高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列习题

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 随机变量
题型2：分布列及其性质的应用
题型3：求离散型随机变量的分布列
题型4：两个相关随机变量的分布列
题型5：两点分布
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：离散型随机变量
（1）随机变量的定义
一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量．
表示：用大写英文字母表示随机变量，如，，；用小写英文字母表示随机变量的取值，如，，．
特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
①取值依赖于样本点．
②所有可能取值是明确的．
（2）随机变量与函数的关系
共同点：随机变量和函数都是一种映射
区别: 随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数
联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域；
注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.
（3）离散型随机变量的定义
对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
离散型随机变量的特征：
①可用数值表示；
②试验之前可以判断其可能出现的所有值；
③试验之前不能确定取何值；
④试验结果能一一列出；
⑤本章研究的离散型随机变量只取有限个值
（4）连续型随机变量的定义
随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
知识点2：离散型随机变量的分布列
（1）离散型随机变量的分布列的定义
一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列．
①解析式法：i,
②表格法：
③图象法:
（2）离散型随机变量的分布列的性质
①，
②
注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
知识点3：两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”,
表示“失败”,定义
如果，则，那么的分布列如下所示：
我们称服从两点分布或者分布.
知识点4：写离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找：理解并确定的意义，找出随机变量X的所有可能的取值()
(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率()注意应用计数原理、古典概型等知识
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.
注意：写出分布列时要注意将化为最简分式形式，但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果.
二、重点题型分类研究
题型1: 随机变量
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是
A．取到产品的件数B．取到正品的概率
C．取到次品的件数D．取到次品的概率
【答案】C
【详解】逐一考查所给的选项：
A中取到产品的件数是一个常量而不是变量,
B,D中的量也是一个定值,
而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.
本题选择C选项.
例题2．（2022秋·陕西渭南·高二渭南市华州区咸林中学校考期中）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（ ）．
A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数D．取到球的个数
【答案】C
【详解】选项A，B是随机事件；选项D是定值2；选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示．
故选：C．
例题3．（2023·高二课时练习）已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数；③某一天中长江的水位；④某次大型车展中销售汽车的数量．其中，所有离散型随机变量的序号为______．
【答案】①②④
【详解】①②④中的随机变量可能的取值可以按照一定次序一一列出，
因此，它们都是离散型随机变量；
③中的可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，
故其不是离散型随机变量.
故答案为：①②④.
同类题型演练
1．（2022·高二课时练习）将一枚质地均匀的骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（ ）
A．第一次出现的点数B．第二次出现的点数
C．两次出现的点数之和D．两次出现相同点的种数
【答案】C
【详解】由随机变量的定义知，将一枚质地均匀的骰子掷两次，两次出现的点数之和可作为此次试验的随机变量．
故选：C．
2．（2022·高二课时练习）一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球D．至少取到1个红球或1个黑球
【答案】B
【详解】A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0，1，2，所以是随机变量．C和D叙述的结果也是确定的，故不是随机变量．
故选：B.
3．（2022春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ）
A．至多取到1个黑球B．至少取到1个白球
C．取到白球的个数D．取到的球的个数
【答案】C
【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C，取到白球的个数，可以是0，1，2.
故选：C
题型2：分布列及其性质的应用
典型例题
例题1．（2022秋·江西抚州·高二校联考期末）设随机变量的分布列为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意：
所以，得
所以
故选：C．
例题2．（2022秋·福建泉州·高二泉州市城东中学校考期中）若离散型随机变量的分布列如下图所示．
则实数的值为（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】C
【详解】依题意，，解得，
所以实数的值为.
故选：C
例题3．（2022·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布满足（，1，2，…，10），则的值为___________.
【答案】1024
【详解】由题意.
故答案为：1024.
例题4．（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）随机变量的分布列如图，且，，成等差数列，则______．
【答案】
【详解】因为，，成等差数列，故 ，
又 ，故 ，则
故，
故答案为：
例题5．（2022·高二课时练习）已知随机变量的概率分布为，则实数______．
【答案】
【详解】依题意，，
由分布列的性质得，解得，
所以实数.
故答案为：
同类题型演练
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期中）设随机变量的分布列为，、、，其中为常数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知可得，则，
因此，.
故选：D.
2．（多选）（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ）
A．－B．C．D．
【答案】BC
【详解】由题可得，
∴或，经检验适合题意.
故选：BC.
3．（多选）（2022秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考期中）设随机变量的分布列为，（），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】选项A，由已知可得，，即，故该选项正确；
选项B，，故该选项正确；
选项C，，故该选项正确；
选项D，，故该选项错误.
故选：ABC.
4．（2022·高二课时练习）设随机变量X的分布列为，则常数______，______，______．
【答案】 ##0.8 ##0.4
【详解】由题意，知所给分布列为
由离散型随机变量分布列的性质得，解得．
．
∵，∴，，．
∴．
5．（2022秋·辽宁·高二校联考阶段练习）设随机变量X的分布列为，若，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【详解】解：因为，
所以，，，．
又，
又，所以．
故答案为：.
题型3：求离散型随机变量的分布列
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在处投一球，以后都在处投，已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为，求他初赛结束后所得总分的分布列．
【答案】分布列见解析.
【详解】设甲同学在处投中的事件为，投不中的事件为，在处投中为事件，投不中为事件，
由已知得，，则，，的可能取值为：，，，.
所以，，
，，
所以的分布列为：
例题2．（2023·全国·高三专题练习）有2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设表示总检测费用（单位：元），求的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
（1）设“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
则．
（2）
X的可能取值为200，300，400，则，
，
．
故X的分布列为
例题3．（2023·全国·高三专题练习）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以（单位： t，）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将表示为的函数；
(2)根据直方图估计利润不少于57000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量，，则取，且的概率等于需求量落入，的频率），求的分布列．
【答案】(1)
(2)0.7
(3)59400
（1）
解：由题意得，当，时，，
当，时，，
（2）
解：由（1）知，利润不少于57000元，当且仅当．
由直方图知需求量，的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润不少于57000元的概率的估计值为0.7；
（3）
解：由题意及（1）可得：
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，．
所以的分布列为：
例题4．（2023·全国·高三专题练习）甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格．
(1)若一次考试中甲答对的题数是，求的概率分布列，并求甲合格的概率；
(2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记为乙所得分数，求的概率分布列．
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)分布列见解析.
（1）
依题意，的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
的分布列：
所以甲合格的概率.
（2）
依题意，乙答3题，答对题数可能为1，2，3，则的可能取值为-5，5，15，
，，，
的分布列：
例题5．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.
(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率；
(2)假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为.已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择.记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【详解】（1）记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”，
则，，，
由全概率公式：，
所求概率为.
（2）设事件表示小明选择了i个选项，，表示选到的选项都是正确的.
可能取值为0，2，5，
，
，
.
随机变量的分布列为
同类题型演练
1．（2023·高二课时练习）一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码．
(1)求的分布；
(2)求的取值不小于4的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）随机变量的可能取值为3、4、5、6，
且，，，
，
所以的分布为：
（2）的取值不小于4的概率为：
．
2．（2023·全国·高三专题练习）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)求随机变量的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
（1）
“取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件，
则为“取出的3个小球上有2个数字相同”，∴，∴．
（2）
由题意可知的可能取值为2，3，4，5，
，，
，．
可得的分布列如表所示．
3．（2023·全国·高三专题练习）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
（1）
记“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”，3个白球、2个红球分别记为白1，白2，白3，红1，红2，从中摸出2个球有（白1白2），（白1白3），（白1红1），（白1红2），
（白2白3），（白2红1），（白2红2），（白3红1），（白3红2），（红1红2）共10种情况，
从中摸出的2个球中有1个白球和1个红球有（白1红1），（白1红2），（白2红1），（白2红2），（白3红1），（白3红2）共6种情况，
所以，
摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.
（2）
X表示摸出的2个球中的白球个数，则X可取，
，，，
则X的分布列为
4．（2022春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）A，B两个乒乓代表队进行对抗赛，每组三名队员，A队队员为A1，A2，A3，B队队员为B1，B2，B3.按照以往比赛统计，对阵队员之间的胜负的概率如下：
现按表中对阵方式出场，每场获胜队伍得1分，负队的0分，设A队，B队最后所得总分分别为与，求与的概率分布
【答案】答案见详解
【详解】由题意可知的可能取值为3，2，1，0
则，
，
，
由题意可知，所以的可能取值为0，1，2，3
，，
，
故与的概率分布为：
5．（2022春·河南南阳·高二校考阶段练习）某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，
租车费相同，即两人都在同一时间段还车，
标记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．
（2）由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且
；
；
；
；
．
所以甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为
题型4：两个相关随机变量的分布列
典型例题
例题1．（2022·高二课时练习）设随机变量等可能地取，又设随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为随机变量等可能地取，
所以，
所以等可能的取，则，
所以.
故选：A.
例题2．（2022秋·黑龙江鸡西·高二鸡东县第二中学校考阶段练习）已知随机变量的分布列是
则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由分布列的性质可得，得，所以，，
因此，.
故选：C.
例题3．（2022·高二课时练习）设随机变量的分布列如下表：
则等于______．
【答案】
【详解】解：由所有概率和为1，可得，
所以．
故答案为：
例题4．（2022·高二课时练习）已知的分布列
且，，则______.
【答案】4
【详解】,
且，
，
即，
解得，
故答案为：4
例题5．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的分布列为
试求：
(1)的分布列；
(2)的分布列.
【答案】(1)分布列见解析
(2)分布列见解析
【详解】（1）解：由分布列的性质知，
所以.列表为
的分布列为
（2）的分布列为
同类题型演练
1．（2022秋·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）设随机变量的概率为分布列如下表，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由，解得或
故选：A
2．（2022·高二课时练习）已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】且，则
即

