2025年中考复习数学第14讲 二次函数的应用（讲义，考点+11种题型（含4种解题技巧）)

这是一份2025年中考复习数学第14讲 二次函数的应用（讲义，考点+11种题型（含4种解题技巧）)，文件包含第14讲二次函数的应用讲义考点+11种题型含4种解题技巧原卷版docx、第14讲二次函数的应用讲义考点+11种题型含4种解题技巧解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共128页， 欢迎下载使用。
（思维导图+考点+11种题型（含4种解题技巧））
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc186031250" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc186031251" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc186031252" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc186031253" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc186031254" ►题型01 最大利润问题
\l "_Tc186031255" ►题型02 方案选择问题
\l "_Tc186031256" ►题型03 行程问题
\l "_Tc186031257" ►题型04 拱桥问题
\l "_Tc186031258" ►题型05 隧道通车问题
\l "_Tc186031259" ►题型06 喷水问题
\l "_Tc186031260" ►题型07 投球问题
\l "_Tc186031261" ►题型08 利用图像构建函数模型解决问题
\l "_Tc186031262" ►题型09 图形最大面积问题
\l "_Tc186031263" ►题型10 图形问题
\l "_Tc186031264" ►题型11 图形运动问题
01考情透视·目标导航
\l "_Tc186016241" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc186016242" 03考点突破·考法探究
1. 用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1）审：仔细审题，理清题意；
2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题；
5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.
\l "_Tc186016247" 04题型精研·考向洞悉
►题型01 最大利润问题
利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题.
1．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【答案】(1)y=−2x+80
(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元
(3)2
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为y=kx+b，
把x=12，y=56；x=20，y=40代入，得12k+b=5620k+b=40，
解得k=−2b=80，
∴y与x的函数表达式为y=−2x+80；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得w=x−10⋅y
=x−10−2x+80
=−2x2+100x−800
=−2x−252+450，
∴当x=25时，w有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得w=x−10−m⋅y
=x−10−m−2x+80
=−2x2+100+2mx−800−80m，
∴当x=−100+2m2×−2=50+m2时，w有最大值为−250+m22+100+2m50+m2−800−80m，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴−250+m22+100+2m50+m2−800−80m=392，
化简得m2−60m+116=0
解得m1=2，m2=58
当m=58时，x=−b2a=54,
则每盒的利润为：54−10−58S2
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）由题意知抛物线的顶点P6,4，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；
（2）令y=3可得x=3或x=9，故BC=6m，S1=AB·BC=18m2；再比较S1，S2的大小即可．
【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点P6,4，
设抛物线的函数表达式为y=ax−62+4，
把O0,0代入得0=a0−62+4，
解得：a=−19，
∴ y=−19x−62+4=−19x2+43x，
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；
（2）在y=−19x2+43x中，令y=3得：3=−19x2+43x；
解得x=3或x=9，
∴ BC=9−3=6m，
∴ S1=AB·BC=3×6=18m2，
∵ 18>122，
∴ S1>S2．
15．（2024·贵州黔南·模拟预测）贵州都匀是一座以河为伴、山水交融的“山水桥城”，大大小小的桥梁随处可见，被誉为“桥梁博物馆”．都匀市某石拱桥如图1，拱桥截面可视为抛物线的一部分，若拱顶到水面的距离为2m，水面宽度为4m，以水面与桥截面左侧的交点为原点，水面为横轴建立平面直角坐标系（如图2）．
(1)求桥拱所在抛物线的函数解析式．
(2)若水位下降1m，有一只宽为2m，高为2.4m的清洁船能否顺利通过该石拱桥？请说明理由．
(3)某相关部门要对石拱桥进行维护，为了安全，现将一块三角形形状的安全围布△CDE通过平移后遮住桥体（如图3）．已知C9,0，CD=7m，且tan∠ECD=43，tan∠CDE=1．若安全围布△CDE向桥拱所在抛物线方向平移a个单位长度后，桥体全部在安全围布△CDE内部（不包括边界），求a的取值范围．
【答案】(1)y=−12x2+2x
(2)能，理由见解析
(3)556≤a≤232
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当船从桥的正中间经过时，即x=1，y=−12x2+2x=1.5，当水面下降1米时，水面距离桥的距离为1+1.5=2.5（米）>2.4米，即可求解；
