人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步训练题，文件包含人教A版高中数学必修第二册考点通关练03平面向量基本定理及坐标表示5种常见考法归类原卷版doc、人教A版高中数学必修第二册考点通关练03平面向量基本定理及坐标表示5种常见考法归类解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
1、两个向量是否能构成基底
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
2、平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量.
3、应用平面向量基本定理一般思路：
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
4、平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
5、利用向量共线的坐标表示求参数的一般步骤
(1)根据已知条件求出相关向量的坐标；
(2)利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组；
(3)根据方程或方程组求解得到参数的值．
6、两平面向量共线的充要条件有两种形式：
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb．
注：一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．
7、求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方.
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
8、解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：由cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))直接求出cs θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cs θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)判断θ的值时，要注意cs θ0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.

考点一 平面向量基本定理的应用
（一）平面向量基本定理的理解
（二）对基向量概念的理解
（三）用基底表示向量
（1）利用向量的线性运算法则转化
（2）列向量方程或方程组
（四）利用平面向量基本定理求参数
考点二 平面向量的正交分解
考点三 平面向量的坐标运算
（一）向量加减数乘运算
（二）定比分点
考点四 向量共线的坐标表示
（一）由坐标判断向量是否共线
（二）利用向量共线求参数
（三）利用向量共线解决三点共线问题
（四）利用向量共线求向量或点的坐标
考点五 平面向量的数量积坐标表示
（一）向量数量积的计算
（二）向量垂直
（三）向量模长
（四）向量夹角
（五）向量投影
考点一 平面向量基本定理的应用
（一）平面向量基本定理的理解
1．（2022春·高一课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示
B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
【答案】B
【分析】根据共线向量的性质和基底的性质，结合平面向量基本定理逐一判断即可.
【详解】由共线向量的性质可知选项A正确；
根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B不正确；
根据平面向量基本定理可知中：选项C、D都正确，
故选：B
2．【多选】（2022·高一课时练习）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
【答案】AB
【分析】根据基底的定义逐项判断即可.
【详解】解：根据基底的定义知AB正确；
对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；
对于D，m，n是唯一的，故D错误.
故选:AB.
3．【多选】（2022春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
【答案】ABD
【分析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D.
【详解】对A，给定向量，总存在向量，使，
即，显然存在，所以A正确.
对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：
总存在实数和，使，故B正确．
对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，
当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.
对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立.
故选：ABD
（二）对基向量概念的理解
4．（2022·高一课时练习）判断正误．
（1）平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( )
（2）零向量可以作为基向量．( )
（3）平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( )
【答案】 × × ×
【详解】（1）平面内不共线的两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底，故错误
（2）零向量与任意向量均共线，故不可以作为一组基底，故错误
（3）只要两个向量不共线均可以作为平面中的一组基底，故错误
5．【多选】（2022·高一课时练习）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】ABD
【分析】根据不共线的向量可作为一组基底判断.
【详解】解：对于A，与不共线，故可作为一组基底，故A正确；
对于B，和不共线，故可作为一组基底，故B正确；
对于C，，故不能作为一组基底，故C错误；
对于D，和不共线，故可作为一组基底，故D正确.
故选:ABD.
6．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考期末）已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.
【详解】对于A，假设共线，则存在，使得，
因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于B，假设共线，则存在，使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，
不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在，
使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底，
故选:C.
7．（2020秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期中）下列各组向量中，可以作为基向量的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据基底需要为不共线的非零向量，由此逐项判断即可求解.
【详解】对于，，不可以作为基底，故选项错误；
对于，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，故选项正确；
对于，因为，所以与共线，不可以作为一组基底，故选项错误；
对于，因为，所以与共线，不可以作为一组基底，故选项错误；
故选：.
8．【多选】（2022·高一课时练习）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】BC
【分析】根据平面向量基底的定义，结合平行四边形的性质逐一判断即可.
【详解】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线，
故选：BC
9．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）已知与不共线，，且与是一组基，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先由与共线，求得，再由与是一组基底，则与不共线，取补集即可.
【详解】因为与不共线，，
若与共线，
则，即，
所以，解得，
因为与是一组基底，
所以若与不共线，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
（三）用基底表示向量
（1）利用向量的线性运算法则转化
10．（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）在如图中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】因为为边上的中线，
所以，
因为为的中点，
所以可得，
故选: B.
