2024-2025学年江苏省苏州市高二上册期中数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市高二上册期中数学质量检测试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了本卷共4页，包含单项选择题等内容，欢迎下载使用。
1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）､多项选择题（第9题～第11题）､填空题（第12题～第14题）､解答题（第15题～第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区城内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.清注意字体工整，笔迹清楚.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. 等差数列中，，则的值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
3. 已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C D.
4. 在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（ ）
A. B. 或4C. 4D. 5
5. 若两直线平行，则实数取值集合是（ ）
A. B. C. D.
6. 等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 不能确定
7. 已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（ ）
A. B. C. 8D.
8. 已知数列的前项和为，且则的值为（ ）
A. 1023B. 1461C. 1533D. 1955
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9. 已知数列an是等差数列，bn是等比数列，.（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，则（ ）
A. 点在同一条直线上
B. 点在同一条直线上
C. 点在同一条直线上
D. 点（均正整数，且为常数）在同一条直线上
11. 已知直线，圆，则（ ）
A. 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是4
B. 若与圆相交于两点，且，则
C. 若圆上恰有四个点到的距离为1，则
D. 若对于两个不同的值，与圆分别相切于点，，则所在直线的方程是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上.
12. 已知两点到直线的距离相等，则的值为__________.
13. 已知等比数列满足，则__________.
14. 如图，已知点，点为圆上的动点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. 已知的三个顶点是，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）边上的高所在直线的方程；
（3）的角平分线所在直线的方程.
17. 已知数列满足且.
（1）求；
（2）证明数列等比数列，并求.
18. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
（3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
19. 已知点，向量，点一条直线上，且满足.
（1）求；
（2）证明在同一个圆上，并求该圆的圆心和半径；
（3）过引圆的切线，记切线与轴的交点为，求证：
2024-2025学年江苏省苏州市高二上学期期中数学质量检测试卷
注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）､多项选择题（第9题～第11题）､填空题（第12题～第14题）､解答题（第15题～第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区城内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.清注意字体工整，笔迹清楚.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【正确答案】D
【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案.
【详解】因为经过点的直线的斜率为2，
所以，且，解得.
故选：D.
2. 等差数列中，，则的值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【正确答案】A
【分析】首先由等差数列的通项公式求出公差d，则可求.
【详解】设等差数列的公差为d，
则，
因为，所以，
所以，
故选：A.
3. 已知动点与两定点的距离之比为，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】设，然后根据题意建立等式化简即可.
【详解】设，由题可知
故选：C
4. 在2和8之间插入3个实数使得成等比数列，则的值为（ ）
A. B. 或4C. 4D. 5
【正确答案】C
【分析】根据等比中项求解即可.
【详解】由为等比中项可知，，
又可知，
所以，
故选：C
5. 若两直线平行，则实数的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出.
【详解】由题意得且，
解得.
故选：B
6. 等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 不能确定
【正确答案】C
【分析】根据等差数列的性质可得为定值，结合基本量法可求的值.
【详解】因为为定值且，故为定值，故为定值，其中为公差.
而，
故当且仅当即时，为定值.
故选：C.
7. 已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（ ）
A. B. C. 8D.
【正确答案】A
【分析】设直线与直线的两个交点为，设，则，代入直线，即可得点，进而可得到直线的方程，再求交点到的距离，利用面积公式计算即可.
【详解】设直线与直线的两个交点为，且设，
则由题意可知，点关于点的对称点在上，
所以，解得，
所以，，
所以,
因为直线过点，，所以直线的斜率，
所以直线的方程为：，即，
联立：，解得的交点坐标为，
所以到直线的距离为，
所以这三条直线围成的三角形面积为.
故选：A.
8. 已知数列的前项和为，且则的值为（ ）
A. 1023B. 1461C. 1533D. 1955
【正确答案】B
【分析】先判断数列为等比数列，求出其通项公式，再求数列的通项公式，分组求和，可得问题答案.
【详解】由题意：，
.
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以.
所以，
.
所以.
故选：B
方法点睛：类似这种数列问题，一般是有规律的，可以先求出数列的前几项，观察数列的规律，再想办法证明即可.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9. 已知数列an是等差数列，bn是等比数列，.（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【正确答案】AC
【分析】利用等差数列、利用等差数列的性质判断即可.
【详解】设等差数列an的公差为，
当时，，故A正确；
当公差时，an是常数列，，但与不一定相等，故B不正确；
设等比数列bn的公比为，
若“”，则，故C正确；
当公比时，bn是常数列，，但与不一定相等，故D不正确.
故选：AC.
10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，则（ ）
A. 点在同一条直线上
B. 点在同一条直线上
C. 点同一条直线上
D. 点（均为正整数，且为常数）在同一条直线上
【正确答案】ACD
【分析】结合等差数列的通项公式与前项和公式，逐一进行判断即可.
【详解】对A：因为，，所以点都在直线上，故A正确；
对B：因为，所以点都在二次函数上，故B错误；
对C：因为，所以点都在直线上，故C正确；
对D：因为，
所以点都在直线上，故D正确.
故选：ACD
11. 已知直线，圆，则（ ）
A. 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是4
B. 若与圆相交于两点，且，则
C. 若圆上恰有四个点到的距离为1，则
D. 若对于两个不同的值，与圆分别相切于点，，则所在直线的方程是
【正确答案】BCD
【分析】对于A，根据题意知直线的斜率，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式，即可解决；
对于B，由题意得弦长，进而得圆心到直线的距离，即可求解的值；
对于C，由题意得圆心到直线的距离，即可求解的范围；
对于D，将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题，即可解决.