（3）当CE向左平移a个单位和抛物线相切时，则平移后的CE的表达式为：y=43(x+a)−12，联立上式和抛物线的表达式为：43(x+a)−12=−12x2+2x，则Δ=(23)2−4×12(−43a+12)=0，求出a=556；同理可得：DE的表达式为：y=−x+16，当DE向左平移a个单位和抛物线相切时，则平移后的DE的表达式为：y=−(x+a)+16，同理可得a=232，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：y=a(x−2)2+2，
将O(0,0)代入上式得：0=a(0−2)2+2，
则a=−12，
则抛物线的表达式为：y=−12(x−2)2+2=−12x2+2x；
（2）解：可以，理由：
当船从桥的正中间经过时，即x=1，y=−12x2+2x=1.5，
当水面下降1米时，水面距离桥的距离为1+1.5=2.5（米）>2.4米，
故清洁船能顺利通过该石拱桥；
（3）解：过点E作EF⊥CD于点F，
在△CEF中，tan∠ECD=43，tan∠CDE=1．
故设FE=FD=4x，则CF=3x，
则CD=7x=7，则x=1，
即FE=FD=4，则CF=3，
如图3，则点D、E的坐标分别为：(16,0)、(12,4)，
由点C、E的坐标得，直线CE的表达式为：y=43x−12，
当CE向左平移a个单位和抛物线相切时，
则平移后的CE的表达式为：y=43(x+a)−12，
联立上式和抛物线的表达式为：43(x+a)−12=−12x2+2x，
则Δ=(23)2−4×12(−43a+12)=0，
解得：a=556；
由点D、E的坐标得，
设DE的表达式为y=kx+b
把D(16,0)、E(12,4)，
DE的表达式为：y=−x+16，
当DE向左平移a个单位和抛物线相切时，
则平移后的DE的表达式为：y=−(x+a)+16，
联立上式和抛物线的表达式为：−(x+a)+16=−12x2+2x，
则Δ=9−4×(−12)×(a−16)=0，
解得：a=232；
故556≤a≤232．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的实际应用，平移性质，涉及到解直角三角形、二次函数的应用，分类求解是解题的关键．
16．（2024九年级上·全国·专题练习）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2米，且点P离地面的高度为3.75米．

数学建模
(1)在图1中，以B为原点，水平直线BC为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为y（米），该处离墙体AB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式；
问题解决
(2)为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点E，F在顶棚抛物线形骨架上，FG⊥AE于点G．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米．
①点E的坐标为______，AE的长为______；
②请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到0.1米．参考数据：17≈4.12）
【答案】(1)y=−116x2+14x+3.50≤x≤9；
(2)① 8,1.5，217；②9.3米
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据题意得，抛物线的顶点P的坐标为2,3.75，设y与x之间的函数关系式为y=ax−22+3.75，然后用待定系数法即可求解；
（2）①当y=1.5时，1.5=−116x2+14x+3.5，解得：x=8即可求出E8,1.5，再用两点之间的距离公式求出AE；
②过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FM⊥BC于点M，交AE于点N，求出AE所在直线的函数表达式y=−14x+3.5，设点F的横坐标为m，则FN=−116m2+12m=−116m−42+1，当m=4时，FN最大=1，再根据sin∠HAE=sin∠FNG=HEAE=8217=41717，得出FG=41717FN，最后根据线段和差即可求解；
【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点P的坐标为2,3.75，
∴设y与x之间的函数关系式为y=ax−22+3.75，
由题意得，点A的坐标为0,3.5，
将A0,3.5代入y=ax−22+3.75，
得4a+3.75=3.5，
解得：a=−116，
∴y=−116x−22+3.75=−116x2+14x+3.5，
即y与x之间的函数关系式为y=−116x2+14x+3.50≤x≤9，
（2）解：①由（1）得y=−116x2+14x+3.5，
当y=1.5时，1.5=−116x2+14x+3.5，
解得：x=8或x=−4（舍去），
∴E8,1.5，
∵A0,3.5，
∴AE=0−82+3.5−1.52=217，
故答案为：8,1.5，217；
②过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FM⊥BC于点M，交AE于点N，

设AE所在直线的函数表达式为y=kx+b，
将A0,3.5,E8,1.5分别代入y=kx+b，
得b=3.5,8k+b=1.5，
解得k=−14b=3.5，
∴AE所在直线的函数表达式为y=−14x+3.5，
设点F的横坐标为m，
∵点F在拋物线y=−116x2+14x+3.5的图象上，
∴Fm,−116m2+14m+3.5，Nm,−14m+3.5，
∴FN=−116m2+14m+3.5−−14m+3.5=−116m2+12m=−116m−42+1，
∵−1165，即可得出结论；
（3）设OB=x，则BC=16−2x，根据矩形的性质得出AD=BC=16−2x，AB=DC=−18x2+2x，设l=AB+AD+DC，进而表示出l的长，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O点为原点，
∴点M16,0，顶点P8,8，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
把点M16,0，点P8,8代入得：
64a+8b=8256a+16b=0
解得a=−18b=2
∴抛物线的解析式为y=−18x2+2x
∵OM=16，M16,0，
∴自变量x的取值范围为：0≤x≤16；
（2）解：当x=8−2.5−1=92时，y=−18×922+2×92=20732>5，
∴能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆．
（3）解：设OB=x，则BC=16−2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=16−2x，AB=DC=−18x2+2x
设l=AB+AD+DC，则l=−14x2+4x+16−2x
∴l=−14x2+2x+16
∵−144.2m，
∴这辆货车的高度不否符合规定．
