2024-2025学年高二数学同步精品试题（人教A版2019）第四章数列单元综合测试卷（Word版附解析）

这是一份2024-2025学年高二数学同步精品试题（人教A版2019）第四章数列单元综合测试卷（Word版附解析），共11页。
第四章 数列单元综合测试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，即，则．故选：A．2．数列满足，，则（    ）A． B． C． D．2【答案】C【解析】，，，，，……，所以数列的周期为，.故选：C3．设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：设等比数列的公比为，若，情形一：当时，由得，解得或，若，则，此时与已知矛盾；若，则，此时为递增数列；情形二：当，由得，解得或，    若，则，此时与已知矛盾；若，则，此时为递增数列；必要性：反之，若为递增数列，则，所以“对于任意的”是“为递增数列”的充分必要条件.故选：C.4．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，，即从起连续项正整数之和.则为从起连续3个正整数之和，故第一步应证明.故选：B.5．已知是等差数列的前项和，且，，则（    ）A．数列为递增数列 B．C．的最大值为 D．【答案】C【解析】由题意，，，则，故B错误；数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误；由于时，，时，，所以的最大值为，故C正确；，故D错误.故选：C.6．斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，，，则.故选：C.7．等差数列与的前项和分别为、，且，则（   ）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】∵与均为等差数列，∴，，则.故选：C.8．等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，则，所以，所以，因为，可得，所以，所以，所以，，即数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，因此.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，下列选项能正确表示数列的公式有（    ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对A，当为奇数时，，不符合数列，故A错误；对B，由，可得，由可得，故，由，可知当为奇数时，；由，可知当为偶数时，.故该递推公式符合数列，故B正确；对C，当时，，不符合数列，故C错误；对D，当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列的通项公式，故D正确.故选：BD.10．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ）A． B．数列是等比数列C． D．数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】由，又公比为整数.解得.对于A，，故A正确，对于B，.所以，，所以数列是公比为2的等比数列，故B正确，对于C，，故C正确，对于D，，，所以数列是公差为的等差数列，故D错误.故选：ABC11．设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（   ）A． B．C． D．与均为的最大值【答案】ABD【解析】AB选项，由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，又，，，，B正确；又，故，即，A正确；C选项，由得，所以，而，，因此，C错误；D选项，由上知，先增后减，与均为的最大值，D正确．故选：ABD第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知等差数列的前项和为，若，则 .【答案】380【解析】，所以，.故答案为：380.13．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 .【答案】【解析】由题意得：，解得：，，解得：，所以.故答案为：.14．一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断：①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是 ．【答案】②③【解析】①若数列：，此时数列满足，而数列不是周期数列，①错；②∵，即，为周期数列，②对；③∵为周期数列，不妨设周期为，即数列中有个不同的值，并且是这个确定的值重复出现，故一定存在正整数，使得恒成立，③对；④设数列首项，当时，，则，此时当时，满足，但数列不是周期数列，④错.故答案为：②③四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知等差数列满足：，.(1)求数列的通项公式以及前项和；(2)求的值.【解析】（1）设等差数列的公差为，所以，所以，则，所以.（2）由等差数列的性质可得：，，，是以为首项，公差为4的等差数列，所以.16．（15分）已知数列满足，.(1)令，证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）因为.又，故数列是首项为1，公比为3的等比数列.（2）由（1）有，可得，所以有.17．（15分）已知数列的各项均为正实数，，且.(1)求证：数列是等比数列；(2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项.【解析】（1）由，则，且，所以数列是以4为首项，以4为公比的等比数列.（2）由（1）可得，当时，，则数列的最小项为，由函数在(1,+∞)上单调递减，则数列的最大项为.18．（17分）已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，，且是与的等差中项．(1)求：数列和的通项公式．(2)设，求．(3)若对于数列、，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求．【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，由，则，故，所以，则，由，则，又由是与的等差中项，所以，即，解得或（舍去），故；（2）由 ，则，则，，两式相减得，，，则， 其中①，②②相减可得，，则，所以，则；（3）根据题意可得，则，故，则，故当时，成立，当时，成立，所以共有项，共有个，则.19．（17分）已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数， 对任意的成立，则称数列具有性质.(1)若，请判断数列是否具有性质；(2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件；(3)已知数列中，且.若数列只有性质，求数列的通项公式.【解析】（1），对于，故，所以数列不具有“性质”.（2）先证“充分性”：当数列具有“性质”时，有，又因为，所以，进而有，结合有，即“数列为常数列”；再证“必要性”：若“数列为常数列”，则有，即“数列具有”性质.（3）首先证明：，因为具有"性质，所以，当时，有，又因为，且，所以有，进而有，所以，结合可得，然后利用反证法证明：，假设数列中存在相邻的两项之差大于2，即存在满足：或，进而有，又因为，所以，依此类推可得：，矛盾，所以有，综上有，结合可得，经验证，该通项公式满足，所以.