【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--4.5.2 用二分法求方程的近似解（课时教学设计）

第2课时 用二分法求方程的近似解  教学设计

（一）教学内容

用二分法求方程的近似解.

（二）教学目标

通过具体实例理解二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；让学生能够初步了解逼近思想；培养学生勇于探索的精神以及数学应用意识，发展学生的数学运算、数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.

（三）教学重点及难点

1.教学重点：利用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

2.教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.

（四）教学过程设计

引导语 通过前一节课的学习，我们根据函数零点存在定理和函数单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程的近似解.

问题1：我们已经知道函数在开区间（2,3）内存在一个零点，如何求出这个零点？

 追问1：你能求出函数零点的精确值吗？为什么？

师生活动：学生根据经验简单判断，思考.

教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（比如：当精确度为时：只要近似值与精确值之差的绝对值小于即可）

 追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？

师生活动：学生可以想到：零点在区间内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为0.5时，可以取2.5作为一个零点的近似值. 

教师给出区间的中点的定义：一般地，         称为区间       的中点.

    追问3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？

   师生活动：学生思考：零点是在内，还是在内呢？这时就要考虑

的符号. 由计算工具算得，由可知，零点在区间内，由数轴上和之间的距离为0.5可知,零点和之间的距离小于0.5，因此，可以看做零点的一个近似值. 

追问4：根据追问2和3的回答，当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？

    师生活动：学生思考：当精确度为0.01时，长度小于0.01的零点所在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01. 根据追问2和3的回答，可以通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的. 

教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.

    为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围. 具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度的范围. 

   设计意图：通过研究如何求函数的零点，使学生理解二分法的基本原理.

问题2：当精确度为0.01时，如何求函数零点的近似值？

   师生活动：学生阅读课本第145页第二段，根据问题1的研究，取区间的中点，算得，

因为，             所以零点在区间内.再取区间的中点用计算工具算得.因为，所以零点在区间内.

我们可重复这样的步骤，继续缩小零点所在区间，直到区间长度小于0.01为止，如表2,见课本第145页.

追问：根据填好的表格，请你给出函数零点的近似值.

   师生活动：学生可以想到区间（2.53125，2.5390625）内任意一点都可以作为零点的近似值. 

设计意图：通过求函数的零点在一定精确度下的近似值，体会二分法的实施过程.  

    问题3：在问题2中，我们用怎样的方法求函数零点近似值？你能归纳总结形成二分法的定义吗？

   师生活动：学生思考：通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点近似值. 对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值.

教师在学生回答的基础上形成“二分法”的定义：对于区间上的连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法.

设计意图：通过归纳总结形成二分法的定义.    

问题4：根据求函数零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤吗？

师生活动：学生阅读课本第145页第五段，归纳用二分法求函数零点的近似值的一般步骤：

（1）确定零点的初始区间，验证.

（2）求区间中点.（3）计算，并进一步确定零点所在区间：

 ①若（此时，）,则就是函数零点；

 ②若（此时，），则令；

 ③若（此时，），则令.4. 判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值为（或）；否则重复步骤2～4.

设计意图：根据求函数零点的近似值的过程，提炼出用二分法求函数零点近似值的一般步骤.

例2  借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.见课本第146页

例题分析：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象（图1），并列出它的对应值表（表1）.

图1

表1

师生活动：老师提问同学作答，观察图2或表3可知，说明该函数在区间内存在零点.

取区间的中点，用信息技术算得，因为，所以.

   再取区间的中点，用信息技术算得，因为，所以.

   同理可得，，.由于，所以，原方程的近似解可取为1.375（1.4375也可以）.

设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解. 

（五）课堂小结 

教师提问：（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

教师总结：本节课我们学习了用二分法求方程近似解的方法. 二分法通过不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想.回顾整个研究过程，我们通过求具体方程的近似解了解二分法并总结其实施步骤，经历了由特殊到一般的研究过程，从中不但能体会到算法思想，还获得了从具体问题的解决过程提炼出一类问题的解决方法的经验.

设计意图：回顾本节课所学内容和学习过程，感悟本节课涉及的数学思想方法，交流分享关于本节课的收获.

（六）目标检测设计

1．下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，故B不能用二分法求零点近似值.  故选：B

2．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

根据已知，，，，，

根据二分法可知该近似解所在的区间是．

故选：C.

3．（2022·江苏·高一）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：

要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（       ）

A．6次1.75 B．6次1.76 C．7次1.75 D．7次1.76

【答案】D

由表格数据，零点区间变化如下：，此时区间长度小于，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取．

故选：D．

4．（多选）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，下列说法正确的有（       ）

A．精确到的近似值为 B．精确到的近似值为

C．精确到的近似值为 D．精确到的近似值为

【答案】AC

，，

零点在内，又，则AC正确，D错误；

，，，则B错误.

故选：AC.

设计意图：通过课堂达标练习，让学生及时巩固所学，巩固本节学习的内容