2024-2025学年江苏省南京市高二上册10月月考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高二上册10月月考数学质量检测试题（含解析），共22页。试卷主要包含了 已知复数满足，则， 设为实数，已知直线，若，则， 已知，则， 关于椭圆有如下结论等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
2. 设为实数，已知直线，若，则（ ）
A. 6B. C. 6或D. 或3
3. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）
A. B.
C. 12D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 3
5. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ）
A. B. C. 1D.
6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（ ）
A.
B. 高一年级抽测成绩的众数为75
C. 高二年级抽测成绩的70百分位数为87
D. 估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分
10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C 若，，，则D. 若，，，则
11. 已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 若圆与圆C恰有3条公切线，则
B. 圆与圆C的公共弦所在直线为
C. 直线与圆C恒有两个公共点
D. 点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12. 从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为______.
13. 已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.
14. 已知，点是直线上的动点，若恒成立，则正整数的最小值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
16. 如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角余弦值.
17. 某校为了厚植文化自信､增强学生爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.
（1）求的值；
（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.
18. 已知圆过点，圆心直线上，且直线与圆相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.
19. 已知椭圆离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为.
（i）求的值；
（ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.
2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月月考数学质量检测试题
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
【正确答案】B
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：B
2. 设为实数，已知直线，若，则（ ）
A. 6B. C. 6或D. 或3
【正确答案】A
【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.
【详解】因为，所以，解得：或.
当时，，平行；
当时，，可判断此时重合，舍去.
故选：A
3. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）
A. B. C. 12D.
【正确答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，，
又，所以，
即实数的值为12.
故选：C
4. 已知，则（ ）
A B. C. D. 3
【正确答案】B
【分析】根据两角差的正弦公式和同角的商关系可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.
【详解】由，得，
即，所以.
故选：B
5. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ）
A. B. C. 1D.
【正确答案】C
【分析】利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距离，再利用点线距公式建立方程，解之即可.
【详解】由三角形的面积公式可得，
得，由，得，
所以为等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式得，解得.
故选：C
6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】C
【分析】由点坐标，得到坐标，代入直线方程即可.
【详解】设点，因为，所以，
代入直线方程可得：，
化简可得.
所以的轨迹方程为.
故选：C
7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出.
【详解】设四棱台的高度为h，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，
则，
所以.
故选：D.
8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解即可.
【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设，
则切线，即，切线的斜率，
直线的斜率，则，所以.
故选：C
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（ ）
A.
B. 高一年级抽测成绩的众数为75
C. 高二年级抽测成绩的70百分位数为87
D. 估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分
【正确答案】ABD
【分析】根据频率分步直方图､样本的数字特征等基础知识判断即可．
【详解】对于A：由，解得，正确；
对于B：由频率分布直方图可知高一年级抽测成绩的众数为75，正确；
对于C：因为，由，
，所以70百分位数是，故错误；
对于D：高一年学生成绩的平均数约为分；
高二年学生成绩的平均数约为分，
因为，故正确；
故选：ABD
10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【正确答案】AC
【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可.
【详解】对于A，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，
而，，则，，因此，A正确；
对于B，由，，，得是平行直线或异面直线，B错误；
对于C，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，
由，得，又，则，因此，C正确；
对于D，，，，当都平行于的交线时，，D错误.
故选：AC
11. 已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 若圆与圆C恰有3条公切线，则
B. 圆与圆C的公共弦所在直线为
C. 直线与圆C恒有两个公共点
D. 点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6
【正确答案】BCD
【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A；由两圆方程相减即为两圆公共弦所在直线方程，即可判断B；求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M恒有两个公共点，即可判断C；易知直线AB恒过定点，由得出点M的轨迹，结合点与圆的位置关系计算即可判断D.
