人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案设计

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一、混淆等式与不等式的性质
易错分析：不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；；②可乘方性：；③可开方性：；④同号可倒性：；；
例1．已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确；
对B，当时，满足，但，所以B不正确；
对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确；
对D，举例，则，则，所以D不正确.
故选：C.
变式1-1．若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】A：当时，，故A错误；
B：当时，满足，，不成立，故B错误；
C：，
因为，所以，得，即，故C正确；
D：当时，满足，，不成立，故D错误.
故选：C
变式1-2．已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知，,
所以.
故选：D.
变式1-3．（多选）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】对于A，由，得，所以，所以，则A正确；
对于B，当时，，则B错误；
对于C，由，得，所以，则C正确；
对于D，当时，，此时，则D错误.
故选：AC
二、忽略基本不等式的使用条件
易错分析：利用基本不等式求函数最值时，注意其前提:“一正、二定、三相等”
例2．求函数的最小值．
【答案】．
【详解】[错解]函数，
所以函数的最小值为2．
[错因]使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件才能取等号．
上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的．
[正解] ，
令，在时是单调递增的，
．故函数的最小值是．
【点睛】本题考查函数的最值，掌握基本不等式使用注意的条件：一正、二定、三相等，仔细审题，属基础题.
变式2-1．（多选）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确.
对于B，若，则，所以B错误.
对于C，因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，所以C正确.
对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，所以D正确.
故选：ACD
变式2-2．（多选）下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选:CD.
变式2-3．当时，函数的值域为 .
【答案】
【详解】因为，则，
则，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为.
故答案为：.
三、忽视最高项系数为0
易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论
例3．已知不等式的解集是，则 ．
【答案】
【详解】因为不等式的解集是，
可知，是方程的两个实根，且，
由韦达定理得，解得，，
所以．
故答案为：.
变式3-1．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．关于x的不等式的解集可以是
B．关于x的不等式的解集可以是
C．函数在上可以有两个零点
D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”
【答案】BCD
【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得，
而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；
对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确；
对C，取，，则由，得或3，故C正确；
对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得，
若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，，
且，关于x的方程有一个正根和一个负根.
因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确.
故选：BCD.
变式3-2．（多选）不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】因为的解集非空，
所以或，所以或，
综上，
对于A，是的解集非空的充要条件，所以A错误，
对于B，是的解集非空的一个必要而不充分条件，所以B正确，
对于C，是的解集非空的一个必要而不充分条件，所以C正确，
对于D，是的解集非空的一个充分而不必要条件，所以D错误.
故选：BC
变式3-3．若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】①当时，不等式恒成立，所以符合要求；
②当时，题意等价于，即，解得，
综上可知.
故答案为：.
四、二次含参不等式讨论不当
易错分析：解二次含参不等式的具体步骤
第一步：二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
第二步：判断方程的根的个数,讨论判别式与0的关系；
第三步：确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式
例4．解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【详解】①当时，原不等式化为，解得．
②当时，原不等式化为，解得或．
③当时，原不等式化为.
当，即时，解得；
当，即时，解得满足题意；
当，即时，解得．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
变式4-1．已知函数．
(1)若不等式的解集为，求的表达式；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）∵的解集为，
∴1，2是方程的根且，
∴，
∴，
∴．
（2）当时，，∵，∴，∴；
当时，，即，即，
当时，，∴或；
当时，，
（ⅰ）当时，无解；
（ⅱ）当时，；
（ⅲ）当时，；
综上所述：当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
变式4-2．解关于的不等式：.
【答案】答案见解析
【详解】原不等式可化为，即，
也即.
当时，不等式可化为，解得.
若，则，
当时，且，解得或.
当时，且，解得.
当时，且，解得.
当时，原不等式可化为，解集为.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
变式4-3．解关于x的不等式.
【答案】答案见解析
【详解】（1）当时，由，不等式的解集是.
（2）当时，因为，
方程的两根为和，不等式的解集是.
（3）当时，因为，
方程的两根为和，不等式的解集是.
（4）当时，因为，
方程的两相等根为，不等式的解集是.
（5）当时，因为，
方程无实根，所以不等式的解集是.
综上所述：
当时， 不等式的解集是.
当时， 不等式的解集是.
当时，不等式的解集是.