【详解】对于A，由得，所以直线过点，
又因为直线与坐标轴的正半轴围成的三角形，所以；
令，得，令，得，
所以直线与两坐标轴的正半轴的交点分别为，，
所以直线与坐标轴的正半轴围成的三角形面积；
当且仅当，即时，等号成立，
所以三角形面积最小值是4，故A不正确；
对于B，因为，所以，
所以，所以圆心到直线的距离，即，解得，故B正确；
对于C，因为圆上恰有四个点到的距离为1，
所以圆心到直线的距离，
解得，故C正确；
对于D，因为直线恒过点，
所以直线就是经过以为圆心，为半径的圆和圆的交点所在的直线，，
所以，所以圆的方程为，
所以直线的方程为，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上.
12. 已知两点到直线的距离相等，则的值为__________.
【正确答案】或
【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可.
【详解】由题意可得，，即，
解得或.
故或.
13. 已知等比数列满足，则__________.
【正确答案】
【分析】利用基本量法可求与公比，故可求.
【详解】设公比为.
因为，故，解得或者，
若，则且，此时，
若，则且，此时，
故答案.
14. 如图，已知点，点为圆上动点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是__________.
【正确答案】
【分析】以为邻边，作矩形，则，证明出，从而得到，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，数形结合得到，得到答案.
【详解】以为邻边，作矩形，则，
由矩形性质可得，证明如下：
设，
过点分别为⊥，⊥，⊥，垂足分别为，
过点作⊥，垂足为，
则，
故，
，
所以，
，
，
所以，
证毕，
即，故，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以，
左边等号成立的条件为三点共线，且在之间，
右边等号成立的条件为三点共线，且在之间，
则的取值范围是
故
关键点点睛：作出辅助线，得到，证明出，从而得到，得到点轨迹，数形结合进行求解.
四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）计算出等差数列an的首项和公差，从而求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【小问1详解】
设等差数列an的公差为，
依题意，，
，解得，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以
，
两式相减得
，
所以.
16. 已知的三个顶点是，求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）边上的高所在直线的方程；
（3）的角平分线所在直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）对于求边BC上的中线所在直线方程：首先要找到BC中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程；
（2）对于求边BC上的高所在直线方程：先求BC边的斜率，根据斜率公式，高与BC垂直，两条垂直直线斜率乘积为，再利用点斜式求直线方程；
（3）对于求的角平分线所在直线方程：先求AB和BC边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为，求出，再利用点斜式求出直线方程.
【小问1详解】
首先求BC中点坐标，已知，
根据中点坐标公式，BC中点，
已知中线过和两点，根据两点式，
即，化简得，整理得.
【小问2详解】
先求BC边的斜率，已知，
根据斜率公式，
因为高与BC垂直，设高斜率为，则，解得，
又因为高过点，根据点斜式，整理得.
【小问3详解】
先求AB边的斜率，BC边的斜率，
设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简
交叉相乘得，
继续化简，即或，
继续化简（舍去），或，即，
因为角平分线的斜率应该在和之间，所以，
又因为角平分线过点，根据点斜式，整理得.
17. 已知数列满足且.
（1）求；
（2）证明数列是等比数列，并求.
【正确答案】（1）
（2）证明见详解；
【分析】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值.
（2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
【小问2详解】
∵，
∴得到，∴，
则代入①得：，
则
∴，
且，
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列.
∴，
∴
18. 已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点.
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
（3）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
【正确答案】（1）
（2）存在，
（3）证明见解析
【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可；
（2）假设存在，求出弦心距OQ，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解；
（3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明.
【小问1详解】
因为，所以，直线的方程为，
设圆心到直线的距离为，则，
所以
【小问2详解】
取的中点为，如图，

假设存在弦被点三等分，设，，则，
，解得，
当斜率不存在时，，故斜率存在，
设斜率为，则：，
，解得，
即存在弦被点三等分，直线的斜率为.
【小问3详解】
由题意知，,
当直线斜率不存在时，，，
不妨取，
则，此时
直线斜率存在时，设方程为，
代入圆的方程可得，
设，则，
又，
所以
综上，为定值.
19. 已知点，向量，点在一条直线上，且满足.
（1）求；
（2）证明在同一个圆上，并求该圆的圆心和半径；
（3）过引圆的切线，记切线与轴的交点为，求证.
【正确答案】（1）；
（2）和；
（3）证明见解析.
【分析】（1）设坐标，利用向量的坐标表示结合等差数列的通项公式计算即可；
（2）设坐标，利用向量共线的充要条件及数量积的坐标表示消元计算即可；
（3）根据直线与圆的位置关系计算切线方程得出的坐标，再利用放缩法计算和即可.
【小问1详解】
设，则由题意可知，
所以，即分别成公差为1的等差数列，
由已知，
则，即，所以；
【小问2详解】
设，即，
因为共线，且满足，
则有，
当时，易知，即，
此时，
即，
当时，解方程组可得，也满足上式，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
圆心和半径；
【小问3详解】
由（2），解方程得，
则，
所以处的切线方程斜率为，
则切线方程为，
令得，即，
易知，
则
，证毕
方法点睛：根据向量的坐标运算结合消参法可计算轨迹方程；根据直线与圆的位置关系得出切线方程，再由放缩法证明即