人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列随堂练习题

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1、（2023·全国·高二专题练习）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）．
A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数
【答案】B
【解析】根据随机变量的定义，选项B是随机变量，其可能取值为0,1,2,
其他三个选项均不能作为随机变量.故选：B
2、（2022·高二课时练习）将一枚质地均匀的骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（ ）
A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数
C．两次出现的点数之和 D．两次出现相同点的种数
【答案】C
【解析】由随机变量的定义知，将一枚质地均匀的骰子掷两次，
两次出现的点数之和可作为此次试验的随机变量．故选：C．
3、（2023·全国·高二专题练习）（多选）下列变量是随机变量的是（ ）
A．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数
B．一台机器在一段时间内出现故障的次数
C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数
D．方程的实根个数
【答案】ABC
【解析】随机变量的定义为：作一次实验，其结果有多种可能；
选项ABC都符合随机变量的定义，故ABC都正确；
方程的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误.故选：ABC.
4、（2022·全国·高三专题练习）下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
【答案】B
【解析】对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，
故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，
但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，
但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.故选：B.
5、（2022·高二课时练习）（多选）下列变量中，不是离散型随机变量的是（ ）
A．到年月日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮次，可能投中的次数
【答案】ABC
【解析】根据离散型随机变量的定义，即可以按照一定次序一一列出，
可能取值为有限个或无限个，
选项A不是变量，B、C中的变量为连续型随机变量，
而选项D中的变量是离散型随机变量，故选：ABC.
【题型2 离散型随机变量的分布列】
1、（2023·全国·高二专题练习）某机构对于某地区的10 000户家庭的年可支配收入的调查中，获得如下的统计数据：60%的家庭将年可支配收入用来购买银行结构性存款，20%的家庭将年可支配收入存入银行，其余家庭将年可支配收入用于风险投资.已知银行结构性存款获得的年收益率为5%的概率为95%，获得的年收益率为-2%的概率为5%，存入银行的年收益率为2%，风险投资的平均年收益率为3%.把频率当作概率，假设该地区的每户家庭的年可支配收入均为10万元.
（1）求这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率；
（2）每户家庭获得的年收益为X万元，求X的分布列.
【答案】（1）80%；（2）分布列见解析
【解析】（1）由已知得，这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率为.
（2）由已知得，X的可能取值为，，，，
，，
，，
所以X的分布列为
2、（2022秋·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）甲、乙等6个班级参加学校组织的广播操比赛，若采用抽签的方式随机确定各班级的出场顺序（序号为1，2，…，6），求：
（1）甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；
（2）甲、乙两班级之间的演出班级（不含甲乙）的个数X的分布列.
【答案】（1）；（2）分布列见解析
【解析】（1）由题意得，甲、乙两班级的出场序号均为偶数的概率，
故甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率.
（2）易知X的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，.
故X的分布列为
3、（2022·高二课时练习）设S是不等式的解集，整数m，.
（1）记“有序数组满足”为事件A，试列举A包含的基本事件；
（2）设，求X的分布列.
【答案】（1）A包含的基本事件有，，，，；（2）分布列见解析.
【解析】（1）由得，即.
由于m，，m，且，
所以A包含的基本事件有，，，，.
（2）m的所有可能取值为，，0，1，2，3，
所以的所有可能取值为0，1，4，9，
且，，，.
故X的分布列为
4、（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占.
（1）求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率；
（2）设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列.
【答案】（1）；；（2）分布列见解析.
【解析】（1）由题意，每一个参与抽奖的顾客中奖的概率.
（2）由题设，可能值为，
则，，，
所以的分布列如下：
5、（2022春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为的四批疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
（1）求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
（2）记三个区选择的疫苗批号的中位数为，求的分布列．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）“三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同”为事件A，
则.
（2）随机变量的所有可能取值为：，
，，
，，
所以的分布列为：
【题型3 分布列的性质及其应用】
1、（2023·全国·高二专题练习）已知离散型随机变量的分布列如表：
则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，解得.故选：A.
2、（2022春·江苏常州·高二常州市第一中学校联考期中）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，解得.故选：C.
3、（2023·全国·高二专题练习）随机变量X的分布列如下表，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由分布列可知，
故，故选：C
4、（2022春·山东济宁·高二期末）已知随机变量X的概率分布为：，其中是常数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，即，解得：，
所以，．故选：A．
5、（2023·全国·高二专题练习）（多选）设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由题意，得，
解得，故A正确；
，故B正确；
易知，故C错误；
，故D错误；故选：AB．
【题型4 两点分布】
1、（2022·高二课时练习）下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【答案】A
【解析】对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，
所以A中的随机变量不服从两点分布；
对于选项B，射击手射击一次，有击中或者不击中目标两种可能的结果，
B中的随机变量服从两点分布；
对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，
C中的随机变量服从两点分布；
对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，
D中的随机变量服从两点分布.故选A.
2、（2023·全国·高二专题练习）已知服从两点分布，且，则______．
【答案】0.7
【解析】因为服从两点分布，所以．故答案为：0.7
3、（2021·全国·高二专题练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么_________．
【答案】
【解析】由题意得，当时，即，
所以
4、（2022春·山西运城·高二校联考阶段练习）设随机变量X服从两点分布，若，则______．
【答案】
【解析】由于随机变量X服从两点分布，故①，
又由于②，则①②得.
5、（2022·高二课时练习）一个袋中有除颜色外其余完全相同的3个白球和4个红球．
（1）从袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，则有求X的分布列；
（2）从袋中任意摸出两个球，用“0”表示两个球全是白球，用“”表示两个球不全是白球，求Y的分布列．
【答案】（1）分布列见解析；（2）分布列见解析
【解析】（1）由题意符合两点分布，且，，
的分布列如下：
（2）从中任意摸出两个球，用“”表示两个球全是白球，
用“”两个球不全是白球，符合两点分布，
，．
的分布列为：
X
0.2
0.3
0.5
P
0.03
0.2
0.2
0.57
X
0
1
2
3
4
P
X
0
1
4
9
P
0
1
2
0
1
2
3
X
3
4
5
6
P
X
0
1
P
a
c
0
1
0
1