2024-2025学年江苏省盐城市高二上册第一次月考数学阶段性质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省盐城市高二上册第一次月考数学阶段性质量检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（ ）
A．2B．4C．-4D．-2
3．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，，18，20，22，26，经计算，该组数据的中位数是17，则x的值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
4．若点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角，，所对的边分别是，，，已知的外接圆半径，且满足，则边的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．在正三棱锥中，O是的中心，，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．不经过原点的直线都可以表示为
B．若直线与两坐标轴交点分别为A、B，且的中点为，则直线l的方程为
C．过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为或
D．直线的截距式方程为
10．已知复数，，下列命题正确的是（ ）
A．B．若，则
C．D．
11．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（ ）
A．该内切球的球面面积为
B．存在点，使得平面
C．平面被球截得的截面圆的面积为
D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线：与：垂直，则实数 .
13．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是 .
14．在中，角所对的边分别是，，是边上一点，且，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．求下列各圆的标准方程：
(1)圆心在直线上且过两点的圆的方程；
(2)经过三点的圆的方程．
16．已知直线，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点．
(1)证明：直线l过定点；
(2)已知点，当最小时，求实数m的值．
17．如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
18．在三角形中，内角对应边分别为且.
(1)求的大小；
(2)如图所示，为外一点，，，，，求及的面积.
19．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.

(1)证明：平面；
(2)若为的中点，求线段的长；
(3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
1．D
【分析】先将直线方程化成斜截式，求出其斜率，再求直线的倾斜角.
【详解】由，可得，故直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，因，故.
故选：D.
2．C
根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数的值.
【详解】解：因为空间三点，，在一条直线上，
所以 ,
故.
所以 .
故选：C.
本题主要考查向量共线原理，属于基础题.
3．B
【分析】由中位数的定义即可求解.
【详解】由数据11，12，15，，18，20，22，26，
可知：中位数，
解得.
故选：B
4．C
【分析】通过方程表示圆及点在圆外，构造不等式求解即可.
【详解】由，
化为标准方程可得：，
则，即，①
又在圆外，可得：，解得：或，②
由①②取交集可知，实数的取值范围是，
故选：C.
5．B
【分析】设3个红球为A,B,C,2个黑球为,分别列出试验的样本空间和所求事件含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得.
【详解】设3个红球为A,B,C,2个黑球为.
因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”，
故试验的样本空间为：，
记“两次取到的球颜色相同”,则，
由古典概型概率公式，可得.
故选：B.
6．A
【分析】根据得，利用正弦定理得，
再由余弦定理求出角，结合可求边.
【详解】由.
所以.
由正弦定理得.
所以，所以.
所以.
故选：A
7．C
【分析】以为基底，表示，利用向量的数量积求值.
【详解】因为为正的中心，所以，
且，，
所以.
故选：C
8．D
【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接、交与点，连接、分别交为点、，则，之间即为点 的变动范围．再求出直线，的斜率即可．
【详解】已知，，，
则直线方程为，直线方程为
如图，作关于的对称点，，解得，故，
再作关于的对称点，则，得，
连接，连接交与点，则直线方程为，得，
连接、分别交为点、，
则直线方程为，得，
直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得，
连接，，则，之间即为点的变动范围．
直线方程为，斜率为0，
直线的斜率为，
所以斜率的范围为，
故选：D．
9．BCD
【分析】A选项，截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线，即可判断；B选项，直接利用截距式方程判断；C选项，直接求出过点且在两轴上截距相等的直线方程，即可判断；D选项，直接化为截距式方程判断．
【详解】对于A，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A选项错；
对于B，AB的中点为，则有，则直线l的方程为，故B选项对；
对于C，直线过点且过原点时，直线为，直线过点且不过原点时，直线为，故C选项对；
对于D，方程可化为，为直线的截距式方程，故D选项对．
故选：BCD.
10．AC
【分析】设的代数形式，结合共轭复数定义，复数运算性质，模的公式，证明A正确；举反例，结合复数的运算法则，复数的模的计算公式，排除BD，设，的代数形式，证明C正确.
【详解】对于A，设，则，
则，
所以，所以A正确；
对于B，取，，由，，
故，但，，，故B错误，
对于D，取，，
则，，
所以，D错误.
对于C，设，，，
则，，
，
所以，
所以，故C正确；
故选：AC.
11．ACD
【分析】根据内切球半径计算表面积判断A；以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设点，其中，
利用空间向量法可判断B，应用空间向量法计算点到平面距离计算求出截面面积判断C，确定当为的中点时，
过的平面截该正方体所得截面为边长为的正六边形，利用面积公式求面积判断D.
