2025年人教版初二数学下学期开学测试B卷（学生版+解析版）

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一、选择题
1. 第 24 届冬奥会于 2022 年 2 月 20 日在世界首个“双奥之城 ”—北京圆满落下帷幕．下面是从历届冬奥会的会徽 中选取的部分图形，其中是轴对称图形的是( )
言
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴 对称图形，据此判断即可.
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁部分不能完全重合， 故不是轴对称图形，不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁部分不能完全重合， 故不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合， 故是轴对称图形，符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁部分不能完全重合，
故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C .
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是解本题的关键.
2. 地处北京怀柔科学城的“北京光源”（ HEPS ）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控 制 ”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．1nm = 0.000000001m．将 0.000000001用科学记数法表示应为( )
A. 1 × 10—8 B. 1 × 10—9 C. 10 × 10—10 D. 0.1 × 10—8
【答案】B 【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中1≤ a < 10 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 > 1时，n 是正数；当原数的绝对值 < 1 时，n 是负数.
【详解】解： 0.000000001 = 1 × 10—9 . 故选 B .
a
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中1≤
< 10 ，n 为整数，
表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
3. 下列计算正确的是( )
A. （x3 ）3 =x6 B. a6•a4 =a24 C. (﹣mn ）4÷ (﹣mn ）2 =m2n2 D. 3a+2a=5a2
【答案】C 【解析】
【分析】利用幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则进行计算. 【详解】解： （x3 ）3=x9 A.错误；
a6•a4=a10 B.错误
(﹣ mn ）4÷ (﹣ mn ）2=m2n2 ，C.正确 3a+2a=5a ， D.错误
故选 C.
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式，掌握 （am )n = a mn , a a a a a amnmnmn m n÷==—,.+ 是本题的解题关键.
4. 如图所示的正五边形和等边三角形的一边重合，则 上α的度数是( )
A. 48 B. 58 C. 60 D. 108
【答案】A 【解析】
【分析】分别算出正五边形一个内角度数和等边三角形一个内角度数，即可得出答案. 【详解】解：正五边形的一个内角为：
等边三角形的一个内角为 60，
∴a = 108 — 60 = 48， 故 A 正确. 故选：A .
【点睛】本题主要考查了正五边形的内角和等边三角形的内角，解题的关键是求出正五边形一个内角度数和等边三 角形一个内角度数.
5. 多项式 A 与2x + y 的乘积含有—xy 项，那么 A 可能是( )
A. 3x — y B. 2x — y C. 1— x D. y — 2
【答案】C 【解析】
【分析】将四个选项中的多项式与2x + y 相乘，求出结果，再进行判断即可. 【详解】解：A . ∵ (2x + y)(3x — y ) = 6x2 — 2xy + 3xy — y2 = 6x2 + xy — y2 ，
∴多项式3x —y 与2x + y 的乘积不含—xy 项，故 A 不符合题意；
B . ∵ (2x + y)(2x —y ) = 4x2 — y2 ，
∴多项式2x —y 与2x + y 的乘积不含—xy 项，故 B 不符合题意；
C . ∵ (2x + y)(1— x ) = 2x — 2x2 + y — xy ，
∴多项式1— x与2x + y 的乘积含有—xy 项，故 C 符合题意；
D . ∵ (2x + y)(y — 2) = 2xy — 4x + y2 — 2y ，
∴多项式 y— 2 与2x + y 的乘积不含有—xy 项，故 D 不符合题意. 故选：C .
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算.
6. 如图，在 △ABC 中， AB = AC ， 上C = 30O ， AD 丄BC ， DE 丄AC ．若 DE = 1 ，则 BD 的长是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】D 【解析】
【分析】根据含有 30O 角的直角三角形的性质可得DC = 2 ，由等腰三角形的性质，可得 BD = CD = 2 ，即可得到 答案.
【详解】解： DE 丄AC ， DE = 1 ， 上C = 30O ，
:DC = 2DE = 2 ，
AB = AC ， AD 丄BC ，
:BD = CD = 2 ， 故选：D .
