2024-2025学年江苏省盐城市高二上册10月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省盐城市高二上册10月月考数学检测试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， 若直线与直线互相平行，则， 已知椭圆，则椭圆的， 已知曲线等内容，欢迎下载使用。
第I卷选择题
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若直线与直线互相平行，则（ ）
A. B. C. 或0D. 0
3. 已知椭圆，则椭圆的（ ）
A. 长轴长为4B. 焦点在轴上
C. 离心率为D. 焦距为
4. 若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ）
A B. C. D.
5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知两条直线的斜率分别为，设的夹角（锐角）为，，则直线与直线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A B.
C. D.
8. 若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（ ）
A. B. C. 7D. 10
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A. B.
C D.
10. 已知曲线（ ）
A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
C. 若，则是圆，其半径为
D. 若，，则是两条直线
11. 已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1
C 若圆与曲线恰有三条公切线，则
D. 当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点
第II卷非选择题
三､填空题（本大题共3题，每小题5分，共15分）
12. 直线在轴上的截距为______．
13. 在平面直角坐标系中，已知圆，写出满足条件“过点且与圆相外切”的一个圆的标准方程为__________.
14. 已知椭圆的左，右焦点分别是，下顶点为点，直线交椭圆C于点N，设的内切圆与相切于点E，若，则椭圆C的离心率为_______，的内切圆半径长为_______．
四､解答题（本大题共5题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 设直线的方程为．
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
（2）若不经过第二象限，求实数a的取值范围．
16. 已知圆.
（1）判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长；如果相离，求圆心到直线的距离.
（2）过圆外一点引圆的切线，求切线方程.
17. 在一个平面上，，机器人从与点距离为的地方绕点顺时针而行，在行进过程中机器人所在位置保持与点的距离不变.
（1）若，求它在行进过程中到过点与点的直线的最近距离和最远距离；
（2）若在行进过程中存在某点使得，求的取值范围.
18. 已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线，
①求直线和直线的斜率之积；
②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
19. 定义:若点（x0，y0），（x0’，y0’）在椭圆M:（a > b > 0）上，并满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点（x0，y0）关于M的一个共轭点为（x0’，y0’）.已知点A（2，1）在椭圆M:上，O是坐标原点.
（1）求点A关于M的所有共轭点的坐标:
（2）设点P，Q在M上，且∥，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值.
2024-2025学年江苏省盐城市高二上学期10月月考数学检测试卷
（本试卷分为第I卷选择题和第II卷非选择题两大部分，试卷总分150分，考试时间120分钟）
第I卷选择题
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得答案.
【详解】解：因为直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
则有，解得，
所以其倾斜角为．
故选：A．
2. 若直线与直线互相平行，则（ ）
A. B. C. 或0D. 0
【正确答案】D
【分析】由两线平行的判定可得求参数a，并代入验证是否含重合情况.
【详解】由题设，，解得或，
当时，，满足题设；
当时，，不满足题设；
所以.
故选：D.
3. 已知椭圆，则椭圆的（ ）
A. 长轴长为4B. 焦点在轴上
C. 离心率为D. 焦距为
【正确答案】A
【分析】根据椭圆的几何性质求解即可.
【详解】由，则焦点在轴上，
且，，则，
即，
所以长轴长为，焦距为，离心率为.
故选：A.
4. 若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足.
【详解】由，
得，
即,
解得
故选：
5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由直线与圆相切得到直角三角形利用边长求解即可.
【详解】
中，
，即
故选：A
6. 已知两条直线的斜率分别为，设的夹角（锐角）为，，则直线与直线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出已知直线的斜率，由已知的公式即可求夹角的大小.
【详解】直线的斜率，直线的斜率，
满足，则，所以锐角为.
故选：B
7. 已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程；
【详解】解：设，
M为线段的中点，，
，
而A是圆C上一动点，
故，
整理得：，
即，
故动点M的轨迹方程为.
故选:C.
8. 若F为椭圆的左焦点，P为椭圆C上一动点，，则周长的最大值为（ ）
A. B. C. 7D. 10
【正确答案】D
【分析】利用椭圆的定义及三角形三边关系有，即可求最大值，注意取值条件.
【详解】若为椭圆右焦点，如下图示，，

周长为，且，
所以，而，
故，当且仅当共线且在两侧时等号成立，
所以周长的最大值为10.
故选：D
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可.
【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由已知得，
所以或，
所以直线的方程为或.
故选：AC.
10. 已知曲线（ ）
A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
C. 若，则是圆，其半径为
D. 若，，则是两条直线
【正确答案】AD
【分析】
结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，故B错误；
对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确；
对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴两条直线，故D正确；
故选：AD.
本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
11. 已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1
C. 若圆与曲线恰有三条公切线，则
D. 当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点
【正确答案】ACD
【分析】对A：整理得，根据直线恒过定点求解；对B：求出圆心到直线的距离判断，由此判断有四个点满足条件；对C：根据两圆外切求得；对D：设，写出以为直径的圆，两圆相减得公共弦的方程可证得恒过定点.
【详解】对于，整理得，
所以解得所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，当时，直线为，
则圆心到直线的距离，而圆的半径为2，
所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故B错误；
对于C，曲线整理得，
当时，曲线是圆心为，半径为的圆，
圆的圆心，半径为2，所以两圆的圆心距为，此时两圆外切，恰有3条公切线，所以，故C正确；
对于D，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为，
即
圆两圆的公共弦的方程为，
整理得解得
直线经过点.故D正确.
故选：ACD
第II卷非选择题
三､填空题（本大题共3题，每小题5分，共15分）
12. 直线在轴上的截距为______．
【正确答案】；
分析】直接令可得答案.