当时，不等式的解集是；.
当时， 不等式的解集是.
五、混淆恒成立和能成立题目
易错分析：不等式成立问题常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法，而转化为最值问题易混淆最大值和最小值
（1）恒成立问题
若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上；
若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上
（2）能成立问题
若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上；
若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上
例5．若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【详解】，使得成立是真命题，
所以,恒成立.
所以在上恒成立，
所以，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以，所以，即实数的最大值为.
故选：B.
变式5-1．若命题“”是假命题，则实数的最大值 .
【答案】
【详解】由题知命题的否定“”是真命题．
即，即，其中，
因为，当且仅当时等号成立，则
故实数的最大值为
故答案为：.
变式5-2．已知函数.
(1)若，在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意可得：，
解得，
所以实数的取值范围为.
（2）恒成立，又，
所以在恒成立；
由于，当时等号成立.
所以，
即实数的取值范围为.
变式5-3．已知命题，不等式恒成立；命题，使成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）命题，不等式恒成立，为真命题，
则，解得，即实数的取值范围为.
（2）命题，使成立，
当为真命题时，
即，解得或，
.
当命题中恰有一个为真命题时，
①为真命题，为假命题，即，所以；
②为假命题，为真命题，即，所以；
综上可得：.
一、单选题
1．已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于A，，A不是；
对于B，当时，由，得，B不是；
对于C，，可能有，如，C不是；
对于D，由，得，则；若，则，D是.
故选：D
2．若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由于
A：利用数轴可得，则，根据不等式的性质，，则，故A正确；
B：由于，根据不等式的性质：，则，可得，故B错误；
C：由于，两边同乘，可得，对，对其左右两边同乘，得，故，即，故C正确；
D：，故，故D正确；
故选：B
3．若，，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．16D．64
【答案】C
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，当且仅当时，的最小值为16.
故选：C.
4．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意，
当时，要使得不等式对一切实数都成立，
则，解得，
综上所述，的取值范围为.
故选：D．
5．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】不等式对恒成立，
所以，则.
则不等式恒成立的一个必要不充分条件是.
故选：B
6．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由使得不等式成立是真命题，
即不等式在有解，
因为，当时，，
所以，即实数的取值范围为.
故选：C.
二、多选题
7．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】对于一元二次不等式，则
当时，函数开口向上，与轴的交点为，
故不等式的解集为；
当时，函数开口向下，
若，不等式解集为；
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为，
故选：ACD
8．已知正数，满足且，则（ ）
A．的最小值为16B．的最小值为4
C．的最小值为D．，
【答案】CD
【详解】由题意可得，，，
（当且仅当时取等号），
经检验后无法取得等号，故A、B错误；
由得，由得：，
，又（当且仅当时取等号），
，故C正确；
，，，，故D正确，
故选：CD.
三、填空题
9．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】根据题意可得“”是真命题，
当，即时，命题成立；
当时，得，解得，
综上，符合题意的实数的取值范围是.
故答案为：.
10．若关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是 （填写正确命题的序号）．
①；②不等式的解集为；③；④不等式的解集为．
【答案】①②④
【详解】由题意知，，，所以①②正确，③错误，
因为，代入，，
得，又因，
所以解得或，所以④正确.
故选：①②④
四、解答题
11．已知函数，．
(1)解关于的不等式；
(2)若方程有两个正实数根，，求的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【详解】（1）不等式即为，
∴，
方程的两根分别为2和，
当时，解不等式可得，
当时，不等式无解，
当时，解不等式可得，
综上可知：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（2）方程有两个正实数根，，
即方程有两个正实数根，，
则，解得，
由韦达定理得，，，
故，
当时，，达到最小值，故的最小值为．
12．已知命题p：，；命题q：，
(1)若p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）命题p：，为真，
则恒成立，等价于，
令，由基本不等式可得，，
当且仅当时，等号成立，即，所以
故实数a的取值范围为.
（2）命题q为真命题：，，
故，解得或
由于p与q有且只有一个为假命题，
①p真q假：，故；
②p假q真：，故；
故实数a的取值范围为.
一、混淆等式与不等式的性质
四、二次含参不等式讨论不当
二、忽略基本不等式的使用条件
五、混淆恒成立和能成立题目
三、忽视最高项系数为0