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含有 30O 角的直角三角形的性质，熟练掌握含有 30O 角的直角三角形 的性质，是解题的关键.
7. 如果 m2 + m = 5， 那么代数式m (m - 2) + (m + 2)2 的值为( )
A. -6 B. -1 C. 9 D. 14
【答案】D 【解析】
【分析】先利用整式的乘法与加减法、完全平方公式化简所求代数式，再将已知等式作为整体代入即可得. 【详解】解： m (m - 2) + (m + 2)2 ，
= m2 - 2m + m2 + 4m + 4 ，
= 2m2 + 2m + 4 ，
由 m2 + m = 5得： 2m2 + 2m = 10 ，
则原式 = 10 + 4 = 14 ， 故选：D .
【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、代数式求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键.
8. 如图， OA 丄 OD ，OA = 2 ，P 是射线OD 上的一个动点，连接AP ，以 A 为直角顶点向右作等腰直角 △PAB ， 在OD 上取一点 C，使上BCO = 45。，当 P 在射线OD 上自 O 向 D 运动时， PC 长度的变化（ ）。
A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 保持不变
【答案】D 【解析】
【分析】过点B 作BH 丄 OA于H ，BG 丄 OC 于 G ，先证明 △POA 三△AHB (AAS)，得 OA = BH = 2 ，OP = AH ， 利用等量代换即可求解.
【详解】解：过点B 作 BH 丄 OA于H ， BG 丄 OC 于 G ，
:△ABP 是等腰直角三角形， ∴AB = AP ， 上BAP = 90O ，
: 上PAO + 上BAH = 90O ， : 上PAO + 上OPA = 90O ， :上OPA = 上BAH ，
在 △POA 和 △AHB 中，
:△POA 三△AHB (AAS)，
: OA = BH = 2 ， OP = AH ，
:上BCO = 45O ， BG 丄 OC ， :△CGB 是等腰直角三角形，
:CG = BG ，
:PC = CG - PG = OA + AH - (OP - OG)
= OA + AH - OP + OG
= OA + OG = 4 ，
:PC 的长度保持不变， 故选：D .
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三角形进行 求解.
二、填空题
9. 若代数式 ·x -1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 .
【答案】 x ≥ 1 【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可.
【详解】解： ∵ x -1 在实数范围内有意义，
∴x-1≥0， 解得 x≥1 .
故答案为：x≥1 .
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 0 .
10. 分解因式： 3x2 - 3 = .
【答案】 3(x + 1)(x -1) 【解析】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解. 【详解】 3x2 - 3
2
= 3 (x -1)
= 3(x +1)(x -1) ，
故答案： 3(x +1)(x -1) .
【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变 形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是恒等变形．因式分解必须分解到每一个因式都不能再 分解为止.
11. 如图，在正方形方格中，点 A ，B ，C 在格点上，则 上ACB + 上ABC = ° .
【答案】 45。 【解析】
【分析】 由网格可知 AD = BD 且 上ADB = 90。，再根据三角形外角的性质即可求解. 【详解】解：如图，
∵ AD = BD ，且 上ADB = 90O ∴ 上DAB = 45O
∵ 上DAB = 上ACB + 上ABC ∴ 上ACB + 上ABC = 45O
故答案为： 45O .
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键。
12. 使分式 的值为 0，这时 x= .
【答案】1 【解析】
【详解】 由题意得
所以 x2-1=0 且 x+1≠0，
解之得 x=1 ， 故答案为：1 .
13. 将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是 .
【答案】 a2 + b2 = c2 【解析】
【分析】用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案.
【详解】解：大正方形的边长为(a +b) ，因此面积可以表示为 (a +b)2 ，
大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为
因此(a + b )2 = c2 + 2ab ，
即 a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab ， ∴ a2 + b2 = c2 .
故答案为： a2 + b2 = c2 .
【点睛】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积.