11．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的基本定理，用和线性表示向量即可.
【详解】由可知，＝﹣
＝＝
=.
故选：C.
12．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用表示出即可求解作答.
【详解】平行四边形的对角线与交于点，如图，
则，而点为的中点，
有，由得：，
则有，
所以.
故选：C
13．（2023秋·北京·高一校考期末）如图所示，在中，点是边的中点，点是线段靠近的三等分点.过点的直线与边分别交于点.设，其中.
(1)试用与表示，写出过程；
(2)求证：为定值，并求此定值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由平面向量基本定理可得答案；
（2）由平面向量基本定理、向量的三点共线可得答案.
【详解】（1）因为点是边的中点，所以
，
；
（2）因为，所以，
因为，
所以，
因为三点共线，所以，
可得为定值.
（2）列向量方程或方程组
14．（2022·高一课时练习）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，根据三点共线，即共线，可设，用表示出关系，即可解出结果.
【详解】.
设，
则,
又，且三点共线，则共线，
即，使得，即，
又不共线，则有，解得，
所以，.
故选：D.
15．（2023·高一课时练习）如图，三点不共线，，，设，.
（1）试用表示向量；
（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由，，三点共线，可得到一个向量等式，由，，三点共线可得到另一个等式，两者结合即可解决（1）；
（2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到．
【详解】解：（1），，三点共线，
，①
同理，，，三点共线，可得，②
比较①，②，得解得，，
．
（2），，，
，，
，
，，三点共线．
【点睛】本题考查平面向量的基本定理和平面向量的共线定理的应用，通过共线定理证明三点共线，考查转化思想和运算能力.
16．（2022春·广西桂林·高一校考期末）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
(1)试用向量表示；
(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三点共线可得，同理由三点共线可得，根据向量相等的条件可求出的值，即可求解；
（2）设，由及三点共线联立即可求解.
【详解】（1）因为三点共线，
所以存在实数使得，
又因为三点共线，
所以存在实数使得，
根据向量相等可得，解得，
所以.
（2）设，
由（1）可得①，②，
又三点共线，所以③，
由①②可得，，代入③式可得，
即不论点在线段上如何移动，为定值.
【点睛】本题主要考查了共线向量的基本定理：当为直线外一点时，三点共线的应用，属于基础知识的应用.
（四）利用平面向量基本定理求参数
17．（2023·高一课时练习）向量，不平行，，，，且，则，分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】把，，代入，将用和表示，再与对应，从而得到和的方程组，解出和的值，从而得到答案.
【详解】因为向量，不平行，，，
所以
因为，
所以可得，解得，
故选：B.
【点睛】本题考查向量的线性运算，平面向量基本定理，属于简单题.
18．（2022·高一课时练习）如图，A，B，C，D为平面内的四个点，，为线段的中点，若，则______．
【答案】##1.25
【分析】根据向量的线性运算即可结合平面向量基本定理求解.
【详解】因为，即，所以．
又为线段的中点，所以，所以，，则．
故答案为:
19．（2022·高一课时练习）如图，在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．12C．4D．16
【答案】C
【分析】根据和向量的线性运算可得，再利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值.
【详解】连接，
因为，故，故，
故，
而三点共线，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为4，
故选：C
20．（2022·全国·高一假期作业）如图，中，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量线性运算可得，进而得到，根据平面向量基本定理可求得结果.
【详解】由题意得：，
，，，
三点共线，，即.
故选：B.
21．（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则 的最小值______.
【答案】##
【分析】由向量共线定理可得，结合基本不等式即可求出的最小值.
【详解】如图，
可知x，y均为正，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：.
考点二 平面向量的正交分解
22．（2023·高一课时练习）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________．
【答案】
【分析】根据向量的正交分解直接可得答案.
【详解】因为点，所以
故答案为：
23．（2023·高一课时练习）如图，、、的坐标分别为______、______、______．
【答案】 ； ； .
【分析】根据图象，得到向量的起点与终点坐标，即可得出结果.
【详解】由图可得，，，.
故答案为：；；.
24．（2022春·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设平面直角坐标系为O，则.
【详解】设平面直角坐标系为O，由题得，.
则.
