2024-2025学年江苏省扬州市高二上册第一次月考（10月）数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省扬州市高二上册第一次月考（10月）数学检测试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过 两点的直线的倾斜角是（ ）
A B. C. D.
2. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
8. 已知圆：和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 经过点，倾斜角为直线方程为
C. 经过两点，的直线方程为
D. 截距相等的直线都可以用方程表示
10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的半径为
B. 圆截轴所得的弦长为
C. 圆与圆相外切
D. 若圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是
11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线围成的图形有条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 若是曲线上任意一点，的最小值是
D. 曲线上的任意两点间的距离不超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为_____________
13. 如果直线被圆截得的弦长为，那么实数_________.
14. 已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线为切点，则四边形面积的最小值为__________；直线__________过定点.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线过点，O为坐标原点．
（1）若与OM垂直，求直线的方程；
（2）若O到距离为2，求直线的方程．
16. 求下列圆的方程
（1）若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
（2）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
17. 已知圆，圆，，分别为两圆的圆心.
（1）求圆和圆的公共弦长；
（2）过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程.
18. 已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为.
（1）试用来表示点和坐标；
（2）求的面积关于直线的斜率的函数关系式；
（3）当为何值时，取得最大值？并求此最大值.
19. 已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
（1）求的方程；
（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
2024-2025学年江苏省扬州市高二上学期第一次月考（10月）数学
检测试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过 两点的直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果.
【详解】由已知直线的斜率为 ，
所以倾斜角．
故选：D.
2. 已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用斜率计算公式可得：，线段的中点为，即可得出线段的垂直平分线的方程．
【详解】，线段的中点为，
线段的垂直平分线的方程是，化为：，
故选：A．
3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】
利用两直线平行求出的值，再利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，可得，
所以，即，
所以两平行间距离公式可得，
故选：A
4. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。
【详解】根据题意可知，圆外离，，又．
故选：D
5. 已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】先设圆心的坐标为，根据点在线上及两点间距离得出，再求出半径，得出圆的标准方程.
【详解】设圆心的坐标为.
因为圆心在直线上，所以①，
因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②，
由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
故选:C.
6. 已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.
【详解】设动点Mx,y，则，
化简得，
所以点的轨迹为圆，
如图，过点作圆的切线，连接，则，，
所以，同理，
则直线的斜率范围为.
故选：C.

7. 在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【正确答案】D
【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.
【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内，
圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示：
易知圆心到直线的距离为，所以，
又，可得；
因此可得，
所以的面积为.
故选：D
8. 已知圆：和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】通过将圆与两条切线的夹角转化成直角三角形中的边角关系进行求解，数形结合加以求解.
【详解】圆：，圆心，半径，如图所示：

由图可知，当和与圆相切时，最大，要使圆上存在两点使得，则， ，即，解得，
故选：B.
关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是将问题转化为直线与圆相切，从而转化成直角三角形中的计算问题，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 经过点，倾斜角为的直线方程为
C. 经过两点，的直线方程为
D. 截距相等的直线都可以用方程表示
【正确答案】AC
【分析】分离参数可判断直线过定点，即可判断A选项，根据斜率与倾斜角的关系可判断B选项，根据两点可确定斜率，进而可得直线方程，即可判断C选项，根据直线截距式及其应用条件可判断D选项.
【详解】A选项：直线可化为，
令，解得，
即直线恒过定点，A选项正确；
B选项：当时，不存在，直线方程为，B选项错误；
C选项：经过两点Mx1,y1，Nx2,y2的直线斜率，则直线方程为，C选项正确；
D选项：当直线过坐标原点时，截距相等，此时直线方程为，时不能用表示，D选项错误；
故选：AC.
10. 已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的半径为
B. 圆截轴所得的弦长为
C. 圆与圆相外切
D. 若圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是
【正确答案】BCD
【分析】将圆的方程转化为标准式，可得圆心与半径，进而判断各选项.
【详解】将圆化为，
圆心，半径，A错误；
圆心到轴的距离为，所以弦长为，B正确；
又圆，可知圆心，半径，
所以，即圆与圆外切，C正确；
点到直线的距离，
当直线与圆相离或相切时，，
又圆上有且仅有两点到直线的距离为，
所以，
即，解得或，
当直线与圆相交时，，
又圆上有且仅有两点到直线的距离为，
所以，
即，解得或，
综上所述或，D选项正确；
故选：BCD.
11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线围成的图形有条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 若是曲线上任意一点，的最小值是
D. 曲线上的任意两点间的距离不超过
【正确答案】BCD
【分析】分情况去掉绝对值，可得曲线的四段关系式，进而作出曲线的图像，即可判断各选项.
【详解】当，时，曲线方程可化，
即，是以为圆心，为半径的圆在第一象限的半圆，
同理可作出其他象限内的图象，且在曲线上，如图所示，