【详解】对于A，根据已知条件球为以为圆心，半径，内切球的球面面积为 ，A正确；
对于B： 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则由题意可得，，，，
设点，其中，
对于，，，
设平面法向量为，
，，
则，
令，则y=−1，，
为平面的一个法向量，
若存在点，使平面，
只需，因为不成立，所以B错误；
对于C： 设平面法向量为m=x1,y1,z1，，
，，
则，
令，则，，
为平面的法向量，
又因为，
则到平面的距离为，则，
设平面被球截得的截面圆的半径为，
，
所以平面被球截得的截面圆的面积为，C选项正确；
对于D，当为中点时，过的平面截该正方体所得截面为正六边形，，
在中，，所以边长，
所以截面面积，D正确；
故选：ACD.
关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，平面截正方体问题，关键是：（1）利用球的弦长公式计算弦长；（2）确定平面截正方体所得截面的形状.
12．1或
【分析】根据垂直的条件列方程求解即可．
【详解】由题意，解得或，
故1或
13．33##133
【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离，再根据等体积法计算.
【详解】∵，
∴由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上，
∴的最小值转化为求点到平面的距离，
由正方体棱长为1，可得时边长为的等边三角形，
则，，
根据等体积法得，，
∴，
∴的最小值是，
故答案为.
14．
【分析】先利用等面积法得到，然后再利用基本不等式求解即可.
【详解】由题可知，
，,
所以
由基本不等式可知，
得
解得，当且仅当，即时等号成立，
故的最小值是.
故
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据 M，N 两点和圆坐标关系代入圆的方程，求解未知数即可；
（2）将A,B,C 三点坐标代入圆方程求解未知数即可；
【详解】（1）设圆的一般方程为，
其中,圆心坐标为,
因为圆心在直线上且过两点，
所以，
解得，
所以圆的一般方程为，
所以圆的标准方程为；
（2）设圆的一般方程为，
其中,
因为经过三点，
所以，
解得，
所以圆的一般方程为，
所以圆的标准方程为；
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直线恒过定点的求法列出方程组，解之即可求解；
（2）有（1），设直线方程为，可得，根据平面向量数量积的坐标表示和基本不等式中“1”的用法可得直线l的方程，即可求解.
【详解】（1）已知直线，
则，
由，解得，
即直线l过定点；
（2）设直线的方程为，
则，又直线l过定点，
则，又点，则
，
当且仅当即即时取等号，
所以直线l的方程为，
所以直线l过，即，
解得．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接与交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）由已知条件得面，则，由得.以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由面得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由求得，然后利用向量夹角公式求解即可.
【详解】（1）连接与交于点，连接
为三棱柱，为平行四边形，点为的中点
又为的中点，则，
又平面平面，平面．
（2）解法1：
，面
面，
，，即
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
面，则平面的一个法向量为
设平面的法向量为，则，即
令
设平面与平面的夹角为，
平面与平面的夹角的余弦值是．
解法2：设点为的中点，点为的中点，
连接交于点，连接，
设点为的中点，连接
点为的中点，点为的中点
且，点为的中点
为矩形，
又平面，
在中，，可得
为等腰直角三角形，其中
而点为的中点，且
点为的中点，点为的中点
且，
又在Rt中，，点为的中点，
在中，，且点为的中点
且
即为平面与平面的夹角
在中，
．
平面与平面的夹角的余弦值是．
18．(1)
(2)，
【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，根据式子特点，变换，从而可以化简三角恒等式为，最后利用辅助角公式求出；
（2）设，可知用表示，，利用正弦定理可得公共边的式子，最后可得一个关于角的三角方程求解出角的大小，然后求出求出和，最后利用面积公式即可求出面积.
【详解】（1），由正弦定理边化角得：
，由三角形内角和为可得：，
即，
即，
又，
即，又，，即.
（2）设，在中，，
，，
，
在中，，，，
，
即，
，
，又，
，解得，
，
又由
，
于是.
19．(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，使得，理由见解析，.
【分析】（1）以为基底，表示表示，结合向量运算性质证明，由此证明结论；
（2）利用基底表示，结合数量积性质求其模，可得结论；
（3）设存在点，满足条件，且，利用基底表示，结合假设及数量积性质求，可得结论.
【详解】（1）由已知不共面，故为一组基底，
由已知， ，
所以，
由已知，
因为为的重心，所以，
所以，
，
所以，，即，
又平面，，
所以平面；
（2）因为，，
又为的中点，
所以，
所以，
所以，
所以线段的长为；

（3）设存在点，使得，且，，
则，
，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以存在点，使得，此时.