解得
故答案选A
3．（2022·高二课时练习）已知离散型随机变量的分布列，.令，则__________.
【答案】
【详解】由已知取值0，2，4，6，8，且，，
，，，
则.
故答案为：
4．（2022·高二课时练习）已知X服从参数为0.3的两点分布，则________；若，则________.
【答案】 0.7## 0.3##
【详解】因为服从参数为0.3的两点分布，
所以， .
当时，，所以.
故答案为：0.7，0.3
5．（2022·高二课时练习）已知随机变量的分布列如下表，且满足，则________：又，则________.
【答案】
【详解】，又，可得；
，所以.
故答案为：；
题型5：两点分布
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量去描述1次试验的成功次数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知得的所有可能取值为0，1，且，
代入，得，
所以，
故选:D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么_________．
【答案】
【详解】由题意得，当时，即，
所以
故答案为：
例题3．（2022秋·山西运城·高二校联考阶段练习）设随机变量服从两点分布，若，则______．
【答案】##
【详解】由于随机变量X服从两点分布，故①，又由于②，则①②得.
故答案为：.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知服从参数为0.3的两点分布．
(1)求；
(2)若，写出Y的分布列．
【答案】(1)0.7
(2)答案见解析．
(1)
．
(2)
时，，时，，
所以的分布列为：
同类题型演练
1．（2022秋·重庆·高二校联考阶段练习）设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ）
A．0.3B．0.35C．0.65D．0.7
【答案】C
【详解】随机变量服从两点分布，，
根据两点分布概率性质可知：，
解得.
故选：C.
2．（2022·高二课时练习）下列问题中的随机变量不是伯努利型的序号是______．
①某运动员射击一次，击中目标的次数为随机变量X；
②某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X；
③抛掷一颗骰子，所得点数为随机变量X；
④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量，取出白球；，取出红球．
【答案】③
【详解】伯努利型分布即两点分布，
其中①某运动员射击一次，击中目标的次数有两种可能，故为伯努利型；
②某医生做一次手术，手术成功的次数为两种可能，故为伯努利型；
③抛掷一颗骰子，所得点数可能为1,2,3,4,5,6，故不是伯努利型；
④从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量，取出白球；，取出红球，两种可能，故为伯努利型.
故答案为：③
3．（2022·高二课时练习）已知服从两点分布，且，则______．
【答案】0.7
【详解】解：因为服从两点分布，所以．
故答案为：0.7
三、高考（模拟）题体验
1．（2022·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
解得.
故.
故选：
2．（2022·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）若离散型随机变量的分布列为，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题 ，则由离散型随机变量分布列的性质可得