A选项：曲线围城的图形有条对称轴，分别是直线，，，，A错误；
B选项：曲线围成的图形的周长为，B正确；
C选项：到直线的距离为，
且点到直线的距离为，
由圆的性质，曲线上任意一点到直线的距离最小值为，即，
所以的最小值是，C正确；
D选项：综上，易知曲线上任意两点间的距离最大值为，D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为_____________
【正确答案】或
【分析】根据两坐标轴上的截距之和为零，先设直线方程，再根据点在线上求参即可得出直线方程.
【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零
所以设直线方程为或,
再因为直线过点可得，
,可得.
所以直线方程为或.
故或.
13. 如果直线被圆截得的弦长为，那么实数_________.
【正确答案】5或
【分析】先将圆的一般方程化成圆的标准方程，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出.
【详解】由题意知可化为，
可知圆心坐标为，半径，
根据点到直线的距离公式和弦长关系可得
解之可得或.
故5或
14. 已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线为切点，则四边形面积的最小值为__________；直线__________过定点.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】根据切线的相关性质将四边形面积化为，即求出最小值即可，即圆心到直线的距离；又可得四点在以为直径的圆上，且是两圆的公共弦，设出点坐标，求出圆的方程可得直线方程，即可得出定点.
【详解】由圆得圆心，半径，
由题意可得,
中，，
，
可知当垂直直线时，，
所以四边形的面积的最小值为，
可得四点在以为直径的圆上，且是两圆的公共弦，
设，则圆心为，半径为，
则该圆方程为，
整理可得，
联立两圆可得直线AB的方程为，即
可得当时，，故直线过定点.
故；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线过点，O为坐标原点．
（1）若与OM垂直，求直线的方程；
（2）若O到的距离为2，求直线的方程．
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）由点，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）分直线斜率存在和斜率不存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【小问1详解】
解：因为点，可得，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即．
【小问2详解】
解：当直线斜率存在时，设方程为，即，
由，解得，直线l方程为；
当直线斜率不存在时，的方程为，原点到的距离为2，
综上可得，直线的方程为或．
16. 求下列圆的方程
（1）若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；
（2）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由对称性确定圆心为，由此可得圆的标准方程；
（2）由圆心在直线垂直平分线上，直线与直线垂直，可求得圆心的坐标，并利用两点间距离公式求得半径，由此可得圆的标准方程.
【小问1详解】
点关于直线对称的点为，
圆是以为圆心，为半径的圆，圆的标准方程为.
【小问2详解】
两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上；
，中点为，垂直平分线方程为；
直线与圆相切于点，直线与直线垂直，
，直线方程为：，即；
由得：，圆心，半径，
圆的标准方程为.
17. 已知圆，圆，，分别为两圆的圆心.
（1）求圆和圆的公共弦长；
（2）过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）联立两圆方程，可得公共弦方程，再结合垂径定理可得公共弦长；
（2）由可得及点到直线的距离，设直线方程，根据点到直线距离可得解.
【小问1详解】
如图所示，
联立圆与，
即，得，
即直线的方程为，
由，可化为，
则，
圆心到直线的距离，
弦长；
【小问2详解】
如图所示，
将化为，
可得，半径，
设为中点，易知，
则，
解得，
即，得，
过作直线，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到直线距离为不成立；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
此时点到直线的距离，
解得或，
即直线方程为或.
18. 已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为.
（1）试用来表示点和的坐标；
（2）求的面积关于直线的斜率的函数关系式；
（3）当为何值时，取得最大值？并求此最大值.
【正确答案】（1），
（2）
（3）当时，取最大值为
【分析】（1）由直线与线段有公共点，可得的取值范围，联立直线可得交点坐标；
（2）根据点到直线的距离及两点间距离可得三角形面积；
（3）设，结合基本不等式可得最值.
【小问1详解】
如图所示，
设直线，
又直线与线段，均相交，
则，
直线方程，
直线方程为，
联立，解得，即，
联立，解得，即；
【小问2详解】
又，又，则，
点到直线，即点到直线的距离，
所以的面积，
【小问3详解】
由（2）得，
设，即，
则，
又，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立，
即当时，取最大值为.
19. 已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
（1）求的方程；
（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）
（2）①；②存在，
【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程；
（2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可.
【小问1详解】
由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上，
，解得：，即圆心为，
圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为，
由已知
所以，所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
设，则，
由得：，所以
D在圆上运动，
整理可得点T的轨迹方程为：
当直线轴时，轴平分，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立化简可得，
方程的判别式，
设，，，
若轴平分，则，所以，
又，，
所以，
所以，
所以
所以
解得，
当时，能使轴平分.