第二十七章相似同步练习 人教版数学九年级下册

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第二十七章相似学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为（ ）．A． B． C． D．12．下列命题中的真命题是（　　）A．两边和一角分别相等的两个三角形全等B．正方形不是中心对称图形C．圆内接四边形的对角互补D．相似三角形的面积比等于相似比3．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，相似比为，点的对应点分别为点．若，则的长为（    ）A．9 B．10 C．12 D．154．如图，已知，，，，则的长为（    ）A． B．7 C．8 D．5．如图，在中，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．结论Ⅰ：；结论Ⅱ：．对于以上两个结论，判断正确的是（   ）A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误 B．结论Ⅱ正确，结论Ⅰ错误C．两个结论都正确 D．两个结论都错误6．若，则（ ）A． B． C． D．7．如图，点P是函数y＝（k1＞0，x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y＝（k2＞0，x＞0）的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列结论：①CD∥AB；②S△OCD＝；③S△DCP＝，其中正确的是（    ）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③8．如图，矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2，AB=1，CE=3，EF=6，连接AF，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）A． B． C． D．29．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）  A．1 B． C．2 D．310．如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（  ）  A． B． C． D．11．如图，E是ABCD边AB延长线上的一点，AB=4BE，连接DE交BC于F，则△DCF与四边形ABFD面积的比是（　　）A．4：5 B．2：3 C．9：16 D．16：2512．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，点P到的距离是，则点P到的距离是（　　）A． B． C． D．二、填空题13．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 m．14．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4（如图），将△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），点D恰好落在直线BE上和直线AC交于点F，则线段AF的长为 ．15．在中，，，，为边上的任意一点，将沿过点的直线折叠，使点落在斜边AB上的点处，当是直角三角形时，CD的长为 ．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于点D，∠ABC＝2∠DAC，若AC＝4，AB＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为 ．（不需要写出自变量x的取值范围）17．如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ；当CG取最小值时，CE的长为 三、解答题18．（1）问题发现：如图，在和中，，，，连接，BD交于点，且交于点E①的值为______；②的度数为______；（2）类比探究：如图，在和中，，，连接BD，交的延长线于点，且交于点请计算的值及的度数；（3）拓展延伸：如图，在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，BD所在直线交于点，若，，请直接写出点与点重合时BD的长．19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到（点、的对应点分别为、），使得点在第一象限．(1)在图中画出；(2)设点为内一点，写出点在内的对应点的坐标，20．如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高，小华的身高，他们的影子恰巧等于自己的身高，即，，且两人相距，求路灯的高度是多少？21．2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．  22．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，首先，小芳在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为米；然后，小明在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得为米，为3米，已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上．(1)直接写出 ；(2)请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度．23．如图，在中，点在边上，．(1)求证：∽；(2)若，，求的长．24．如图，在中，平分，E为上一点，．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求的长．《第二十七章相似》参考答案1．B【详解】试题分析：作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连结EB，EC，设⊙E的半径为R，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC=，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=R，∴HC=R，AH=3-R，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH：CD=AH：AC，即EH=，∵S△ABE+S△BCE+S△ACE=S△ABC，∴×5×R+×4×R+×3×=×3×4，∴R=．故选B．考点：切线的性质．2．C【分析】利用全等三角形的判定、正方形的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、两边和夹角分别相等的两个三角形全等，故错误，是假命题；B、正方形是中心对称图形，故错误，是假命题；C、圆内接四边形对角互补，正确，是真命题；D、相似三角形的面积比等于相似比的平方，故错误，是假命题，故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、正方形的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质，难度不大．3．C【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比为，即可解答，掌握该图形的两个图形是相似图形是解题的关键．【详解】解：图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，相似比为，，，，故选：C．4．A【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，即可求出结果．【详解】解：∵．∴，∴，故选：A．5．C【分析】先证出，再证出四边形是矩形，即可判断Ⅰ；根据正方形和矩形的性质证出，即可判断Ⅱ．【详解】解：∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，故结论Ⅰ正确；∵四边形是矩形，四边形为正方形，∴，，∴，,∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故结论Ⅱ正确，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．6．A【分析】此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例式的两个内项之积等两个外项之积是解决问题的关键．根据比例的基本性质可得出的值．【详解】解：，，故选：A．7．D【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），则C（m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），∴PC==，PD==，∵，，即，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正确；△PDC的面积===，故③正确；=====，故②错误；故选D．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．8．C【详解】如图，连接AC、CF，∵在矩形ABCD和矩形CEFG中，BC=AD=2，∠B=∠E=90°，∴AC2=AB2+BC2=12+22=5，CF2=CE2+EF2=32+62=45，∵=， ==，∴，∴△ABC∽△CEF，∴∠ACB=∠CFE，∵∠ECF+∠CFE=90°，∴∠ACB+∠ECF=90°，∴∠ACF=90°，∴AF===5，∵H是AF的中点，∴CH=AF=；故选C．