故选：C
考点三 平面向量的坐标运算
（一）向量加减数乘运算
25．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，，则________．
【答案】
【分析】根据向量坐标运算即得.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
26．（2023·高一课时练习）设，，，若，则______．
【答案】
【分析】应用向量线性关系的坐标表示列方程组求参数x、y，即可得结果.
【详解】由题设，
所以，即，故.
故答案为：
27．（2022春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考阶段练习）已知平面向量，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题为平面向量坐标运算的加减数乘运算.
【详解】因为，，则，，
所以
故选：D
（二）定比分点
28．（2023·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点P满足，则点P的坐标为__________.
【答案】
【解析】设点P的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解.
【详解】设点P的坐标为，
因为点，，
所以，，
因为，所以，解得，
所以点P的坐标为
故答案为：
29．（2022春·山西运城·高一统考期中）已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为______．
【答案】
【分析】设，根据即可求出P的坐标.
【详解】由题可知，
设，则，
，，
∴.
故答案为：.
30．（2022春·湖北·高一宜昌市夷陵中学校联考期中）已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为__________．
【答案】##
【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为P是线段靠近的一个四等分点，
所以，设，
则有，
故答案为：
31．（2022·江苏·高一专题练习）已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（－2，10），C（3，7），∠BAC的平分线交BC边于点D，求点D的坐标．
【答案】.
【分析】利用两点间的距离公式及角平分线定理可得，即得.
【详解】∵AD平分∠BAC，A（1，1），B（－2，10），C（3，7），
∴|AC|＝＝2，|AB|＝＝3，
由角平分线定理可知，，
设点D的坐标为（x，y），
则x＝＝1，y＝＝．
故点D的坐标为.
（三）向量的线性运算解决几何问题
32．（2022春·湖北·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）顺次连接点，，，所构成的图形是（ ）
A．等腰梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形
【答案】B
【分析】由题可得，利用共线及数量积即得.
【详解】因为，，，,
所以，，
∴，且,与不垂直，
所以四边形是平行四边形.
故选：B.
33．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果.
【详解】设点的坐标为，
由于平行四边形的四个顶点为，
所以可能有以下三种情形：
当时，即，解得，即的坐标为；
当时，即，解得，即的坐标为；
当，即，解得，即的坐标为；
故选：ABC.
34．（2022春·北京·高一北京市十一学校校考阶段练习）平行四边形的三个顶点的坐标是，则顶点的坐标是___________.
【答案】
【分析】设，利用列方程即可求解.
【详解】设顶点的坐标为，
则由题意可得，即，
故，解得，
故的坐标为
故答案为：
考点四 向量共线的坐标表示
（一）由坐标判断向量是否共线
35．【多选】（2022·高一课时练习）下列向量中与共线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据给定向量，利用向量共线的坐标表示判断作答.
【详解】向量，因，则与不共线，A不是；
因，则与不共线，B不是；
而，，则与都共线，即C，D是.
故选：CD
36．【多选】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．与可以作为基底
C．D．与方向相同
【答案】BD
【分析】根据向量的坐标运算，共线向量定理和平面向量基本定理逐项分析即得.
【详解】由题意，向量，可得，
所以，所以A正确，B错误；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以与方向相反，所以D错误.
故选：BD.
37．【多选】（2022春·广西玉林·高一校考阶段练习）已知向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】设，由、求出的坐标，求出可判断A；根据向量共线的坐标表示可判断B；计算出可判断C；计算出，可判断D.
【详解】设，
因为向量，，
则，解得，所以，
对于A，因为，故A错误；
对于B，因为，故与不共线，故B错误；
对于C，，所以，
所以，故C正确；
对于D，，，所以，故D错误.
故选：ABD.
（二）利用向量共线求参数
38．（2023秋·北京·高一校考期末）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】解：因为，，，
所以，又，
所以，解得.
故选：B
39．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量，，，若与共线，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求得的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程，求得答案.
【详解】由题意向量，，，
则，
由于与共线，则，
故选：D
40．（2022·高一课时练习）已知向量，，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当时，根据坐标运算可知充分性成立；当时，由向量平行坐标表示可求得，知必要性成立，由此可得结论.
【详解】当时，，，
，，充分性成立；
，则当时，，解得：，必要性成立；
综上所述：“”是“”的充要条件.
