，直线是的切线．
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，PC＝3，PB＝1，则⊙O的半径等于 .
14．已知⊙O的半径OA＝5cm，延长OA到B，AB＝2cm，以OB为一边作∠OBC＝45°，那么BC所在直线与⊙O的位置关系是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，，则经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为 ；点坐标为，连接，直线与的位置关系是 ．
16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为
17．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，若∠A = 28°，则∠PCB = °.
三、解答题
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
19．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
20．我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离.类比直线与圆的位置关系，给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个公共点叫做直线与抛物线相交；直线与抛物线有唯一的公共点叫做直线与抛物线相切，这个公共点叫做切点；直线与抛物线没有公共点叫做直线与抛物线相离.
(1)记一次函数的图像为直线，二次函数的图像为抛物线，若直线与抛物线相交，求的取值范围；
(2)若二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点，直线l与CB平行，并且与该二次函数的图像相切，求切点P的坐标.
21．如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．
22．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．如图P，Q两点即为同族点．
(1)已知点A的坐标为（﹣3，1），点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为 ；
(2)直线l：y＝x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，
①M为线段CD上一点，若在直线x＝n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；
②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．
23．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，连接，作，交的延长线于点．求证：是的切线．

24．如图，是的直径，是的弦，于点D，交于F，与过点B的直线交于点E，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为10，，求的长．
《3.6直线和圆的位置关系》参考答案
1．C
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【详解】解：∵是以点（3，2）为圆心，2为半径的圆，
则有2＝2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．
2．C
【分析】由三角形内切定义可知是的角平分线，所以可得到关系式，把对应数值代入即可求得的值．
【详解】解：∵O是的内切圆，
∴是的角平分线，
∴
，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆，以及三角形的角平分线．关键是要知道内切圆的圆心是三个角平分线的交点．
3．D
【分析】根据三点确定一个圆的定理、三角形外心的定义依次判断即可．
【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故A选项说法错误；
等边三角形的外心是三角形的中心，故B选项说法错误；
三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故C选项说法错误；
等腰三角形的外心在顶角的角平分线上，故D选项说法正确；
故选：D．
【点睛】此题考查点确定圆的条件，三角形外心的定义及性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
4．D
【分析】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系解答．
【详解】解：如图，

当点 与 重合时， 与直线 相切；
当点 与 不重合时， 与直线 相离，
∴ 与直线 的位置关系是相切或相离．
故选：D．
5．B
【分析】根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，即可得到问题选项．
【详解】解：∵圆的周长为10πcm，
∴圆的半径为5cm，
∵圆心到直线l的距离为5cm，
∴d=r，
∴直线与圆相切，
∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键．
6．B
【详解】分析：根据切线的性质和∠P的度数得出△PAB为等边三角形，从而得出答案．
详解：∵PA和PB为切线， ∴PA=PB， ∵∠P=60°， ∴△PAB为等边三角形，
∴AB=PA=8， 故选B．
点睛：本题主要考查的是切线的性质，属于基础题型．明确切线的性质是解题的关键．
7．C
【分析】首先根据题意中的内切圆的定义，以及各四边形的性质进行分析，进而确定最后的答案即可.
【详解】角平分线上的点到两边的距离相等，菱形的对角线同时也是菱形内角的平分线，所以菱形两对角线的交点到菱形各边的距离相等．以交点为圆心，距离为半径的圆就是菱形的内切圆.
故选C.
【点睛】本题考查的是内切圆，熟练掌握内切圆的性质是解题的关键.
8．A
【分析】根据切线的性质可得，则可得．再根据圆周角定理可得，则可求出∠B的度数．
【详解】∵AB是⊙O的直径，且PA与⊙O相切
∴
又∵∠P=36°
∴
∴
故选:A
【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键．
9．A
【分析】根据题意，将圆心点向下平移1.5个单位，即可判断圆与x轴的位置关系．
【详解】解：如图，圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，
平移后的点P的坐标为，
，
半径为，
，
圆P与x轴相交，
故选
【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，结合题意判断圆与x轴的位置关系是解题的关键．
10．D
【分析】连结AQ、AP，由切线的性质可知AQ⊥QP，由勾股定理可知QP=，故此当AP有最小值时，PQ最短，根据垂线段最短可得到点P的坐标．
【详解】连接AQ，AP.
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短，
∴P点的坐标是(−3,0).
故选D.
【点睛】此题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知圆的位置关系.
11．D
【详解】试题分析：连接OA，如图：
∵OH⊥AB，AB=8cm，∴AH=4cm，∵OA=OC=5cm，∴由勾股定理可得OH=3cm，∴当直线向下平移到点H与点C重合时，直线与圆相切，∴CH=OC-OH=2cm；同理：当直线向上平移到与圆相切时，平移的距离=5+3=8cm，所以直线在原有位置移动2cm或8cm后与圆相切，故选D．
考点：垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系．
12．B
【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线．
【详解】解：当时，直线是的切线．
证明：如图，连接OA．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴直线是的切线．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键．
13．4
【分析】由切线的性质构造直角三角形，再利用勾股定理列方程即可求解.
【详解】PC切⊙O于点C，所以连接OC，得到OC⊥PC.再设半径为x，建立方程式x2＋32＝（x＋1）2，解出x＝4.所以⊙O的半径等于4.
【点睛】本题考查切线的性质，切线常与勾股定理一起使用.
14．相交
【分析】过O作OC⊥BC，利用勾股定理求得直角边的长，然后与半径5比较即可确定答案．
【详解】过O作OC⊥BC，
在Rt△OBC中，
∠B=45°，OB=5+2=7，
∴OC=＜5，
∴BC所在直线与⊙O的位置关系是相交，
故答案为相交．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是利用勾股定理求得直角边的长．
15． （2，0） 相切
【分析】由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC是否与CD垂直即可．可根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．
【详解】解：如图，作线段AB，CD的垂直平分线交点即为M，由图可知经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．
连接MC，MD，
∵MC2=42+22=20，CD2=42+22=20，MD2=62+22=40，
∴MD2=MC2+CD2，∴∠MCD=90°，
又∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
故答案为：（2，0）；相切．
【点睛】本题考查的直线与圆的位置关系，圆的切线的判定等知识，在网格和坐标系中巧妙地与圆的几何证明有机结合，较新颖．
16．5
【详解】试题分析：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH=16﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2=82，解此方程即可求得答案：
如答图，由题意，⊙O与BC相切，记切点为M，作直线OM，分别交AD、劣弧于点H、N，再连接OF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，而MN⊥BC，∴MN⊥AD.∴在⊙O中，FH=EF=4.
设球半径为r，则OH=8﹣r，
在Rt△OFH中，由勾股定理得，r2﹣（8﹣r）2=42，解得r=5.
考点：1.垂径定理的应用；2.勾股定理；3.切线的性质；4.方程思想的应用．
17．28
【分析】连接OC，AB是⊙O的直径,由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CP，根据同角的余角相等，即可确定出∠PCB的度数．
【详解】连接OC，
AB是⊙O的直径,