9．C【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．【详解】解：、为边的三等分点，，，，，，是的中位线，，，，，即，解得：，，故选：C．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．D【分析】过C作CE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ABC=90°，，根据余角的性质得到∠BCE=∠ABO，进而得出△BCE∽△ABO，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C作CE⊥x轴于E，  ∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO，∵，∴△BCE∽△ABO，∴，∵∴AB=，∵AB=2BC，∴BC=AB=4，∵，∴CE=2，BE=2∴OE=4+2∴C（4+2，2），故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．B【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，得出△BEF∽△CDF，得出S△DCF=16S△BEF，同理：S△AED=25S△BEF，即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF∽△CDF，∴2，∵AB=4BE，∴CD=4BE，∴，∴S△DCF=16S△BEF，同理：S△AED=25S△BEF，∴S四边形ABFD=24 S△BEF，∴，即△DCF与四边形ABFD面积的比是2：3；故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．12．B【分析】此题考查了中心投影与三角形相似，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，作于E，交于F，如图，则，利用可得，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出P到的距离．【详解】解：作于E，交于F，如图，由题意得，，，，∴，，∴，∴，∴，∴点P到的距离是．故选：B．13．0.2【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得，将已知数据代入即可得．【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则，∵AO=6m，AB=1.2m，CO=1m，∴，解得：CD=0.2m，故答案为：0.2.【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．14．【详解】如图，∵△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），∴AD=AC=3，DE=CB=4，AB=AE，∠ADF=∠C=90°，∴BD=DE=4，设DF=x，AF=y，∵∠AFD=∠BFC，∴△FDA∽△FCB，∴，∴4y=3x+12，4x=3y+9，∴4y=，∴，即线段AF的长为．故答案为．15．3或【分析】依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长．【详解】解：∵，，，∴AB=，分两种情况：①若∠DEB=90°，则∠AED=90°=∠C，CD=ED，连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC=6，BE=10-6=4，设CD=DE=x，则BD=8-x，∵Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，∴x2+42=（8-x）2，解得x=3，∴CD=3；②若∠BDE=90°，则∠CDE=∠DEF=∠C=90°，CD=DE，∴四边形CDEF是正方形，∴∠AFE=∠EDB=90°，∠AEF=∠B，∴△AEF∽△EBD，∴，设CD=x，则EF=CF=x，AF=6-x，BD=8-x，∴，解得x=，∴CD=，综上所述，CD的长为3或，故答案为：3或．【点睛】本题考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．16．【分析】延长至，使得，证，求出，，再证明，得，进行求解即可．【详解】解：延长至，使得，在和中，，，，，，，，，，，即，解得：，【点睛】本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．17． 2-2； ；【分析】在正方形中，易证，可得，则点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，因此当、、在同一条直线上时，取最小值，根据勾股定理可得的最小值为，根据，则有可得，得到：，则，设，则，可得，又∵，，得，得到，解之得：，（不合题意，舍去），从而得到的长为．【详解】解：如图示：在正方形中，在和中，，，∴∵∴即有：点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧， 因此当、、在同一条直线上时，取最小值，∵,∴∴，∴的最小值为，∵∴∴∴∴,设，则，∴，∴又∵，，∴∴,即：解之得：，（不合题意，舍去），∴，故答案是：，．【点睛】本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．18．（1）①1；②50°；（2）；90°；（3）【分析】（1）①证明△≌，得AC= BD，比值为1，②由△≌△，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：；（2）证明△∽△即可求出的值，再通过对顶角相等及∠OBD =∠CAO即可证出∠APB的度数为90° ；（3）由（2）知，∠APB = 90° ，，设设，，由勾股定理得出， 解方程求出AC的长，则可得出答案．【详解】解：（1）①∵，∴，∵，，∴△≌，∴，∴，②∵△≌△，∴，∵，∴，在△中，，故答案为：；；（2）在△和△中，∵，，∴，∵，即，∴△∽△，∴，，∵，，∴，∴，∴，；（3）在Rt△中，，，∴，在Rt△中，，，∴，由（2）知，，且，∴设，，在Rt△中，，∴，解得，，舍去，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理、勾股定理、几何变换问题，解题的关键是能得出：△∽△，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题．19．(1)见解析(2)【分析】（1）根据位似的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解；（2）根据位似图形的性质，将的横纵坐标都乘以2，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，（2）点为内一点，则在内的对应点的坐标【点睛】本题考查了画位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．20．【分析】本题考查了相似三角形的应用，设路灯的高度为x，先判定，再根据相似三角形的性质可得=，用含x代数式表示，同理，用含x代数式表示DN，再根据等量关系列方程求解即可．【详解】解：设路灯的高度为，∵，∴，∴ ，即 ，解得：，∵，∴，∴ ，即 ，解得：，∵两人相距，∴，∴，解得：，答：路灯的高度是．21．【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明得到，再代值计算即可得到答案．【详解】解：，∴，，，根据题意得，，，，，答：的大致距离为．22．(1)(2)24米【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，理解图示，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．（1）根据题意利用三角形相似即可求值；（2）根据题意可证，得到，代入计算即可求解．【详解】（1）解：根据题意，，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴，∴（米），答：学校旗杆的高度为24米．23．(1)见解析(2)【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可解答；利用的结论，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．【详解】（1）证明:∵在和中，，∴∽；（2）解：∽，，，，(舍去负值)，的长为．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题本题的关键．24．(1)见详解(2)见详解(3)【分析】（1）首先根据条件证得，可知，即可证得；（2）由（1）可知，即，可证得；（3）由，求得，根据勾股定理求得，可知，可得，根据，可知，代入边长即可求得结果．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∴，∵，∴；（3）∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，解得：．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，以及利用勾股定理求边长，根据所求直角三角形边长，得出其为特殊三角形是解题的关键．题号12345678910答案BCCACADCCD题号1112        答案BB