高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品巩固练习

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1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，有且只有一对实数 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，我们把{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量 SKIPIF 1 < 0 在给出基底{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }作为基
底.对于平面内的任意一个向量 SKIPIF 1 < 0 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得 SKIPIF 1 < 0 =x SKIPIF 1 < 0 +y SKIPIF 1 < 0 .这样，平面内的任一向量 SKIPIF 1 < 0 都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标，记作 SKIPIF 1 < 0 =(x,y)①.其中x叫做 SKIPIF 1 < 0 在x轴上的坐标，y叫做 SKIPIF 1 < 0 在y轴上的坐标，①叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标表示.
显然， SKIPIF 1 < 0 =(1,0)， SKIPIF 1 < 0 =(0,1)， SKIPIF 1 < 0 =(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
3．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量 SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )等价于 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )+( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )=( SKIPIF 1 < 0
+ SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 +( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ).同理可得 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由 SKIPIF 1 < 0 =(x,y)，可得 SKIPIF 1 < 0 =x SKIPIF 1 < 0 +y SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (x SKIPIF 1 < 0 +y SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 x SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 y SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 x, SKIPIF 1 < 0 y).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
4．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量 SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )等价于 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =1， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =1， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若 SKIPIF 1 < 0 =(x,y)，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
其含义是：向量 SKIPIF 1 < 0 的长度(模)等于向量 SKIPIF 1 < 0 的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量 SKIPIF 1 < 0 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )，( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )，那么 SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )，| SKIPIF 1 < 0 |=
SKIPIF 1 < 0 .
5．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设 SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )，其中 SKIPIF 1 < 0 ≠0.我们知道， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线的充要条件是存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .如果用
坐标表示，可写为( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )，即 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0.这就是说，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ≠0)共线的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0.
②三点共线的坐标表示
若A( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )，B( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )，C( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )三点共线，则有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
​​​​​​​ 从而( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )，即( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )=( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )，
或由 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 得到( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )=( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )，
或由 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 得到( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )=( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 )( SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ).
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是非零向量， SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
(3)垂直的坐标表示
设 SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
【题型1 用基底表示向量】
【方法点拨】
用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底
表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.
【例1】在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】在平行四边形中，，，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型2 平面向量基本定理的应用】
【方法点拨】
结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.
【例2】已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ）
A．B．C．D．1
【变式2-1】在中，为边的中点，在边上，且，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ）
A．1B．C．D．
【变式2-3】已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若，则λ+μ＝（ ）
A．B．C．D．1
【题型3 平面向量的坐标运算】
【方法点拨】
(1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.
(2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.
【例3】若，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】在平行四边形中，为一条对角线.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知向量，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】已知向量，，，则可用与表示为（ ）
A．B．C．D．
【题型4 向量共线、垂直的坐标表示】
【方法点拨】
向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂
直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.
【例4】在平面直角坐标系中，已知．
(1)若，求实数k的值；
(2)若，求实数t的值．
【变式4-1】已知
（1）当为何值时，与垂直
（2）若，且三点共线，求的值．
【变式4-2】已知，．
(1)当k为何值时，与垂直？
(2)当k为何值时，与平行？
【变式4-3】已知向量，
(1)当，求的值；
(2)当，，求向量与的夹角
【题型5 向量坐标运算与平面几何的交汇】
【方法点拨】
利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向
量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐
标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.
【例5】（2022春·吉林长春·高一阶段练习）如图，已知是平面直角坐标系的原点，，．
(1)求坐标；
(2)若四边形为平行四边形，求点坐标．
【变式5-1】已知平行四边形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
【变式5-2】已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若，求与夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
【变式5-3】在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．
(1)求与共线的单位向量的坐标；
(2)求∠OCM的余弦值；
(3)是否存在实数λ，使若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
【题型6 向量坐标运算与三角函数的交汇】
【方法点拨】
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表
示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再
利用三角函数的相关知识求解即可.
【例6】已知O为坐标原点，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
【变式6-1】已知向量.
(1)若，求的值；
(2)求的最大值及取得最大值时角的余弦值.
【变式6-2】已知，．
(1)若，且，时，与的夹角为钝角，求的取值范围；
(2)若，函数，求的最小值．
【变式6-3】已知向量.
(1)若，求的值；
(2)记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域.
专题6.4 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型检测）
一．选择题
1．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．设点，若点P在直线上，且，则点的坐标为（ ）
A．B．C．或D．或
3．设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A．B．C．D．
4．在平行四边形ABCD中，设，，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．在平行四边形中，点满足，点是边的中点，与交于点．设，则（ ）
A．B．C．D．
6．在矩形中，，动点在矩形所在平面内，且满足.若，则的取值不可能为（ ）
A．B．1C．2D．3
7．锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
8．若点是所在平面上一点，且是直线上一点， ，则的最小值是（ ）．
A．2B．1
C．D．
二．多选题
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD， BC交于点F，H设，，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知向量，，，函数的最小正周期是，则（ ）
A．
B．在上单调递减
C．的图象向左移个单位，图像关于轴对称
D．取最大值时，x的取值集合为
12．如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是（ ）
A．当P是线段CE的中点时，，
B．当时，
C．若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D．的最大值为
三．填空题
13．设，，，若，则 ．
14．已知，，，，又，则的坐标为 ．
15．在矩形中，，，为的中点，若，，则 .
16．如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为 .
四．解答题
17．已知向量，，.
(1)求；
(2)求满足的实数，；
18．已知向量，，．
（1）求满足的实数m，n；
（2）若，求实数k．
19．如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设，.
(1)用和表示向量，；
(2)若，求实数λ的值.
20．已知平行四边形中，，，，点是线段的中点.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
21．在平面直角坐标系中，设向量，，．
(1)若，求的值；
(2)设，，且，求的值．
22．如图，已知四边形为平形四边形，，，设，.
(1)用向量，表示；
(2)若点P是线段CM上的一动点，（其中），求的最小值.