【详解】令，得，解得
即直线在轴上的截距为
故
13. 在平面直角坐标系中，已知圆，写出满足条件“过点且与圆相外切”的一个圆的标准方程为__________.
【正确答案】（答案不唯一）
【分析】设满足条件的圆的标准方程为（），由点在圆上及外切关系可得方程组，化简取值即可得其中一个符合的结果.
【详解】设满足条件的圆的标准方程为（），则有，即，两式相减化简得.
不妨取，则，故满足条件的圆的标准方程为.
故（答案不唯一）
14. 已知椭圆的左，右焦点分别是，下顶点为点，直线交椭圆C于点N，设的内切圆与相切于点E，若，则椭圆C的离心率为_______，的内切圆半径长为_______．
【正确答案】 ①. ## ②. ##
【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得，从而可结合椭圆定义得到的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径.
【详解】设的内切圆与、相切于点，，
由切线长定理可得，，，
又，则，故，
由椭圆定义可知，
即,
故，又，则；
则，故，设，则，
即，，
则有，
计算可得，则，
又，则，
即有，即.
故；.
关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到，从而可结合椭圆定义得到的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.
四､解答题（本大题共5题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 设直线的方程为．
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
（2）若不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）或；
（2）.
【分析】（1）根据给定条件，求出直线在x轴、y轴上的截距，再列式求解即得.
（2）直线过的定点在第四象限，由直线的斜率大于等于0，求出a的范围．
【小问1详解】
直线：在y上的截距为，
由在两坐标轴上的截距相等，知，且直线在x轴上的截距为，
于是，解得或，
所以直线的方程为或.
【小问2详解】
直线：，由，得，即直线过定点，
显然点P在第四象限，要使直线不经过第二象限，而直线的斜率存在，
因此直线的斜率不小于0，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
16. 已知圆.
（1）判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长；如果相离，求圆心到直线的距离.
（2）过圆外一点引圆的切线，求切线方程.
【正确答案】（1）相交，弦长为
（2）或
【分析】（1）由圆心到直线的距离与半径比较，即可判断直线与圆的位置关系；利用勾股定理即可计算弦长；
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为，当切线斜率存在时，设出切线方程，由圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【小问1详解】
圆：化为标准方程为，
圆心坐标为0,1，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，所以直线与圆相交；
直线被圆所截得的弦长为；
【小问2详解】
当直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆相切，
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离为，
解得，
所以直线方程为，
综上，切线方程为或.
17. 在一个平面上，，机器人从与点的距离为的地方绕点顺时针而行，在行进过程中机器人所在位置保持与点的距离不变.
（1）若，求它在行进过程中到过点与点的直线的最近距离和最远距离；
（2）若在行进过程中存在某点使得，求的取值范围.
【正确答案】（1）最近距离为，最远距离为
（2）
【分析】（1）先求点的轨迹方程，结合圆心到直线的距离可得答案；
（2）先求以为直径的圆的方程，结合两圆的位置关系可得答案.
【小问1详解】
设机器人所在位置，则,
所以轨迹是以为圆心，6半径的圆.
直线的方程为：，即,
点到直线的距离为,
所以到直线的最近距离为，
到直线的最远距离为.
【小问2详解】
的轨迹方程为
设中点，
所以以为直径的圆方程，
因为，所以也在上.
所以与有公共点，即，
所以.
18. 已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线，
①求直线和直线的斜率之积；
②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【正确答案】（1）
（2）①；②证明见解析,定点的坐标为,
【分析】（1）判断点，点在椭圆上，点或在直线上，代入椭圆方程，即可求出椭圆的方程；
（2）设,，当时，设,、,，利用点差法求出直线和直线的斜率之积；由此得直线的方程，结合方程确定直线恒过定点即可得结论．
【小问1详解】
由题可知，一定在椭圆上，其中一个在椭圆上，
当椭圆过点可得，
则椭圆的方程为；
当椭圆过点可得，方程组无解，
综上，椭圆的方程为；
【小问2详解】
①由题可设,，当时，设,、,，显然，
联立，则，即，
因为为线段中点，所以，
又，
所以，即直线和直线的斜率之积为；
②由①可得直线的斜率为，
又，所以直线的方程为，
即，
显然恒过定点,，
当时，直线即，此时为轴亦过点,；
综上所述，恒过定点,．
19. 定义:若点（x0，y0），（x0’，y0’）在椭圆M:（a > b > 0）上，并满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点（x0，y0）关于M的一个共轭点为（x0’，y0’）.已知点A（2，1）在椭圆M:上，O是坐标原点.
（1）求点A关于M的所有共轭点的坐标:
（2）设点P，Q在M上，且∥，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值.
【正确答案】（1）答案见解析.
（2）
【分析】（1）设点A关于M的共轭点的坐标，由题意解方程组即可.
（2）由题设直线PQ方程为：，用m表示出，再表示出共轭点与直线距离即可.
【小问1详解】
设点A关于M的共轭点的坐标为,由题意有，
消去得，解得，
即点A关于M的共轭点有且只有一个，坐标为，即为A本身.
【小问2详解】
由题设直线PQ方程为：，
将其与椭圆方程联立有，消去得.
由题有其.又设.
则.
则
.
又设A到直线距离为，则.
则所围成的图形面积为
，当且仅当，即取等号.
故点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值为.
关键点点睛：本题为直线与椭圆位置综合题，第一问较为基础，读懂题意，列出相应方程组即可.第二问的关键，为利用所设直线所含参数，结合韦达定理和点到直线距离公式表示出和.