故选：A.
41．（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知，.
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，且三点共线，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；
（2）由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．
【详解】（1）解：，，
，，
又与共线，
，即；
（2）解：，，
、、三点共线，
，即．
42．（2023·高一课时练习）已知，，．
(1)若点A、B、C不能构成三角形，求m的值；
(2)若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）点A、B、C不能构成三角形说明三点共线，
利用共线性质列出方程解出参数即可；
（2）分类讨论直角的情况，转化为向量数量积为0，
列出方程解出即可.
【详解】（1）因为点A、B、C不能构成三角形，
所以点A、B、C三点共线，
所以，
因为，
，
所以，
即，
所以若点A、B、C不能构成三角形，则.
（2）若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，
则：
①若为直角，此时，
即，
所以，
②若为直角，此时，
即，由
所以
所以，
③若为直角，此时，
即，
解得，
所以若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，
则或或.
（三）利用向量共线解决三点共线问题
43．（2022春·新疆·高一兵团第一师高级中学校考期末）已知三点在同一直线上，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【分析】将点共线转化为向量共线，由坐标运算即可求解.
【详解】由题得,
由 三点共线，可得 ，故 ，
故选：C
44．（2022春·上海普陀·高一校考期末）已知为坐标原点，且，若三点共线，则实数_____．
【答案】##0.8
【分析】将三点共线，转化为，再利用向量平行的坐标表示，即可求解.
【详解】因为三点共线，所以，，，
所以，解得：.
故答案为：
45．（2022·高一课时练习）向量，，．若三点共线，则的值为（ ）
A．B．1C．或11D．2或
【答案】C
【分析】求得，，利用向量共线的充要条件，可得关于的方程，求解即可.
【详解】解：由题可得：，
.
因为三点共线，所以，所以，整理得，解得或.
故选：C.
46．（2022春·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考阶段练习）设向量，.
(1)求；
(2)若，，，求证：A，，三点共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由向量加法和模长的坐标运算可得答案；
（2）由、和向量共线可得答案.
(1)
，.
(2)
因为，所以，所以A，，三点共线.
（四）利用向量共线求向量或点的坐标
47．（2022春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中）已知与，点在直线上，且，则点坐标为_________.
【答案】或
【分析】根据题意，可得或，设P点坐标，利用向量的坐标运算，可得到满足条件的点P坐标．
【详解】由点P在直线AB上，且，可得或，
当时，设，有，解得，，
点坐标为.
当时，设，有，解得，，
点坐标为.
故答案为：或.
48．（2023·高一课时练习）已知平面上的点，，，点C满足，连接DC并延长至点E，使，求点E的坐标．
【答案】
【分析】由结合向量相等列出方程求出的坐标，由题意求出，同理可求得的坐标.
【详解】设，由，得，
即，解得，即，
设，由，得，即
即，解得，即，
故答案为：
49．【多选】（2022春·广西桂林·高一校考期中）已知向量，，且与共线，则可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由共线向量定义可知或，由向量坐标运算可得结果.
【详解】，与共线，或，
又，或.
故选：AD.
50．（2022春·山东东营·高一统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据平行四边形的性质以及平面向量的线性运算法则.
(2) 以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，满足题意,可求出各点的坐标.
【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
考点五 平面向量的数量积坐标表示
（一）向量数量积的计算
51．（2022·全国·高一假期作业）在平行四边形中，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量加法与减法的坐标运算求出和的坐标，再根据数量积运算即可求解.
【详解】因为，所以，从而，所以．
故选：A
52．（2022春·浙江·高一期中）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的坐标表示及两角和差的余弦公式求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A
53．（2022春·广东湛江·高一校考阶段练习）设，，，则等于（ ）
A．B．0C．D．
【答案】C
【分析】先求出的坐标，然后根据向量数量积坐标运算公式求解即可
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，
故选：C
54．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，且，则的值为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】A
【分析】根据，利用坐标运算求得x，进而得到的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.
【详解】解：因为，
所以，
解得，
所以，
则，
所以，
故选：A
（二）向量垂直
55．（2023·高一课时练习）已知O为坐标原点，，，若，则实数m的值为______．
【答案】
【分析】由题设得，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值即可.
【详解】由题设，又，
所以，可得.
