八年级数学开学摸底考（北师大版）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

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（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义对各项进行判断即可．
【详解】解：A、 ，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 是最简二次根式，故此选项正确；
D、
，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的问题，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．下列各数： ，
，
﹣3，
，0.00101，π﹣3.14，
C．4 个
，无理数的个数是（
）
A．2 个
B．3 个
D．5 个
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整
数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此判定即可．
【详解】在所列各数中无理数有
3，
，π﹣3.14 这 4 个．
故选 C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以
及像 0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．下列不能构成直角三角形三边长的是 （
A．1、2、3 B．6、8、10
）
C．3、4、5
D．5、12、13
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【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三
边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】解：A、
题意；
，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长，故该选项符合
B、
，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
C、
，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意．
D、
故选：A．
4．有甲、乙两组数据，已知甲组数据的方差为 0.5，乙组数据的方差为 0.2，那么甲、乙两组数据的波动程
度是（
）
A．甲组数据的波动比较大
B．乙组数据的波动比较大
C．甲、乙两组数据的波动程度相同
D．甲、乙两组数据的波动程度无法比较
【答案】A
【分析】根据方差越小数据越稳定，根据甲，乙，两组数据的方差选择适合的选项即可．
【详解】解：∵方差越小数据越稳定，且 0.2＜0.5，
所以甲组数据波动比较大，
故选：A．
【点睛】本题考查利用方差判断稳定性，能够熟练掌握利用方差判断稳定性的方法是解决本题的关键．
5．下列命题的逆命题是真命题的为（
A．如果 ，则
）．
B．直角都相等
D．若 ，则
，
C．两直线平行，同位角相等
【答案】C
【分析】先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解；A、如果 a＞0，b＞0，则 a+b＞0；逆命题是：如果 a+b＞0，则 a＞0，b＞0，是假命题；
B、直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
C、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D、若 a=6，则|a|=|6|的逆命题是若|a|=|6|，则 a=6，是假命题．
故选：C．
【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个
命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2 / 17

6．如图，已知
，
，
，则
等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和，可以得到
的关系，然后即可求得
和
的和，再根据三角形内角和，可以得到
和
的度数．
【详解】解：连接
，
，如下图所示，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．如图，已知直线
与
图象交点的横坐标是
，则关于 x 的不等式
解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】观察图象在 轴上方，直线 的图象在直线 的图象的上方部分对应的自变量的取值即为不等
3 / 17

式
解集；
【详解】解：观察图象可知：图象在 轴上方，直线 的图象在直线 的图象的上方部分对应的自变量
的取值即为不等式 解集，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与不等式、两直线相交等知识，解题的关键是学会利用图象法解决自变量的
取值范围问题．
8．《孙子算经》中有这样一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不
足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余
尺．将绳子对折再量长木，长
木还剩余 尺，问木长多少尺？设木长 尺、绳子长 尺，下列方程组正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，找到等量关系，列出方程，即可．
【详解】设木长 尺、绳子长 尺，
∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余
尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余 尺，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组运用．
9．若正比例函数 的图象经过第二、第四象限，常数 k 和 b 互为相反数，则一次函数
在
平面直角坐标系中的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正比例函数的性质确定 k 的符号，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
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【详解】解：∵正比例函数
的图象在第二、第四象限，
∴
，
∵常数 k 和 b 互为相反数，
∴
，
∴一次函数
故选：D．
在平面直角坐标系中的图象在第二、三、四象限，
【点睛】本题考查正比例函数和一次函数的图象．抓住系数与图象的关系是解题关键．
10．学校提倡“低碳环保，绿色出行”、小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出
发、沿同一条路匀速新进．如图所示、
系，下列结论：①小明和小亮两家相距
和
分别表示两人到小亮家的距离
和时间
的关
；②小亮比小明早到 0.1 小时；③小明步行的速度为每小
时
，④小明和小亮在距离学校
处相遇，其中正确的结论有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．由图逐项判断，用待定系数法求出
的函数解析式，再令 解方程求出相遇时间，再判断即可．
和
【详解】解：由图知：小明和小亮两家相距
故①，②正确；
，小亮比小明早到
小时，
小明步行的速度为每小时
，故③正确，
设
则
的函数解析式为
，
，
解得
，
的函数解析式为
的函数解析式为
，
；
设
则
，
解得
，
的函数解析式为
；
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令
，即
，
解得
，
出发
小时后两人相遇，此时小明和小克在距离学校
处．
故④正确．
故答案为：D．
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11．有一组数据如下：2，3， ，5，6，它们的平均数是 4，则 的值为
【答案】4
．
【分析】根据算术平均数的计算公式
【详解】解：由题意得：
（2+3+a+5+6）÷5=4，
解得：a=4．
（x +x +…+xn）列出关于 a 的方程，解方程即可求解．
1 2
故答案为：4．
【点睛】本题考查了算术平均数的计算方法，掌握计算公式是解决问题的前提．
12．已知一次函数
【答案】2
的图象经过点
，
，则
．
【分析】根据一次函数
可计算出 的值．
的图象经过点
，
，可以求得 、 的值，然后即
【详解】解： 一次函数
的图象经过点
，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出 、 的值．
13．关于 a、b 的二元一次方程组
的解是
．
【答案】
/
【分析】利用加减法解方程组即可．
【详解】解：
②×2＋①得 13a＝26，
解得 a＝2，
6 / 17