14. 如图，在 △ABC 中， AB = AC = 8 ， BC = 4 ，D 是BC 的中点， DE Ⅱ AB ，则 △CDE 的周长为 。
【答案】10 【解析】
【分析】连接 AD ，根据 AB = AC = 8 ，D 是 BC 的中点，得出 AD 丄BC ， 上CAD = 上BAD ，根据DE Ⅱ AB ， 得 出 上BAD = 上ADE ， 证 明 上EAD = 上EDA ， 得 出 DE = AE ， 得 出 CD + DE + CE = CD + AE + CE = CD + AC = 2 + 8 = 10 .
【详解】解：连接 AD ，如图所示：
∵D 是 BC 的中点， BC = 4 ，
∵ AB = AC = 8 ，D 是 BC 的中点， ∴ AD 丄BC ， 上CAD = 上BAD ，
∵ DE Ⅱ AB ，
∴ 上BAD = 上ADE ， ∴ 上EAD = 上EDA ， ∴ DE = AE ，
∴ CD + DE + CE = CD + AE + CE = CD + AC = 2 + 8 = 10 .
故答案为：10 .
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明DE = AE .
15. 若 n200 > 6300 ，则 n 的最小正整数解为 .
【答案】15 【解析】
【分析】先根据 n200 = (n2 )100 ， 6300 = (63 )100 ，n 为正整数，得出当 n2 > 63 时， n200 > 6300 ，得出 n > ，
根据 14 < 216 < 15 ，，即可得出结果.
【详解】解： ∵ n200 = (n2 )100 ， 6300 = (63 )100 ，n 为正整数，
∴当 n2 > 63 时， n200 > 6300 ，
∴ n > 63 ，
即 n > 216 ，
∵ 142 < 216 < 152 ，
∴ 14 < 216 < 15 ，
∴最小的正整数 n 为 15 . 故答案为：15 .
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，无理数的估算，解题的关键是根据积的乘方运算得出当 n2 > 63 时， n200 > 6300 .
16. 某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U，V，W ， 计算机系统执行这三项任务的时间（单位： s ）依次为 a，b，c ，其中a < b < c ．一项任务的“相对等待时间 ”定 义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．在所有的执行顺序中，使三
项任务“相对等待时间 ”之和最小的是 → → . （请分别填入U，V，W ）
【答案】 ① U ②. V ③. W
.
【解析】
【分析】根据题意可得，共有六种顺序，分别求出每一种顺序中三项任务“相对等待时间 ”之和，由此能求出六种 执行顺序中，使三项任务“相对等待时间 ”之和最小顺序.
【详解】解：当执行顺序为U → V → W 时，三项任务相对等待时间之和为：
当执行顺序为U → W → V 时，三项任务相对等待时间之和为：
a a + c a +b + c
S2 = a + a + a + c + a + a + c + a + b + c ，
当执行顺序为V → U → W 时，三项任务相对等待时间之和为：
b b + b + a b + b + a + b + a + c
S3 = b + b + a + b + a + c ，
当执行顺序为V → W → U 时，三项任务相对等待时间之和为：
b b + b + c b + b + c + b + c + a
S4 = b + b + c + b + c + a ，
当执行顺序为W → U → V 时，三项任务相对等待时间之和为：
c c + a c + a +b
S5 = c + c + c + a + c + c + a + c + a + b ，
当执行顺序为W → V → U 时，三项任务相对等待时间之和为：
c c +b c + b + a
S6 = c + c + c + b + c + c + b + c + b + a ，
: a < b < c ，
:不防取 a = 1，b = 2，c = 3 ，
:将 a = 1，b = 2，c = 3 代入可得：
S1 = 4 ， S2 = ， S3 = ， S4 = ， S5 = ， S6 = ， : > 4 ， > 4 ， > 4 ， > 4 ， > 4 ，
: 当执行顺序为U → V → W 时，三项任务相对等待时间之和最小， 故答案为： U、V、W .
【点睛】本题考查简单的合情推理，解题的关键是读懂题目，理解清楚一项任务的“相对等待时间 ”定义为从开始 执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比.
三、解答题
17. 计算： (3 + )(3 — ) — + (|( ), —1
【答案】2 【解析】
【分析】根据平方差公式，二次根式性质，负整数指数幂运算法则，进行计算即可.