【详解】A：由题意得：的圆心为，半径为，
该圆与圆有3条公切线，则两圆外切，
所以，解得，故A错误；
B：两圆的圆心分别为，半径分别为和2，
则，所以两圆相交，
与相减得：，
故圆与圆C的公共弦所在直线为，故B正确；
C：变形为，
令，解得，
即直线恒过点，
由于，点在圆M内，
所以与圆M恒有两个公共点，故C正确；
D：如图，圆，半径为2，则圆C与y轴相切，切点为原点，即为，
易知直线恒过点，又为的中点，则，
所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，
又，所以的最大值为，故D正确.
故选：BCD
关键点点睛：本题D选项的关键点在于直线AB恒过定点，由得出点M的轨迹为圆.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12. 从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为______.
【正确答案】##
【分析】由古典概型概率计算公式直接求解.
【详解】从五张卡片中任取两张共有，
两张卡片上的数字之和是3的倍数有，共4种，
所以概率.
故
13. 已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.
【正确答案】##
【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用,；，结合二次函数的性质即可求的最小值．
【详解】设，记线段的长度为，是椭圆上任意一点，
设,,,
所以：．
由于，故时，有最小值，且的最小值，
故
14. 已知，点是直线上的动点，若恒成立，则正整数的最小值是__________.
【正确答案】4
【分析】求出直线AC的方程，设.由，列不等式，利用判别式法求出t的范围，即可求解.
【详解】由题意知直线AC的方程为.
因为点D是直线上的动点，所以可设.
因为，所以，
化简得：对任意x恒成立,
所以，化简得,
解得或，结合t为正整数得：t的最小值为4.
故4
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
【正确答案】（1）
（2）.
【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，
（2）根据面积公式可得的值，结合余弦定理即可求解.
【小问1详解】
因为，所以.
根据正弦定理，得，
因为，所以.
又，所以.
【小问2详解】
在中，由已知，
因为
由余弦定理可得，即7，
即，又,所以.
所以的周长周长为.
16. 如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）.
【分析】（1）由线面垂直的性质可得又，结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明；
（2）如图，确定是二面角的平面角，利用定义法求解即可.
【小问1详解】
因为是一条母线，所以平面，
而平面则
因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即，
又平面且，
所以平面，而平面，
则平面平面.
【小问2详解】
设，则，
因为C是的中点，为底面圆心，所以平面，
作，交于点连接，
由可知，是二面角的平面角.
则，即，
在直角中，.
所以.
故二面角的余弦值为.
17. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.
（1）求的值；
（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.
【正确答案】（1）
（2）.
【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.
（2）记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求解.
【小问1详解】
由题意得，
解得.
【小问2详解】
比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.
记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，
相互独立，
记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，
则，且彼此互斥.
易得.
，
所以
所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.
18. 已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）或.
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设，从而得到，由在圆上，代入方程求解即可解决问题.
【小问1详解】
设圆M的方程为，
因为圆过点，所以，
又因为圆心在直线上，所以②，
直线与圆M相切，得到③，
由①②③解得：因此圆的方程为
【小问2详解】
设，因为A为线段BD中点，所以，
因为在圆上，所以，解得或
当时，由可知直线的方程为；
当时，由可得斜率，
故直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设与轴不垂直直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为.
（i）求的值；
（ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.
【正确答案】（1）
（2）（i）；（ii）直线恒过点.
【分析】（1）由离心率及，列出的等式求解即可.
（2）（i）设直线方程，联立椭圆方程结合韦达定理和斜率公式即可求解；（ii）
由（i）得到结合韦达定理及斜率公式代入化简即可.
【小问1详解】
由于椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为，
故，又，所以，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
（i）设与轴交点为，由于直线交椭圆C于两点（在轴的两侧）
故直线的的斜率不为0，直线的方程为，
联立，则，
则
设，则，
又
故，
（ii）由（i）得.
因为，则.
又直线交与轴不垂直可得，所以，即
所以，
于是
整理得，解得或，
因为在轴的两侧，所以，
又时，直线与椭圆有两个不同交点，
因此，直线恒过点.