把 a＝2 代入①得 3×2＋2b＝12，
解得 b＝3，
∴方程组解的解是
．
故答案为：
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入法和加减法是解题的关键．
14．已知 ，则
【答案】
．
【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握非负数的性质．
根据非负数的性质求出 、 的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：
，
，
，
，
解得：
，
，
故答案为：
．
15．如图，在平面直角坐标系中，
动点，则 的最小值为
，
是直线
上的两点，点 P 是 x 轴上的一个
．
【答案】
【分析】本题考查了线段和最小值问题，两点间连线段最短，点关于坐标轴对称，勾股定理；作 关于
轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，此时 取得最小值， ，由勾股定理即可
求解；利用两点间连线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键．
【详解】解：作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于
，
7 / 17

由对称得：
此时
，
，
取得最小值，
，
，
故答案：
．
三、解答题：本题共 7 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（8 分）计算
（1）
（2）
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘除法则和完全平方公式计算，然后合并即可．
【详解】解：（1）
=
=
=
；
（2）
=
8 / 17

=
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，
然后合并同类二次根式．
17．（10 分）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组．
（1）方程组利用代入消元法求解即可
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：
，
由①得：
，
将③代入②得：
，即
，
解得：
把
，
代入①得：
，
则方程组的解为
；
（2）解：
，
得：
，
解得：
把
，
代入①得：
，
则方程组的解为
．
18．（10 分）已知
三顶点在如图所示的平面直角坐标系中的网格点位置．
9 / 17