【详解】解： (3 + )(3 — ) — + (|( ), —1
= 9 — 7 — 2 + 2
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式，二次根式性质，负整数指数幂运算法 则，准确计算.
18. 计算： (x + 2)(x —2)— x (x +1) .
【答案】 —x — 4 【解析】
【分析】根据完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则计算即可 【详解】解：原式= x2 — 4 — x2 — x
= —x — 4
【点睛】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键.
19. 解方程
【答案】 x = 2 【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤，即去分母化为整式方程，解整式方程，检验，解方程即可求解. 【详解】解：方程两边同时乘以 x(x —1) ，去分母，得 2(x —1)+ x(x —1) = x2 ，
去括号，得 2x - 2 + x2 - x = x2 ， 移项、合并同类项，解得 x = 2 .
检验：当 x = 2 时， x(x —1) ≠ 0 . 所以，原分式方程的解为 x = 2 .
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤与方法是解决本题的关键.
20. 小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在 △ABC 中， 上ACB＝90。.
求作：直线 CD ，使得直线 CD 将 △ABC 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程. 作法：如图，
①作直角边 CB 的垂直平分线MN， 与斜边 AB 相交于点D ；
②作直线 CD .
所以直线 CD 就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明。
证明： ∵直线MN 是线段 CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，
∴ DC＝DB ．（ ）（填推理的依据） ∴ 上DCB＝上 .
∵ 上ACB = 90。，
∴ 上ACD＝90。﹣上DCB ， 上A＝90。﹣上 .
∴ 上ACD＝上A .
∴ DC＝DA ．（ ）（填推理的依据） ∴ △DCB和 △DCA都是等腰三角形.
【答案】（1）见详解 （2）垂直平分线上的点到线段两端距离相等； DBC ； DBC ；等角对等边.
【解析】
【分析】（1）作 BC 的垂直平分线交 AB 于点D ，需分别以B ， C 两点为圆心， 以大于BC 的长度作弧，分别
交于M ， N 两点，然后连接MN 交 AB 于点D ；
（2）根据垂直平分线的性质以及等角关系填空即可. 【小问 1 详解】
如图所示：
【小问 2 详解】
证明： ∵直线MN 是线段 CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上， ∴ DC＝DB ．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴ 上DCB = 上DBC . ∵ 上ACB = 90。，
∴ 上ACD＝90。﹣上DCB ，
。
上A = 90 — 上DBC . ∴ 上ACD＝上A
∴ DC＝DA ．（等角对等边）
∴ △DCB和 △DCA都是等腰三角形.
故答案为：垂直平分线上的点到线段两端距离相等； DBC ； DBC ；等角对等边.
【点睛】本题考查垂直平分线的尺规作图与性质以及等腰三角形的相关证明；熟练掌握等腰三角形的判定方法是本 题的解题关键.
21. 先化简，再求值 一 其中 . 【答案】 ；
【解析】
【分析】先根据分式混合运算法则化简，然后再代入数据求值即可.
解： 一
把 代入得：原式 = 1一1 =
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算.
22. 如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为 a 的长方体形状的无盖纸盒．如果纸盒的容积为4a2b ，底面长方形的一边长为b(b< 4a) ，求长方形纸板的长和宽。
【答案】长 6a ，宽 2a +b 【解析】
【分析】 由长方体的容积除以高，再除以底面的宽可得底面的长，从而可得原长方形纸板的长和宽. 【详解】解：: 纸盒的容积为4a2b， 底面长方形的一边长为b(b< 4a) ，高为 a，
: 长方体纸盒的长为： 4a2b ÷ a ÷ b = 4ab ÷ b = 4a,
: 长方形纸板的长为： 4a + 2a = 6a, 长方形纸板的宽为： b + 2a.