20．（2024·河南周口·二模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长OA=12m，宽OB=4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−16x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为172m．为安全起见，隧道正中间有宽为0.4m的隔离带．
(1)求b，c的值，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】(1)b=2，c=4，拱顶D到地面OA的距离为10m
(2)这辆货车能安全通过
(3)两排灯的水平距离最小是43m．
【分析】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为1.8,0或10.2,0，然后计算自变量为x=1.8或x=10.2时的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；
（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
【详解】（1）解：根据题意得B0,4，C3,172，
把B0,4，C3,172代入y=−16x2+bx+c得
c=4，172=−16×32+3b+c，解得c=4b=2
∴抛物线的解析式为y=−16x2+2x+4=−16x−62+10，
∴D6,10，
∴拱顶D到地面OA的距离为10m．
（2）解：由题意得隧道中每侧行车道的宽度为12−0.4÷2=5.8m，
∴货运汽车最外侧与地面OA的交点为1.8,0或10.2,0，
当x=1.8或x=10.2时，y=7.06≥6，
∴这辆货车能安全通过．
（3）解：令y=8，
则−16x−62+10=8，
解得x1=6+23，x1=6−23，
则x1−x2=43，
∴两排灯的水平距离最小是43m．
21．（2023·广东深圳·模拟预测）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．
+
【答案】(1)原计划每天修20米
(2)①y=−0.3x2+10.8；②5.5米；③达标，理由见解析
【分析】（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）①由题意可得E−4,0,F4,0,A−6,0,B6,0,M0,10.8，然后运用待定系数法解答即可；②车的宽度为4米，令x=4时求得y=6，然后再减去0.5即可解答；③如图：由CE，DF高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，令y=0.3可解答点G的横坐标为35，然后求出FG的长度即可解答．
【详解】（1）解：设原计划每天修x米
则根据题意可得：2400x−1400x+2400−1400x+5=10
解得：x=−25或x=20
经检验，x=20是分式方程的解．
答：原计划每天修20米．
（2）解：①根据题意可得：C−4,0,D4,0,A−6,0,B6,0,M0,10.8
设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c
由题意可得：0=36a−6b+c0=36a+6b+c10.8=c，解得：a=−0.3b=0c=10.8
所以抛物线的函数表达式为y=−0.3x2+10.8
②∵车的宽度为4米，车从正中通过，
∴令x=4时，y=−0.3×16+10.8=6，
∴货车安全行驶装货的最大高度为6−0.5=5.5（米）．
③如图：由CE，DF高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，
令y=0.3，则有：0.3=−0.3x2+10.8，解得：x=35（舍弃负值）
∴人行道台阶的宽度为：FG=35−4≈5.92−4=1.92>1.25
∴人行道宽度设计达标．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键．
►题型06 喷水问题
22．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置OA的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平距离ND为0.3米．点C到水池外壁的水平距离CE=0.6米，求步行通道的宽OE．（结果精确到0.1米）参考数据：2≈1.41

【答案】3.2米
【分析】先以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A0,2，B2,3.6，设设抛物线的解析式为y=ax−22+3.6，把A0,2代入，求得a=−0.4，即1.8=−0.4x−22+3.6，再求出点D的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，

由题意知：A0,2，B2,3.6，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为y=ax−22+3.6，
把A0,2代入，得2=a0−22+3.6，
解得a=−0.4，
∴抛物线的解析式为y=−0.4x−22+3.6，
令y=1.8，则1.8=−0.4x−22+3.6，
解得：x=2±322，
∴D2+322,1.8，
∴OE=xD−ND−CE=2+322−0.3−06≈3.2 (米)，
答：步行通道的宽OE的长约为3.2米．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题的关键．
23．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为ℎ（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
(1)若ℎ=1.5，EF=0.5m；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；
(2)若EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出ℎ的最小值．
【答案】(1)①y=−18x−22+2,6m；②(2,0)；③2≤d≤23−1
(2)6532
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线OB≤d，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点，
设y=a(x−2)2+2．
又∵抛物线经过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
∴a=−18．
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=−18(x−2)2+2．
当y=0时，−18(x−2)2+2=0，
∴x1=6，x2=−2（舍去）．
∴喷出水的最大射程OC为6m．
