2025年中考数学复习第04讲 二次根式（讲义，2考点+2命题点12种题型（含6种解题技巧）)

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc182990808" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc182990809" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc182990810" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc182990811" 考点一 二次根式的相关概念
\l "_Tc182990812" 考点二 二次根式的性质与化简
\l "_Tc182990813" 考点三 二次根式的运算
04题型精研·考向洞悉 \l "_Tc182990814"
\l "_Tc182990815" 命题点一 二次根式的性质与化简
\l "_Tc182990816" ►题型01 二次根式有意义的条件
\l "_Tc182990817" ►题型02 与二次根式有关的开放性试题
\l "_Tc182990818" ►题型03 利用二次根式的性质化简
\l "_Tc182990819" ►题型04 二次根式与数轴
\l "_Tc182990820" 命题点二 二次根式的运算
\l "_Tc182990821" ►题型01 应用乘法公式求二次根式的值
\l "_Tc182990822" ►题型02 最简二次公式的判断
\l "_Tc182990823" ►题型03 分母有理化
\l "_Tc182990824" ►题型04 二次根式的混合运算
\l "_Tc182990825" ►题型05 二次根式估值
\l "_Tc182990826" ►题型06 与二次根式有关的新定义问题
\l "_Tc182990827" ►题型07 与二次根式有关的规律探究
\l "_Tc182990828" ►题型08 二次根式的应用
01考情透视·目标
02知识导图·思
03考点突破·考
考点一 二次根式的相关概念
1.二次根式
二次根式的定义：一般地，我们把形如a（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．
【易错易混】
1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数；
2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：4，-9都是二次根式；
3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足?≥0；
4)在具体问题中，如果已知a是二次根式，相当于给出了?≥0.
2.二次根式有意义的条件
1）单个二次根式，如a有意义的条件是?≥0；
2）二次根式作为分母时，如1a有意义的条件是?>0；
3）二次根式与分式相加，如a+1b有意义的条件是?≥0且b＞0.
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=13+x+1x+2中，自变量x的取值范围是 ．
2．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式1x+3+4−3x有意义的整数x有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
考点二 二次根式的性质与化简
二次根式的性质
1）式子a（?≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（a≥0），所以a具有双重非负性；
2）a2=aa≥0，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
二次根式的化简
二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
，
【易错易混】
1.在使用ab =a•b （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制.
2.在使用ab=ab（a≥0，b＞0）时一定要注意a≥0，b＞0的条件限制.
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算92−62所得结果是（ ）
A．3B．6C．35D．±35
2．（2024·四川乐山·中考真题）已知10B．a0图象上一动点，点A−1,1，则△AOP的面积的最小值为______．
中考考点
考查频率
新课标要求
二次根式的相关概念
★★
了解二次根式、最简二次根式的概念
二次根式的性质
★★
掌握二次根式的性质
二次根式的运算
★★
了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算
【考情分析】中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.
用均值不等式求最值
若实数a>0，b>0，则有a+b2≥ab，当且仅当a=b时，取等号，我们称不等式a+b2≥aba>0，b>0为均值不等式．
证明：∵a>0，b>0
∴a−b2≥0
∴a−2ab+b≥0
∴a+b≥2ab
∴a+b2≥ab
由上可知，①当a+b为定值的时候，ab有最大值；
②当ab为定值的时候，有a+b最小值．
所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值．
例：已知x>0，求函数y=x+1x的最小值．
解：∵x>0
∴1x>0
∴y=x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立
∴当即x=1时，函数y=x+1x取最小值，最小值为2．