(1)写出
(2)若
，
，
三点的坐标；
各顶点的纵坐标都不变，横坐标都乘以
，在同一坐标系中描出对应的点
， ， ，并
依次连接这三个点得
；
，
(3)求
的面积．
，
【答案】(1)
(2)见解析；
；
(3)
的面积为 3.5．
【分析】（1）根据点在坐标系中的位置可直接读出点的坐标；
（2）纵坐标都不变，横坐标都乘以−1，得
，
，
，然后依次连接即
可得；
（3）在方格点中利用正方形的面积减去三个三角形的面积即可得．
【详解】（1）解：根据点在坐标系中的位置可得：
（2）解：纵坐标都不变，横坐标都乘以−1，可得：
，
，
；
，
，
，然后依次连接，
即为所求；
（3）解：
的面积为：
的面积为 ．
，
∴
【点睛】题目主要考查坐标与图形变换，点的变换等，理解题意，熟练掌握点的变换是解题关键．
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19．（10 分）棉花是纺织工业的主要原料，在我国是仅次于粮食的第二大农作物．棉花是由一根很细小的纤
维组成，纤维长度是衡量棉花品质的重要指标，纤维长度越大，棉花质量越好．现从某农场种植的 A，
B 两个品种的棉花中各随机抽取 20 束棉花，测量每束棉花的纤维长度（单位：
行整理、描述和分析，下面给出了部分信息，抽取的 A 品种棉花的纤维长度：
），并对相关数据进
抽取的 B 品种棉花的纤维长
度条形统计图如图：
A，B 两个品种棉花纤维长度统计表
品种 平均数 中位数 众数
28
28
28
27
根据上述信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并求出
(2)估计 品种 束棉花中纤维长度达到
(3)根据以上数据分析，从某一个方面评价
【答案】(1)见解析，
(2)
(3)A 品种棉花的质量更好，见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得 a、b 的值；
（2）用 乘样本中纤维长度达到 及其以上的数量所占比例即可；
的值；
及其以上的数量；
两个品种棉花的质量谁更好？
，
束
（3）从中位数、众数和平均数的对比可得答案．
【详解】（1）解：补全条形统计图如图所示：
A 品种棉花的纤维长度
出现的次数最多，故众数
，
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B 品种棉花的纤维长度的中位数为：
，故
；
（2）解：
（束），
答：估计 B 品种 1600 束棉花中纤维长度达到
（3）解：A 品种棉花的质量更好．
及其以上的数量为 800 束；
理由：这两个品种的棉花的平均数相同，但 A 品种棉花的中位数和众数均高于 B 品种，
故 A 品种棉花的质量更好．
【点睛】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数，掌握中位数、众数的意义和计算方法是正确
解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
20．（12 分）某商场销售
销售总额为 840 元；如果售出 种 10 件， 种 15 件，销售总额为 660 元．
(1)求 两种商品的销售单价．
(2)经市场调研， 种商品按原售价销售，可售出 40 件，原售价每降价 1 元，销售量可增加 10 件；
商品的售价不变， 种商品售价不低于 种商品售价．设 种商品降价 元，如果 两种商品销售量
相同，求 取何值时，商场销售 两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) 的销售单价为 元、 的销售单价为
(2)当 时，商场销售 两种商品可获得总利润最大，最大利润是
两种商品，每件进价均为 20 元．调查发现，如果售出 种 20 件， 种 10 件，
种
元
元．
【分析】（1）设 的销售单价为 元、 的销售单价为 元，根据题中售出 种 20 件， 种 10 件，销售
总额为 840 元；售出 种 10 件， 种 15 件，销售总额为 660 元列方程组求解即可得到答案；
（2）设利润为 ，根据题意，得到
，结合二次函数性质及题中限制条件
分析求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设 的销售单价为 元、 的销售单价为 元，则
，解得
，
答： 的销售单价为 元、 的销售单价为 元；
（2）解：
种商品售价不低于 种商品售价，
，解得 ，即 ，
设利润为 ，则
，
，
在
时能取到最大值，最大值为
，
当
时，商场销售 两种商品可获得总利润最大，最大利润是
元．
【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，
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根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．
21．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，4），C 是第一象限内一点，且 BC∥x 轴．
（1）连接 AC，当 S△ABC＝6 时，求点 C 的坐标；
（2）设 D 为 y 轴上一动点，连接 AD，CD，作∠BCD、∠DAO 的平分线相交于点 P，在点 D 的运动
过程中，试判断等式∠CPA＝2∠CDA 是否始终成立，并说明理由．
【答案】（1）C（3，4）；（2）等式∠CPA＝2∠CDA 始终成立；理由见解析．
【分析】（1）利用三角形面积公式求得 BC 的长，即可求得 C 的坐标；
（2）利用角平分线的意义、三角形内角和定理以及直角三角形两锐角互余的关系计算证明即可．
【详解】解：（1）∵B（0，4），C 是第一象限内一点，且 BC∥x 轴，
∴OB＝4，
∵S△ABC＝ BC•OB＝6，
∴BC＝3，
∴C（3，4）；
（2）等式∠CPA＝2∠CDA 始终成立；理由如下：
连接 AC，如图所示：
∵AP 是∠OAD 的平分线，
∴∠DAP＝ ∠DAO＝ （90°﹣∠ADO）＝45°﹣ ∠ADO，
∵PC 是∠BCD 的角平分线，
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∴∠PCD＝ ∠BCD＝ （90°﹣∠BDC）＝45°﹣ ∠BDC，
在△PAC 中，∠CPA＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣（∠DAC +∠DAP+∠PCD +∠DCA）
＝180°﹣（∠DAC+ ∠DAO+ ∠BCD+∠DCA）
＝180°﹣（180°﹣∠ADC+45°﹣ ∠ADO+45°﹣ ∠BDC）
＝∠ADC+ （∠ADO+∠BDC）﹣90°
＝∠ADC+ （180°﹣∠ADC）﹣90°，
＝∠ADC﹣ ∠ADC
＝ ∠ADC，
∴2∠CPA＝∠CDA．
∴在点 D 的运动过程中，等式∠CPA＝2∠CDA 始终成立．
【点睛】本题考查平面直角坐标系和角平分线以及角度之间的关系，解题的关键是能够熟练的掌握三
角形面积的求解方法，利用相关定理寻找角与角之间的数量关系．
22．（13 分）如图，在平面直角坐标系中，直线
于点 和点 C，且与直线 交于点
与 y 轴交于点 A，直线 与 x 轴、y 轴分别交
．
(1)求直线 的解析式；
(2)若点 E 为线段
求点 G 的坐标；
(3)若在平面上存在点 H，使得以点
【答案】(1)
上一个动点，过点 E 作
轴，垂足为 F，且与直线 交于点 G，当
时，
为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 H 的坐标．
(2)
(3)
【分析】（1）先利用已知函数求出点 D 的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用两条直线的解析式表示出 两点的坐标，进而得出线段 的长，列出方程即可解答；
（3）分四边形 为平行四边形、四边形 为平行四边形、四边形 为平行四边形，三
或
或
种情形解答，先求得经过点 H 的解析式，再联立，解方程组即可求解．
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【详解】（1）解：
．
当
时，
，
设直线 的解析式为
，由题意得：
，
解得：
．
直线 的解析式为
．
（2）解：
轴，
的横坐标相同．
，则
设
．
E 为线段
上一个动点，
，
，
，
．
．
解得：
．
．
（3）解：如下图，当四边形
为平行四边形时，
令
令
，则
，
．
，
直线
直线
的解析式为：
．
，则
，
．
，
的解析式为：
．
15 / 17

．
解得：
．
．
如下图，当四边形
为平行四边形时，
，
直线
的解析式为
，
，
直线
当
的解析式为
，
，
时，
．
当四边形
为平行四边形时，如下图，
，
∴直线
∴直线
的解析式为
，
，
的解析式为：
，
当
时，
，
．
综上，存在点 H，使得以点
为顶点的四边形是平行四边形，点 H 的坐标为：
或
或
．
【点睛】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四
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边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答
本题的关键．
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