故
故选A.
3．（2022·重庆·统考模拟预测）已知随机变量X的概率分布为，则实数______．
【答案】
【详解】依题意，，
由分布列的性质得，解得，
所以实数.
故答案为：
4．（2022·新疆喀什·统考一模）为庆祝元旦，班委会决定组织游戏，主持人准备好甲､乙两个袋子.甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑，每抽出1个黑球，须做6个俯卧撑
方案①：参加游戏的同学从甲､乙两个袋子中各随机抽出1个球；
方案②：主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋，然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球；
方案③：主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋，然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.
(1)若同学小北选择方案①，求小北做6个俯卧撑的概率；
(2)若同学小北选择方案，设小北做俯卧撑的个数为，求的分布列；
(3)如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏，且希望少做俯卧撑，那么你应该选择方案②还是方案③，还是两个方案都一样？（直接写出结论）
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；
(3)方案③.
(1)
按方案①，小北做6个俯卧撑的事件是从甲、乙两袋中各抽出1个白球的事件，而每个袋中抽球是相互独立的，
所以小北做6个俯卧撑的概率.
(2)
从甲袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，当选的2个球为黑球时的概率为：，
而的可能值为3，6，
，，
所以的分布列为：
(3)
从乙袋中任取2个球有三种情况，当选的2个球为白球时的概率为：，
当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为：，当选的2个球为黑球时的概率为：，
小北抽出白球的概率为：，显然，
所以应该方案③.
5．（2022·山东日照·统考模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．
【答案】(1)甲进入决赛可能性最大
(2)
(3)分布列见解析
【详解】（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
∵，∴，
∴
∴甲进入决赛可能性最大．
（2）

整理得，解得或，
又∵，∴；
（3）由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，
进入决赛的人数为可能取值为， ，，，
，
，
，
，
∴的分布列为
…
…
…
…
0
1
0
1
-1
0
1
ξ
1
2
3
P
X
1
P
a
X
200
300
400
P
45000
53000
61000
65000
0.1
0.2
0.3
0.4
0
1
2
3
-5
5
15
0
2
5
2
3
4
5
0
1
2
对阵球员
A队队员获胜的概率
B队队员获胜的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
3
2
1
0
0
1
2
3
X
0
2
4
6
8
P
1
2
3
4
0
1
0
1
2
3
4
0.2
0.1
0.1
0.3
0
1
2
3
4
1
3
5
7
9
1
0
1
2
3
1
3
5
7
9
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
0
1
2
3
0.1
0.3
0.3
0.3
1
2
3
4
ξ
1
2
3
4
P

m
n
1
3
0.7
0.3
3
6
0
1
2
3
P