2025年中考复习数学第12讲 反比例函数的图像、性质及应用（讲义，3考点+4命题点18种题型（含4种解题技巧）)

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc185519251" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc185519252" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc185519253" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc185519254" 考点一 反比例函数的图像与性质
\l "_Tc185519255" 考点二 反比例函数与一次函数
\l "_Tc185519256" 考点三 反比例函数的实际应用
\l "_Tc185519257" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc185519258" 命题点一 反比例函数的图像与性质
\l "_Tc185519259" ►题型01 反比例函数的定义
\l "_Tc185519260" ►题型02 判断反比例函数的图像
\l "_Tc185519261" ►题型03 由反比例函数图像的对称性求点的坐标
\l "_Tc185519262" ►题型04 根据反比例函数的图像确定其解析式
\l "_Tc185519263" ►题型05 判断反比例函数所在象限
\l "_Tc185519264" ►题型06 已知反比例函数经过象限求参数取值范围
\l "_Tc185519265" ►题型07 由反比例函数增减性求值
\l "_Tc185519266" ►题型08 由反比例函数的性质比较大小
\l "_Tc185519267" ►题型09 求反比例函数解析式
\l "_Tc185519268" ►题型10 与反比例函数有关的规律有关的探究问题
\l "_Tc185519269" ►题型11 以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质
\l "_Tc185519270" 命题点二 反比例系数k的几何意义
\l "_Tc185519271" ►题型01 已知反比例系数求图形面积
\l "_Tc185519272" ►题型02 已知图形面积求反比例系数
\l "_Tc185519273" 命题点三 反比例函数与实际问题
\l "_Tc185519274" ►题型01 反比例函数与实际问题
\l "_Tc185519275" ►题型02 新考法：新考法问题
\l "_Tc185519276" ►题型03 新考法：跨学科问题
\l "_Tc185519277" 命题点四 反比例函数与一次函数
\l "_Tc185519278" ►题型01 一次函数与反比例函数综合
\l "_Tc185519279" ►题型02 反比例函数与几何图形综合
01考情透视·目标导航
\l "_Tc185257194" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc185257195" 03考点突破·考法探究
考点一 反比例函数的图像与性质
1. 反比例函数的有关概念
定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数.
待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.
2 .双曲线
定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
3. 反比例函数的性质
【易错易混】
1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
4. 反比例函数的对称性
反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点.
5. 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型）
【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为12k.
【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为k.

1．（2024·云南·中考真题）已知点P2,n在反比例函数y=10x的图象上，则n= ．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若点A−3,a、B1,b、C2,c都在反比例函数y=−4x的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx−kk≠0与y=kx的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数y=−1xx0的图象交于点B，则AOBO的值为（ ）
A．12B．14C．33D．13
5．（2024·贵州·中考真题）已知点1,3在反比例函数y=kx的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点−3,a，1,b，3,c都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
考点二 反比例函数与一次函数
1.一次函数与反比例函数的交点问题
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
2. 反比例函数与一次函数关系
从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或.
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点A(m,0)且垂直于x轴的直线l与反比例函数y=−4x的图像交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m2B．−2