2025年中考复习数学第13讲 二次函数的图像与性质（讲义，4考点+3命题点19种题型（含3种解题技巧）)

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc186016554" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc186016555" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc186016556" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc186016557" 考点一 二次函数的相关概念
\l "_Tc186016558" 考点二 二次函数的图像与性质
\l "_Tc186016559" 考点三 二次函数与各项系数之间的关系
\l "_Tc186016560" 考点四 二次函数与方程、不等式
\l "_Tc186016561" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc186016562" 命题点一 二次函数的图像与性质
\l "_Tc186016563" ►题型01 根据二次函数解析式判断其性质
\l "_Tc186016564" ►题型02 根据二次函数的图像与性质求解
\l "_Tc186016565" ►题型03 求二次函数解析式
\l "_Tc186016566" ►题型04 画二次函数的图像
\l "_Tc186016567" ►题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质
\l "_Tc186016568" ►题型06 二次函数的平移变换问题
\l "_Tc186016569" ►题型07 二次函数的对称变换问题
\l "_Tc186016570" ►题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
\l "_Tc186016571" ►题型09 二次函数的最值问题
\l "_Tc186016572" ►题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
\l "_Tc186016573" ►题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
\l "_Tc186016574" ►题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
\l "_Tc186016575" 命题点二 二次函数的图像与各项系数之间的关系
\l "_Tc186016576" ►题型01 二次函数的图像与各项系数符号
\l "_Tc186016577" ►题型02 根据二次函数的图像判断式子符号
\l "_Tc186016578" ►题型03 函数图像综合
\l "_Tc186016579" 命题点三 二次函数与方程、不等式
\l "_Tc186016580" ►题型01 已知一元二次方程根的分布情况求参数
\l "_Tc186016581" ►题型02 二次函数与坐标系交点问题
\l "_Tc186016582" ►题型03 二次函数与方程、不等式
\l "_Tc186016583" ►题型04 二次函数与三角形相结合的应用方法
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
\l "_Tc185519253" 03考点突破·考法探究
考点一 二次函数的相关概念
二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数).
二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时，
2)当c＝0时，
3)当b＝0且c＝0时，
二次函数的常见表达式：
1．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y=2x2B．y=x+32−x2
C．y=x2+2x−1D．y=xx−1
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可．
【详解】A. y=2x2是反比例函数，不符合题意；
B. y=x+32−x2=6x+9，是一次函数，不符合题意；
C. y=x2+2x−1，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
D. y=xx−1=x2−x是二次函数，符合题意
故选：D．
2．（2023·北京·模拟预测）线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，反比例函数关系B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系D．一次函数关系，反比例函数关系
【答案】C
【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
【详解】解：由题意，得
y=4t，属于正比例函数关系，
S=π(5−t)2，属于二次函数关系，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
3．（2024·山东菏泽·一模）若二次函数y=m+2x2−mx+m2−2m−8经过原点，则m的值为（ ）
A．−2B．4C．−2或4D．无法确定
【答案】B
【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．
由题意二次函数的解析式为：y=m+2x2−mx+m2−2m−8知m+2≠0，则m≠−2，再根据二次函数y=m+2x2−mx+m2−2m−8的图象经过原点，把(0,0)代入二次函数，解出m的值．
【详解】解：∵二次函数的解析式为：y=m+2x2−mx+m2−2m−8，
∴m+2≠0，
∴m≠−2，
∵二次函数y=m+2x2−mx+m2−2m−8的图象经过原点，
∴m2−2m−8=0，
∴m=4或−2，
∵m≠−2，
∴m=4．
故选：B．
4．（2023·四川南充·一模）点Pa,9在函数y=4x2−3的图象上，则代数式2a+32a−3的值等于 ．
【答案】3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出4a2=12，将其代入(2a+3)(2a−3)=4a2−9中即可求出结论．
【详解】解：∵点P(a,9)在函数y=4x2−3的图象上，
∴9=4a2−3，
∴4a2=12，
则代数式(2a+3)(2a−3)=4a2−9=12−9=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
考点二 二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质
二、二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
补充：
① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.
③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.
⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
2）二次函数图象的对称变换
1．（2024·广东·中考真题）若点0,y1,1,y2,2,y3都在二次函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y3>y2>y1B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y3>y1>y2
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线x=0），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数y=x2的对称轴为y轴，开口向上，
∴当x>0时， y随x的增大而增大，
∵点0,y1,1,y2,2,y3都在二次函数y=x2的图象上，且0y1，
故选∶A．
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y=x+12−3B．y=x+12−2C．y=x−12−3D．y=x−12−2
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为y=x2+2x−2，再把y=x2+2x−2化为顶点式即可．
【详解】解：抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，
则抛物线变为y=x2+2x−2，
∴y=x2+2x−2化成顶点式则为 y=x+12−3，
故选：A．
3．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数y=x2−2x−1≤x≤t−1，当x=−1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0