初中数学华东师大版（2024）九年级下册第26章 二次函数26.3 实践与探索综合训练题

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级下册第26章 二次函数26.3 实践与探索综合训练题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）．
A．9mB．10mC．11mD．12m
2．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．如图，在中，点P从点C出发，以的速度沿折线C－A－B做匀速运动，到达点B时停止运动．点P出发一段时间后，点Q从点B出发，以相同的速度沿做匀速运动，到达点C时停止运动．已知当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．设的面积为，点P的运动时间为，则能反映S与t之间的函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
4．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，则厂门的高约为(水泥建筑物的厚度忽略不计，结果精确到0.1m)( )
A．6.9mB．7.0mC．7.1mD．6.8m
5．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
6．将进货单价为30元的某种商品按零售价100元1件卖出时，每天能卖出20件．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大的利润，则应降价（ ）
A．5元B．15元C．25元D．35元
7．正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．一位运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手时，他跳离地面的高度是（ ）

A．B．C．D．
9．如图，从某建筑物高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙，离地面，则水流落地点B离墙的距离是（ ）
A．B．C．D．
10．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子的高度为
B．喷出的水流距柱子处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是
D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外
11．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（ ）

A．B．8C．D．
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是 m．
14．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球能越过球网，又不出边界，则h的取值范围为 ．
15．已知抛物线，当时，函数y的最小值为，则m的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边作Rt△ABC，则AB边上的中线CD的最小值为 ．
17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．则商场降价后每天盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式为 ．
三、解答题
18．掷实心球是北京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是小杰投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图2所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小杰某次试投时的数据如图2所示．
(1)在图中画出实心球运动路径的示意图；
(2)根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式；
(3)根据北京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生），若实心球投犾距离（实心球落地点C与出手点的水平距离OC的长度)不小于10m，成绩为满分10分．请通过计算，判断小杰此次试投的成绩是否能达到满分．
19．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．
（1）请求出与之间的函数关系式；
（2）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
20．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加．
(1)写出滚动的距离S（单位：）关于滚动的时间t（单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．）
(2)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
21．今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．
（1）小华的问题解答： ；
（2）小明的问题解答： ．
22．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
23．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
24．某厂要制造能装250mL(1mL=1cm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02cm，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm的易拉罐用铝量是y cm3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y与x间的函数关系式.
销售单价(元
3.5
5.5
销售量(袋
280
120
《26.3实践与探索》参考答案
1．A
【分析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可．
【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
∴当x＝2时，y＝9，
即AD＝9m，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题关键是用待定系数法求出函数的解析式．
2．C
【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．
【详解】解：当y=14时，，
解得，，
∴A（，14），C（，14），
∴AC=．
故选：C．
【点睛】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键
3．A
【分析】根据题意可得点Q是在点P出发后开始运动的，然后分三种情况：当，，时，画出图形，用含t的式子表示出相关线段，再根据三角形的面积公式可求得相应的函数关系式，即可求解．
【详解】解：∵在中，
∴，
∴点P运动的路程是cm，运动的时间是，
又∵点P到达点B时，点Q恰好到达点C，且点Q、P的运动速度相同，
∴点Q是在点P出发后开始运动的，
当时，点Q未动，点P在上运动，如图1所示：
，是正比例函数关系；
当时，点Q未动，点P在上运动，如图2所示：
此时，，
作于H，
则，
∴，
∴，是一次函数关系；
当时，点Q在上，点P在上，如图3所示：
作于H，同理可得，，
∴；是二次函数关系，且抛物线的开口向上；
综合各选项，符合题意的是选项A；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确分类、灵活应用数形结合思想、求出三种情况下的相应函数关系式是解题的关键．
4．A
【分析】以地面为x轴，左侧大门与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，根据两点式（或双根式），由已知得 ，，代入左侧壁灯处坐标（1，3），即可求出 的值，然后带入厂门最高处横坐标 ，即可求解．
【详解】如图所示，得到抛物线与x的交点O（0，0）、B（8，0），左侧壁灯处C（1，3），
设抛物线解析式为
带入C（1，3），即当x=1时，，得到
解得．
因此抛物线解析式为
厂门处横坐标，有
因此厂门得高约6.9m．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数实际应用中的拱桥问题，建立合适得平面直角坐标系是解决本题得关键；选择不同的坐标原点，会得到不同的抛物线解析式，本题选用二次函数得两点式解析式解题；根据不同问题，设不同得抛物线解析式是二次函数实际应用问题中的难点．
5．B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为，然后得出，，再代入进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设函数表达式为，
∵
设点
∵当水位上升5米时，则水面宽米
∴
把，分别代入
得出
解得
∴函数表达式为，
故选：B．
6．C
【分析】设应降价x元，利润为,根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设应降价x元，根据题意得，
．
∵，
∴ 当时，取得最大值，
为了获得最大的利润，则应降价25元．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
7．C
【分析】由已知得BE=CF=DG=AH=1-x，根据y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．
【详解】解：依题意，得y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH=1-4×（1-x）x=2x2-2x+1，
即y=2x2-2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=．
故答案选C ．
8．A
【分析】设抛物线的表达式为,依题意可知图象经过的坐标，由此可得的值，设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米,

∴抛物线的顶点坐标为,
∴设抛物线的表达式为.
由图知图象过以下点: .
∴,
解得:,
∴抛物线的表达式为.
设球出手时，他跳离地面的高度为，
因为,
则球出手时，球的高度为,
∴,
∴.
故选: .
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得球出手时距离地面的高度是解决本题的关键.
9．B
【分析】由题意可以知道，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出x的值，这样就可以求出的值．
【详解】解：设抛物线的解析式为，由题意得：
，
，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：（舍去），，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题时设抛物线的顶点式求解析式是解题的关键．
10．C
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确，
当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误
当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
11．D
【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.
【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，