【点睛】本题考查的是单项式除以单项式的实际应用，合并同类项，掌握“单项式除以单项式的法则：把系数与同 底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 ”是解题的关键. 23. 小明想探究两个关于 x 的一次多项式相乘的结果中系数变化的规律，他先尝试用 x +1与mx + n 相乘，变化系数 m 与 n 的值，并记录相乘的结果如下：
（1）补全表格；
（2）若b = 1，求 m 与 n 满足的关系；
（3）小明发现不论 m 与 n 如何变化，a ，b ，c 之间都存在一种永恒不变的关系，请直接写出 a ，b ，c 满足的关系
式 .
【答案】（1）见解析 （2） m + n = 1
（3） a + c = b
【解析】
【分析】（1）通过多项式与多项式相乘 (mx + n)(x +1) = mx2 + (m + n)x + n ，结合表格中的数据进行填空即可；
（2）根据 (mx + n)(x +1) = mx2 + (m + n)x + n 得出当b = 1时， m + n = b = 1；
（3）根据 (mx + n)(x +1) = mx2 + (m + n)x + n 得出 a = m ， b = m + n ， c = n ，即可得出b = a + c . 【小问 1 详解】
解： ∵ (mx + n)(x +1) = mx2 + (m + n)x + n ，
∴当 m = 1 ， n = 一2时，一次项系数b = 1+(一2) = 一1； 当 m = 2 ， c = 3时， n = 3 ， b = 2 + 3 = 5 ， a = 2 ；
当 m = 3 ， b = 一2 时， n = 一2 一 3 = 一5 ， a = 3 ， c = 一5 ；
m
1
2
1
2
3
……
n
1
1
一2
……
结果中二次项系数 a
1
2
1
……
结果中一次项系数 b
2
3
一2
……
结果中常数项 c
1
1
一2
3
……
填表为：
【小问 2 详解】解： ∵ (mx + n)(x +1) = mx2 + (m + n)x + n ， ∴当b = 1时， m + n = b = 1；
【小问 3 详解】
解： ∵ (mx + n)(x +1) = mx2 + (m + n)x + n ，
∴ a = m ， b = m + n ， c = n ，
∴a ，b ，c 满足的关系式为 a + c =b . 故答案为： a + c = b .
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，求出 (mx + n)(x +1) = mx2 + (m + n)x + n .
24. 如图， 已知 △ABC 中， AB = AC ，D 是 AC 上的一点， BC = 10 ， BD = 3 ， CD = 1，求 AB 的长.
【答案】5 【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可得 △BCD 为直角三角形，根据勾股定理即可求得. 在 △BCD 中， BC = 10 ， BD = 3 ， CD = 1
∴ △BCD为直角三角形 即 CD 丄 AC
m
1
2
1
2
3
……
n
1
1
-2
3
-5
……
结果中二次项系数 a
1
2
1
2
3
……
结果中一次项系数 b
2
3
-1
5
-2
……
结果中常数项 c
1
1
-2
3
-5
……
在 Rt△ABD 中， AB2 = AD2 + BD2
即 AB2 = (AB -1)2 + 32 解得： AB = 5
【点睛】本题考察了勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理判定 △BCD为直角三角 形.
25. 如图 1，我们在 2019 年 10 月的日历中发现一种“结构 ”，现定义一种“结构 ”运算，(a, b, c, d ) = bd- ac - 2a ， 可以发现，对于符合结构要求的四个数，运算结果是相同的.
如10× 16 - 9 × 15 - 2 × 9 = 19 × 25 -18 × 24 - 2 × 18 = 7 ，
（1）如图 2 ，将正整数依次填入 5 列的长方形数表中，探究不同位置的“结构 ”运算，可以发现相应的“结构 ”运
算结果也是一个定值，则这个定值为 .
（2）若将正整数依次填入 k 列的长方形数表中(k ≥ 3) ，继续前面的探究，可以发现相应“结构 ”运算结果是与列
数 k 有关的定值，请用k 表示出这个定值，并证明你的结论.
【答案】（1）5 （2）k；证明见解析
【解析】
【分析】（1）设a = x ，则b = x +1 ， c = x + 4 ， d = x + 5， 然后根据多项式乘多项式运算法则，代入进行计算 即可；
（2）设a = m ，则b = m +1 ，c = m + k-1 ，d = m + k ，然后根据多项式乘多项式运算法则，代入进行计算即可
得出规律.