图1
②∵对称轴为直线x=2，
∴点(0,1.5)的对称点的坐标为(4,1.5)．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
即点B是由点C向左平移4m得到，则点B的坐标为(2,0)．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点F时，
−18(x−2)2+2=0.5．
解得x=2±23，
∵x>0，
∴x=2+23．
当x>0时，y随着x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+23．
∵当0≤x0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+23．
∵DE=3，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为(2+23)−3=23−1．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是2≤d≤23−1．
（2）ℎ的最小值为6532．
由题意得A(2,ℎ+0.5)是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为y=a(x−2)2+ℎ+0.5．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴y=4a+ℎ+0.5=ℎ
解得a=−18
∴上边缘抛物线解析式为y=−18(x−2)2+ℎ+0.5
∵对称轴为直线x=2，
∴点(0,ℎ)的对称点的坐标为(4,ℎ)．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴下边缘抛物线解析式为y=−18(x+2)2+ℎ+0.5．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点Dm,0，Em+3,0，Fm+3,−18(m+3−2)2+ℎ+0.5，
∵D在下边缘抛物线上，
∴−18(m+2)2+ℎ+0.5=0
∵EF=1
∴−18(m+3−2)2+ℎ+0.5=1
∴−18(m+3−2)2+ℎ+0.5− −18(m+2)2+ℎ+0.5=1，
解得m=2.5，
代入−18(m+2)2+ℎ+0.5=0，得ℎ=6532．
所以ℎ的最小值为6532．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
24．（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax−ℎ2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)y=−0.1x−52+3.2
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点5,3.2，设抛物线的表达式为y=ax−52+3.2，将点P0,0.7，代入即可求解；
（2）将y=1.6代入（1）的解析式，求得x的值，进而求与点3,0的距离即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为5,3.2，
设抛物线的解析式为y=ax−52+3.2，
将点0,0.7代入，得0.7=25a+3.2，
解得a=−0.1，
∴抛物线的解析式为y=−0.1x−52+3.2，
（2）由y=−0.1x−52+3.2，令y=1.6，
得1.6=−0.1x−52+3.2，
解得x1=1,x2=9，
∵爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
∴当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为3−1=2(m)，或9−3=6(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
25．（2024·广西南宁·三模）美丽邕城四季常青，这与南宁市重视城市绿化密不可分，市区很多公园广场都安装有绿地喷淋系统．现准备在某草坪上安装一个自动喷水装置，其示意图如图1，喷水装置喷射出来的水流可以近似的看成抛物线，点A、M在抛物线上，A为出水口，M为水流与地面的交点．如图2，若水流距离地面的高度y（单位m）与水流距离出水口的水平距离x（单位m）之间具有函数关系：y=13x−12+34．
(1)自动喷水装置喷水口距离地面的高度OA=_____m；
(2)如图1，该自动喷水装置能旋转240°，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积（结果保留π）；
(3)如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道l，为行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理？
【答案】(1)512；
(2)它能喷灌的草坪面积为256πm2；
(3)喷水装置安装位置不合理，过程见解析．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，二次函数的应用等．
（1）当x=0时，求出y的值即可；
（2）令y=0求出x的值，根据扇形的面积公式求解即可．
（3）连接BC，过O作OD⊥BC于点D，求出∠BOD=∠COD=60°，在Rt△OBD中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：当x=0时，y=−13+34=512，
故答案为：512；
（2）当y=0时，−13x−12+34=0，
解得：x=52或x=−12（舍去），
∴240×2.52π360=256π，
答：它能喷灌的草坪面积为256πm2；
（3）连接BC，过O作OD⊥BC于点D，
则BD=CD，∠BOD=∠COD= 3602−240°2=60°，
在Rt△OBD中，cs∠BOD=ODOB，
∴OD=OBcs∠BOD=52×12=1.25>1，
∴喷水装置安装位置不合理．
26．（2024·湖北武汉·二模）某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径CD=8m，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为32m处达到最高258m．
(1)求图1中右边抛物线的解析式；
(2)计划在图1中的线段OD上的点B处竖立一座雕像，雕像高BE=98m，若想雕像不碰到水柱，请求出线段OB的取值范围；
(3)圆形水池的直径为12m，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线y=2512x上，当喷出的抛物线水柱最大高度为254m时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由．
【答案】(1)y=−12x−322+258
(2)0