由题意可知各点坐标为，，，
设抛物线解析式为把B、D两点带入解析式，
∴，解得：，
∴解析式为，则，
所以这个门洞内部顶端离地面的距离为，
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.
12．B
【分析】根据点N的运动情况，分点N在AD，DC，CB上三种情况讨论，分别写出每种情况x和y之间的函数关系式，即可确定图象．
【详解】解：当点N在AD上时，即0≤x＜2
∵AM＝x，AN＝2x，
∴，
此时二次项系数大于0，
∴该部分函数图象开口向上，
当点N在DC上时，即2≤x＜4，
此时底边AM＝x，高AD＝4，
∴y＝＝2x，
∴该部分图象为直线段，
当点N在CB上时，即4≤x＜6时，
此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x，
∴y＝，
∵﹣1＜0，
∴该部分函数图象开口向下，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键．
13．19.6．
【详解】试题分析：由题意得：t=4时，h=0，因此0=16a+19.6×4，解得：a=﹣4.9，∴函数关系为=，所以足球距地面的最大高度是：19.6（m），故答案为19.6．
考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题．
14．
【分析】把点A坐标代入y＝a（x﹣6）2+h得y＝（x﹣6）2+h，当x＝9时，y＞2.43，求出h取值范围，当x＝18时，y≤0，求出h取值范围，综合即可求解．
【详解】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，
解得：a＝，
∴抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，
由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.43，
解得：h＞；
当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0，
解得：h≥，
故h的取值范围是h≥．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用题，根据题意得到两个不等式并求出不等式组的解集是解题关键．
15．或
【分析】本题考查了二次函数性质的应用，分类讨论①当时，由性质得，解方程，即可求解；②当时，由最值求法即可求解；③当时，由性质得，解方程，即可求解；能根据二次函数的性质进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：由题意可知
，
该抛物线开口向上，
对轴为直线，
①当时，
时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最小值，
∴，
解得：（舍去），，
此时；
②当时，
，
最小值为，
∴这种情况不存在；
③当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y取最小值，
∴，
解得：（舍去），，
此时．
综上所述，m的值为或．
16．2
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到CDAB，再把抛物线解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（2，4），从而得到垂线段AB的最小值为4，所以中线CD的最小值为2．
【详解】解：∵CD为Rt△ABC中斜边AB边上的中线CD，
∴CDAB，
∵y＝（x﹣2）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴点A到x轴的最小距离为4，即垂线段AB的最小值为4，
∴中线CD的最小值为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
17．
【分析】商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（40-降低的价格）×（20+增加的件数），把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件，
∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，
∴现在每件的利润为（40-x）元，
∴y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800．
故答案为：y=-2x2+60x+800．
【点睛】本题考查二次函数的应用．解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降价后增加的销售量．
18．(1)见解析
(2)；
(3)小杰此次试投的成绩达到优秀．
【分析】（1）根据题意画出图象即可；
（2）设该抛物线的表达式为，由抛物线过点A得到25a+4=2．求得a=−，于是得到结论；
（3）根据题意解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：实心球运动路径如图所示．
；
（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（5，4），点A的坐标为（0，2）．
设该抛物线的表达式为，
由抛物线过点A，有25a+4=2．
解得a=−，
∴该抛物线的表达式为；
（3）解：令y=0，得．
解得=5+52，=5-52（C在x轴正半轴，故舍去）．
∴点C的坐标为（5+52，0）．
∴OC=5+52．
由2＞1，可得OC＞5+5×1=10．
∴小杰此次试投的成绩达到优秀．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
19．（1）与之间的函数关系式为；
（2）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【分析】（1）根据每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，可设，再将，；，代入，利用待定系数法即可求解；
（2）根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天还需支付的其他费用，列出关于的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）设．
将，；，代入，
得，解得．
则与之间的函数关系式为．
（2）由题意得：
．
∵3.5≤x≤5.5，
当时，有最大值为240．
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键．
20．(1)；
(2)钢球从斜面顶端滚到底端用．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
（1）先求出，然后得到，再由即可得到答案；
（2）根据（1）计算的结果把代入求解即可．
【详解】（1）解：由题知，
．
，
即．
（2）把代入中，得．
解得，（舍去）．
∴钢球从斜面顶端滚到底端用．
21．（1）当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；（2）800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大．
【详解】解：（1）设定价为x元，利润为y元，则销售量为：，
由题意得，．
当y=800时，，解得：x=4或x=6．
∵售价不能超过进价的240%，∴x≤2×240%，即x≤4.8．∴x=4．
即小华问题的解答为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润．
故答案为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润．
（2）由（1），
∵－100＜0，∴函数图象开口向下，且对称轴为x=5，
∵x≤4.8，∴当x=4.8时函数能取最大值，且．
故小明的问题的解答为：800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大．
故答案为：800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元时，每天的销售利润最大．
22．(1)（，且x为整数）
(2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴（，且x为整数）；
（2）解：设每平方米小番茄产量为W千克，
．
∴当时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
【详解】（1）依题意，顶点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得．解之，得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）令，得．
解之，得．
∴．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
24．y=x2+
【分析】让体积除以底面积求得易拉罐的高，进而把所给数值代入“用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度”，即可得到结果.
【详解】∵底面半径是x cm，
∴底面周长为2πx，底面积为πx2，
∵易拉罐的体积为250mL，
∴高为
∴侧面积为
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
A
B
C
C
A
B
C
题号
11
12








答案
D
B