故答案为：
56．（2022春·广西桂林·高一校考期中）已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量坐标的加减法运算，及向量垂直的坐标表示，即可求出.
【详解】由题可知，，，
则，
由于，则，
即：，解得：.
故选：D
57．（2022春·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）平面向量.若 ，则（ ）
A．-1B．0C．D．
【答案】B
【分析】根据数量积的坐标运算及向量垂直的性质求解.
【详解】，
，，
，
，解得，
故选：B
58．（2022春·北京·高一期末）设向量，，如果，，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的垂直关系得到向量的数量积为，再将，分别用坐标表示出来，最后根据坐标形式下的向量垂直对应的关系式求解出的值.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
又，
所以
故选：C
（三）向量模长
59．（2022春·山东东营·高一统考期中）已知向量，，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】求出，求模即可.
【详解】∵，，∴，
∴.
故选：C.
60．（2023·高一课时练习）已知，，则______.
【答案】1
【分析】先联立求得向量，代入求得，利用求模公式求得结果.
【详解】解：①，②，
由（①+②）/3得，代入②得，
则，
则1，
故答案为：1.
61．（2022春·四川内江·高一统考期末）已知，，若，则（ ）
A．50B．C．D．5
【答案】B
【分析】由垂直的坐标表示求得，再由模的坐标表示计算．
【详解】由题意，，
所以，．
故选：B．
62．（2022春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）已知，是单位向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用得到，然后计算即可求得答案
【详解】因为，所以，
因为，是单位向量，所以，所以，
所以，
所以，
故选：D
63．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）已知向量，满足，，，则实数______．
【答案】1
【分析】根据平面向量的坐标的线性运算求得，根据向量的模的坐标运算列方程即可得实数的值.
【详解】解：已知向量，满足，，所以，
则，解得.
故答案为：1.
64．（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知向量，，若，则的值是（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】直接求出与的坐标，根据模相等即可解得的值.
【详解】由已知可得，，，
因为，所以，
解得，.
故选：C.
（四）向量夹角
65．（2022春·广西桂林·高一校考期末）已知向量，，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由向量夹角的坐标运算可直接求得结果.
【详解】设向量的夹角为，则，
，.
故选：B.
66．（2022春·陕西西安·高一西安建筑科技大学附属中学校考阶段练习）已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用垂直向量的坐标表示求解，进而得到的坐标，利用向量数量积的坐标表示求解夹角的余弦值即可.
【详解】解：因为与垂直，故，解得，则,
，设与夹角为，则.
故选：A.
67．（2022春·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积的定义及坐标表示，由题设条件间的推出关系，结合充分、必要条件即可得答案.
【详解】由题设：
当时， ， ，注意当时， ，故充分性不成立.
当与的夹角为锐角时，，解得.
故必要性成立.
故选：B.
68．（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据和不共线可构造不等式组求得结果.
【详解】夹角为钝角，且不共线，
即且，解得：且，
的取值范围为.
故选：B.
69．（2022春·山东青岛·高一统考期末）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】，
由题意得：且，
解得：且，
故选：D
（五）向量投影
70．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）已知向量，，则向量在向量的方向上的数量投影为__．
【答案】
【分析】由数量投影的定义、数量积的定义和坐标运算、向量模的坐标运算进行求解即可.
【详解】向量在向量的方向上的数量投影为：
．
故答案为：.
71．（2023·全国·高一专题练习）已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．
【答案】
【分析】先求得向量，的坐标，再根据数量投影的定义即可求得答案.
【详解】，
所以向量在方向上的数量投影为.
故答案为：.
72．（2022春·辽宁营口·高一统考期末）已知向量,且，那么向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的概念，结合向量的坐标以及向量的模，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故向量在向量上的投影向量为 ，
故选：A
73．（2022春·山西忻州·高一校联考期末）设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用投影向量的计算公式求解．
【详解】解：，，
在方向上的投影向量.
故选：A.
74．（2022春·安徽安庆·高一校考阶段练习）已知向量，则在上的投影向量的模为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】先求出在方向上的投影，再求出在方向上的投影向量，从而求出投影向量的模．
【详解】解：，，
在方向上的投影为，
在方向上的投影向量为,
则在上的投影向量的模为．
故选：C．