【小问 1 详解】
解：设a = x ，则b = x +1 ， c = x + 4 ， d = x + 5 ， ∴ (a, b, c, d ) = bd- ac - 2a
= (x +1)(x + 5)一 x (x + 4)一 2x = x2 + 6x + 5 一 x2 一 4x 一 2x
= 5 ；
故答案为：5 . 【小问2 详解】
解：“结构 ”运算的结果为 k，理由如下：
设a = m ，则b = m +1 ， c = m + k 一1 ， d = m + k ， ∴ (a, b, c, d ) = bd 一 ac 一 2a
= (m +1)(m + k )一 m (m + k 一1)一 2m = m2 + km + m + k 一 m2 一 km+ m 一 2m = k .
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算.
26. 如图，在 △ABC 中， 上BAC = 90O ， AB = AC ，D 是 BC 上的一点（不含端点， BD > CD ），点 E 与点 B 关于 AD 对称．连接 BE 交 AC 于点 F，过点 C 作直线 l 丄 AC 交射线 AE 于点 P .
（1）依据题意补全图；
（2）若 上CAD = 25O ，求 上APC 的值；
（3）求证： AF + CP = AP .
【答案】（1）见解析 （2） 50O
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质可得 上ADB = 70O ， 上BAD = 65O ，根据对称的性质可得 上BAE = 2上BAD = 130O ，求得 上CAP = 上BAE 一 90O = 40O ，根据三角形的内角和定理即可求得；
（3）延长 PC ，和 AD 的延长线交于点 G ，根据全等三角形判定和性质可得 AF = CG ， 上AGP = 上AFB ，等量 代换可得 上AGP = 上PAG ，根据等角对等边可得 AP = PG ，即可求得.
【小问 1 详解】
∵ ∴ ∵
∴
上BAC = 90O ， AB = AC 上ABC = 上ACB = 45O
上CAD = 25O
上ADB = 70O 上BAD = 65O
,
∵点 E 与点 B 关于 AD 对称
∴ 上BAE = 2上BAD = 130O
∴ 上CAP = 上BAE — 90O = 40O
【小问 2 详解】
在 Rt△ACP中， 上APC = 90O — 上CAP = 50O 【小问 3 详解】
如图：延长 PC ，和 AD 的延长线交于点 G
∵ AB = AC = CH ， 上BAC = 上ACP = 90O ， AG 丄 BE ∴ 上GAF = 90O — 上AFB ， 上ABF = 90O — 上AFB
∴ 上GAF = 上ABF ∴ △BAF≌△ACG
∴ AF = CG ， 上AGP = 上AFB
∵ 上GAF = 90O — 上AFB ， 上GAF = 90O — 上BAG ∴ 上AFB = 上BAG = 上AGP
∴ 上AGP = 上PAG ∴ AP = PG
故 AF + CP = AP
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对称的性质，全等三角形判定和性质，等角对等边 等，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质构建全等三角形.
27. 在平面直角坐标系xOy 中，若点 P 和点P1 关于y 轴对称，点 P1 和点P2 关于直线 l 对称，则称点P2 是点 P 关于 y 轴、直线l 的“二次对称点 ”.
（1）若点 P(—2, 0) ，直线 l 是经过(0,1) 且平行于 x 轴的一条直线，则点 P 的“二次对称点 ”的坐标为 ； （2）如图 1，点 A(a, 0) 是 x 轴正半轴上的一个动点，直线 l 经过原点且与 x 轴正半轴的夹角为 30 ，若点 B 是点 A 关于y 轴，直线l 的“二次对称点 ”，求线段 AB 的长度（用含 a 的代数式表示）；
（3）如图 2 ， T (t, 0)(t > 0) 是 x 轴上的动点，线段RS 经过点 T，且点 R、点 S 的坐标分别是 R(t,1) ， S (t, —2)， 直线 l 经过(0,1) 且与 x 轴夹角为 60 ° , 在点 T 的运动过程中，若线段 RS 上存在点 N，使得点N, 是点 N 关于y 轴， 直线 l 的“二次对称点 ”，且点N, 在y 轴上，则点 N, 纵坐标y 的取值范围是 .
