2025年中考复习数学第10讲 一次函数的图象与性质（讲义，3考点+3命题点16种题型（含2种解题技巧）)

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc185257013" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc185257014" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc185257015" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc185257016" 考点一 一次函数的基础
\l "_Tc185257017" 考点二 一次函数的图像与性质
\l "_Tc185257018" 考点三 一次函数与方程（组）、不等式
\l "_Tc185257019" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc185257020" 命题点一 一次函数的图像与性质
\l "_Tc185257021" ►题型01 一次函数的定义
\l "_Tc185257022" ►题型02 判断一次函数的图像
\l "_Tc185257023" ►题型03 正比例函数的性质
\l "_Tc185257024" ►题型04 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系
\l "_Tc185257025" ►题型05 探究一次函数的增减性与系数之间的关系
\l "_Tc185257026" ►题型06 求一次函数解析式
\l "_Tc185257027" ►题型07 一次函数与坐标轴交点问题
\l "_Tc185257028" ►题型08 与一次函数有关的规律探究问题
\l "_Tc185257029" ►题型09 与一次函数有关的新定义问题
\l "_Tc185257030" ►题型10 以开放性试题的形式考查一次函数
\l "_Tc185257031" 命题点二 一次函数与方程，不等式
\l "_Tc185257032" ►题型01 求两直线与坐标轴围成的图形面积
\l "_Tc185257033" ►题型02 探究一次函数与方程、不等式的关系
\l "_Tc185257034" 命题点三 一次函数与几何综合
\l "_Tc185257035" ►题型01 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定
\l "_Tc185257036" ►题型02 与一次函数有关的图形变化问题
\l "_Tc185257037" ►题型03 与一次函数有关的动点问题
\l "_Tc185257038" ►题型04 一次函数与三角形、四边形、圆综合
01考情透视·目标导航
0 \l "_Tc184991138" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc184991139" 03考点突破·考法探究
考点一 一次函数的基础
1.一次函数的基础
正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.
【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.
一次函数的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.
2.待定系数法
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法.
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
1）设：设一次函数的解析式为；
2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组；
3）解：解二元一次方程组，求出k、b；
4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中.
1．（2023·四川乐山·中考真题）下列各点在函数y=2x−1图象上的是（ ）
A．−1，3B．0，1C．1，−1D．2，3
【答案】D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式y=2x−1，进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数图象上的点都在函数图象上，
∴函数图象上的点都满足函数解析式y=2x−1，
A.当x=−1时，y=−3，故本选项错误，不符合题意；
B.当x=0时，y=−1，故本选项错误，不符合题意；
C.当x=1时，y=1，故本选项错误，不符合题意；
D.当x=2时，y=3，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．
2．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【答案】B
【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
【详解】解：根据题意得：
2x+y=40，
∴y=−2x+40，
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
故选：B．
【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．
3．（2020·安徽·中考真题）已知一次函数y=kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ）
A．−1,2B．1,−2C．2,3D．3,4
【答案】B
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】∵一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
4．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若函数y=m+1xm2−3是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则m=（ ）
A．2B．−2C．±2D．3
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据形如y=kxk≠0的函数是正比例函数，以及当k>0时，正比例函数的图象经过第一、三象限求解即可．
【详解】解：∵函数y=m+1xm2−3是正比例函数，且图象经过第一、三象限，
∴m+1>0，且m2−3=1，
解得m>−1，且m=±2，
∴m=2，
故选：A．
5．（2023·湖北鄂州·中考真题）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点−2,−1的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）

A．y=x+1B．y=x−1C．y=2x+1D．y=2x−1
【答案】A
【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点1,2，

设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y=kx+bk≠0，
∵y=kx+b过点−2,−1和1,2，
∴2=k+b−1=−2k+b，
解得k=1b=1，
∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y=x+1，
故选A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键．
考点二 一次函数的图像与性质
1.正比例函数的图像与性质
正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线.
正比例函数的性质：
【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）.
2.一次函数的图像与性质
一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线.
一次函数的性质：
【补充说明】
1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置.
2）
的三角形面积为 QUOTE .
3.k，b的符号与直线的关系
在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于
1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当，即b=0时，直线经过原点．
3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.正比例函数与一次函数图像的关系
图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）
常见的变换方式：
平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
1．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．12B．−12C．−1D．−13
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的性质：当k>0，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当k0，然后在此范围内进行判断即可．
【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限，
∴k>0，
∴选项A符合题意．
故选：A．
2．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数y=2x−1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点0,−1B．y随x的增大而减小
C．当x>12时，y12时，y>0，原说法错误；
D.一次函数y=2x−1的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
故选A．
3．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ．
【答案】y=2x+3
【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键．
【详解】解：正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
y=2x+3，
故答案为：y=2x+3．
4．（2024·江苏镇江·中考真题）点A1,y1、B2,y2在一次函数y=3x+1的图像上，则y1 y2（用“”填空）．
【答案】0，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案．
【详解】∵一次函数y=3x+1中，k=3>0，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
∵1