∵CP与圆O相切,
∴OC⊥PC，


∵OA=OC，
∴
∴
故答案为28.
【点睛】考查圆的切线的性质以及圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.
18．（1）证明见解析；（2）6．
【详解】试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．
试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．
考点：切线的判定与性质．
19．证明见解析
【分析】连接OD，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可．
【详解】如图，连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切．
【点睛】此题主要考查了切线的判定，三角形的内角和以及三角形的外角性质，关键是证明OD⊥BD．
20．（1）（2）
【分析】（1）将一次函数解析式代入二次函数解析式中可得出关于x的一元二次方程，由直线与抛物线相交可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出b的取值范围；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设直线l的解析式为y=x+a，将一次函数解析式代入二次函数解析式中可得出关于x的一元二次方程，由直线与抛物线相切可得出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，解方程组即可求出点P的坐标．
【详解】（1）将y=2x+b代入y=x2，整理得：x2﹣2x﹣b=0．
∵直线l与抛物线C相交，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣b）＞0，解得：b＞﹣1．
（2）当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）；
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0），C（0，﹣3）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣3．
设直线l的解析式为y=x+a．
将y=x+a代入y=x2﹣2x﹣3，整理得：x2﹣3x﹣（3+a）=0．
∵直线l与二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象相切，∴△=（﹣3）2﹣4×1×[﹣（3+a）]=0，解得：a．
当a时，解方程组 ，得：，∴点P的坐标为（）．
【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式、二次函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）由直线与抛物线相交结合根的判别式，找出关于b的一元一次不等式；（2）由直线与抛物线相交结合根的判别式，找出关于a的一元一次方程．
21．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接OD，只要证明，则有，即可证明结论成立；
（2）由圆周角定理，求得，然后证明△ACD∽△DCB，求出CD的长度，再根据勾股定理，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，如图
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∵∠BDC=∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵△ABD是直角三角形，
∴，
∵，，
∴△ACD∽△DCB，
∴，
∵，
∴，
∴，
在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则
，
∴，
解得：；
∴⊙O的半径为；
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，从而进行解题．
22．(1)（﹣4，0）或（4，0）
(2)①﹣3≤n≤3；②m≤﹣1或m≥1
【分析】（1）因为点B在x轴上，所以设B（x，0），则|x|＝4，可得结论；
（2）①首先证明点M的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值3，然后画出图形即可解决问题；
②如图，设P（m，0）为圆心，为半径的圆与直线y＝x﹣3相切，求出此时P的坐标，即可判断．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴3+1＝4，
∵点B在x轴上，
∴点B的纵坐标为0，
设B（x，0），
则|x|＝4，
∴x＝±4，
∴B（﹣4，0）或（4，0）；
故答案为：（﹣4，0）或（4，0）；
（2）①由题意，直线y＝x﹣3与x轴交于C（3，0），与y轴交于D（0，﹣3）．
点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），
则有：x≥0，y≤0，且y＝x﹣3．
∴x﹣y＝3．
点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|，
则|x|+|y|＝x﹣y＝3．
∴点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．
即点N在右图中所示的正方形CDFE上．
∵点F的坐标为（﹣3，0），点N在直线x＝n上，
∴﹣3≤n≤3；
②如图，设P（m，0）为圆心，为半径的圆与直线y＝x﹣3相切，
∵PN＝，∠PCN＝∠CPN＝45°，
∴PC＝2，
∴OP＝1，
观察图形可知，当m≥1时，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，
再根据对称性可知，m≤﹣1也满足条件，
∴满足条件的m的范围：m≤﹣1或m≥1．
【点睛】本题考查一次函数综合题、同族点的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
23．见解析
【分析】连接，利用圆周角定理可得，利用角平分线的性质及等量代换可得，利用等边对等角性质可得，进而可得，进而可求证结论．
【详解】证明：连接，如图所示：

是的直径，
，即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
又是的半径，
是的切线．
【点睛】本题考查了圆周角定理、角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，可得，即可得，根据，可得，即可证明，即，问题得解；
（2）利用勾股定理可得，再证明，即有，问题随之得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是直径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定是解答本题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
D
B
B
C
A
A
D
题号
11
12








答案
D
B