【答案】（1） (2, 2)
（2） ·3a
（3）满足条件的N, 纵坐标的取值范围是—5 ≤ yN, < 1 .
【解析】
【分析】（1）根据题目中的定义进行求解即可；
（2）点 A 关于y 轴的对称点为点 C，点 C 关于直线l 的对称点为点 B ，连接BO ，过点 B 作 BD 丄 x 轴于点 D ，证
明 △BOC 为等边三角形，根据等边三角形性质得出 a ，BD = OB2—OD2 = 3 a ，得出 B 的坐 标为 根据两点间距离公式求出结果即可；
（3）当点 N 与点 S 重合，且 N, 在y 轴上时，连接 SN,, 交直线 l 于点 K，交 y 轴于点 J，连接KN, ，设直线 l 与 x 轴，交于点 D ，交y 轴于点 C，求出此时点 N, 的纵坐标为 —5； 当点 T 与原点重合时，N 与(0,1) 重合，此时点 N,，
N,, 都与 (0,1) 重合，此时点 N, 的纵坐标为 1，结合图象即可得出答案.
【小问 1 详解】
解： ∵点 P(—2, 0)，
∴点 P 关于y 轴的对称点为(2, 0)，
∵直线 l 是经过(0,1) 且平行于 x 轴的一条直线，
∴点(2, 0) 关于直线 l 的对称点为： (2, 2) ， ∴点 P 的“二次对称点 ”的坐标为 (2, 2) . 故答案为： (2, 2) .
【小问 2 详解】
解：如图，点 A 关于y 轴的对称点为点 C，点 C 关于直线l 的对称点为点 B，连接BO ，过点 B 作 BD 丄 x 轴于点 D，
∵ A(a, 0) 是 x 轴正半轴上的一个动点， ∴C(—a, 0) ，
∴ OC = a ，
∵直线 l 经过原点且与 x 轴正半轴的夹角为 30O ， ∴ 上COM = 上AON = 30O ，
∵点 C 与点 B 关于直线 l 对称，
∴ OC = OB = a ， 上BOM = 上COM = 30O ， ∴ 上BOC = 60O ，
∴ △BOC 为等边三角形， ∵ BD 丄 x 轴，
∴点 B 的坐标为 ，
∴线段 AB 的长度为
【小问 3 详解】
解：当点 N 与点 S 重合，且N, 在y 轴上时，连接SN,, 交直线 l 于点 K，交y 轴于点 J，连接KN, ，设直线 l 与 x 轴，
交于点 D，交y 轴于点 C，如图所示；
∵ 上CDO = 60O ， OD ⅡKJ ， ∴ 上CKJ = 上CDO = 60O ，
∴ 上CKN = 180O — 60O = 120O ， ∵ N 与 N 关于直线 l 对称，
∴ 上CKN = 上CKN = 120O ， ∴ 上NKJ = 120O — 60O = 60O ， ∵ 上CJK = 上NJK = 90O ，
∴ 上KCJ = 90O — 上CKJ = 30O ， 上KNJ = 90O — 上NKJ = 30O ， ∴ 上KCJ = 上KNJ ，
∴ KC = KN ， ∵ KJ 丄 CN ，
∴ NJ = JC = 1— (—2) = 3 ， ∴ ON = OJ + JN = 2 + 3 = 5 ， ∴此时点 N 的纵坐标为 —5；
当点 T 与原点重合时，N 与(0,1) 重合，此时点 N ， N 都与 (0,1) 重合，此时点 N 的纵坐标为 1 ，如图所示：
根据题意可知， t > 0 ，观察图象可知，满足条件的N 纵坐标的取值范围是 —5 ≤ yN < 1 .
【点睛】本题主要考查了了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，新定义问题，两点间距离公式， 解题的关键是理解题意，数形结合，根据题意画出图形