高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）2.2.1 向量的加法运算优秀教案设计

这是一份高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）2.2.1 向量的加法运算优秀教案设计，共6页。
2.2 向量的线性运算
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课
时长
3 课时
授课类型
新授课
本课通过设置因“堵车”而改变路线的情境并提出问题：“两次位移 AB 、
教学提示
BC 的结果，与原计划的位移 AC 有什么关系？”继而推出向量加法的定义，这样让学生感知向量加法的三角形法则的实际意义；再类比数的减法，利用相反向量引入向量的减法；然后以跨栏运动为背景设置情境，引入向量的数乘运算，并
给出了相应的运算法则，最后推出了向量平行的充要条件．
教学目标
通过学习，理解向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义；能按要求作
出两个向量的和向量、差向量；会判定两个非零向量是否平行；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.
教学
重点
向量加法的运算、减法、数乘运算及其几何意义．
教学
难点
向量减法法则．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
我们知道，数可以进行加法和减法运算.那么，向量之间是否也可以进行加法和减法运算呢？人们通过对位移等向量的研究发现，向量可以进行加法和减法及数乘等运算.
向量的加法运算、减法运算和数乘运算统称向量的线
性运算.
提出
思考
类比
问题
数的
引入
引发
分析
运算
引出
思考
讨论
新知
识
向量的加法运算
家住昆明的小张打算自驾去成都旅游，出发前查看交
提出
问题
思考
结合
生活
通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，只好改变出行
分析
常识
路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都.小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点 A 、B、C 分别代表昆明、重庆和成都三地.
试问，小张从点 A 经点 B 到达点 C 接连两次位移
引发思考
回答
思 考，让学
生感
AB 、 BC 的结果，与原计划从点 A 直接到达点 C 的位移
知向
情境导入
AC 有什么关系？
量加
法的三角形法则的实际意义
探索新知
可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都.因此我们可以把位移 AC 看作两次位移 AB与 BC 的和.
一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量
a、b，在平面上任取一点 A，依次做 AB=a ， BC =b ，得
到一个△ABC，称向量 AC 为向量 a 与向量 b 的和,也称为向量 a 与向量 b 的和向量，记作 a+b，如图所示. 即

a+b= AC = AB + BC .
求两个向量的和的运算称为向量的加法.
上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则.
当非零向量平行时，在平面上任取一点 A，依次作
AB=a ， BC =b ，得到一个新的向量 AC ，称向量 AC 为向量 a 与向量 b 的和，记作 a+b .
规定：
a+b=0+a=a； a+(−a)=0 .
由上面的分析可知，表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义，如图所示 .
讲解
说明
展示
讲解
展示图形引发思考
理解
思考
领会
理解
结合图形思考问题
结合图像分析问 题，逐步提升直观想象核心素养
数形结合方法分析特殊情 况，
透分类讨论思想
总结了向量加法的几何意义
典型例题
例 1如图所示，在⏥ABCD 中，用向量 AB 、 AD 表示向量 AC .
解 根据向量加法的三角形法则可知， AC = AB + BC .

又因为⏥ABCD 中， AD = BC ，所以 AC = AB + AD .
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
引出平行四边形法
则
探索新知
一般地,给定两个非零向量 AB 与 AD ，以线段 AB 和
AD 为邻边作⏥ABCD，则向量 AC 就是向量 AB 与 AD 的和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则．
可以验证，向量的加法满足以下运算律：
a+b=b+a；(交换律) a+(b+c)= a+(b+c) .(结合律)
讲解
说明
展示
领会
理解
思考
在例题基础上学习平行四边形法
则
典型例题
例 2 已知向量 a、b，如图(1)所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量 a+b.
解 (1)运用三角形法则.如图(2)所示，在平面内任取一点
O，作OA=a ， AB=b ，则OB= a+b；
(2)运用平行四边形法则.如图(3)所示,在平面内任取一点 O，作OA=a ， OB=b ，以 OA、OB 为邻边作⏥ABCD，连接 OC，则OC = OA  OB =a+b.
例 3 一艘渡轮要从南岸到北岸,它在静水中速度的大小为 12km/h，方向正北. 若水流速度的大小为 12km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度.
解 如图所示，AC 表示船在静水中的速度, AB 为水流速度. 以 AB、AC 为邻边作⏥ABCD，由向量加法的平行四边
形法则可知， AD 是船的实际航行速度.在 RtΔABC 中，
因此, 船实际航行的速度大小是 13km/h,方向为北偏东 22°37’.
例 2进一步从几何角度巩固向量加法的三角形和平行四边形法 则，也表明两种法则实质是一致的 例 3借助实际问题展示数学知识的应用性
巩固练习
练习 2.2.1
如图所示，分别求作下列情形下的向量 a+b.
如图所示，已知向量 a、b、c,则
化简.
某同学从 A 地向东走 2km 到达 B 地,又向北走 2km
到达 C 地.试求该同学的位移 AC 的大小和方向.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
情境导入
向量的减法运算
我们知道，实数 x 减去实数 y 相当于加上 y 的相反数，即 x−y= x +(−y)，向量的减法如何定义呢？
提问
引导启发
分析
思考交流
类比
实数减法
探索新知
向量 a−b 称为向量 a 与 b 的差.求两个向量差的运算称为向量的减法，也称 a−b 为差向量．
类似实数的减法，我们用向量的加法定义向量的减法.即
a−b= a +(−b)，
也就是减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.如图所示，向量 a=OA ， b=OB ，则
讲解
说明
展示讲解
理解
思考
领会理解
类比实数减法以及结合图示进行验 证，
直观
探究与发现
试说出向量减法的几何意义.
展示图像
观察思考
易于学生理 解 ,提出向量减法的几何意
义
典型例题
例 4 如图(1)所示，已知向量 a 、b，求作向量 a−b.

解 如图(2)所示，在平面上任取一点 O，作OA=a ，OB=b ，则向量 BA 为所求的差向量，即 BA=a  b .
提问引导讲解强调
思考分析解决交流
帮助学生进一步体会向量减法的几何
意义
巩固练习
练习 2.2.2
已知向量 a、b，如图所示，分别画出向量 a−b.
填空.
已知⏥ABCD，如图所示，试用向量 AB 和 AD 分别表示向量CA 、 BD 、 DB .
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
情境导入
向量的数乘运算
在 2004 年奥运会上，刘翔以 12.91s 的成绩获得男子 110m 跨栏比赛冠军，成为第一个获得径赛直道项目冠军的亚洲人.男子 110m 跨栏，从第 1 栏到第 9 栏，每相邻两栏之间间隔 9.14m.记第 1 栏到第 2 栏的位移为 s1，第 1 栏
到第 3 栏的位移为 s2，……，从第 1 栏到第 9 栏的位移为
s8，如图所示.试问，位移 s1，s2，…，s8，具有怎样的关系？
提问引导启发
分析思考交流
借助实例说明向量数乘运
算，
透课程思政教育
探索新知
容易看出，位移 s1、s2 的方向相同，它们的模满足
|s2|=2|s1|.因此，位移 s2 是位移 s1 与位移 s1 的和，即 s2=s1+s1.沿用运算习惯，即为 s2=2s1.类似地，可以得到，s3=3s1，…， s8=8s1.
一般地，实数 λ 与向量 a 的乘积仍是一个向量，记作
λa. λa 的模为|λa|= |λ||a|.
当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ0 时，向量 λa 可以看作由向量 a 伸长或缩短 λ 倍得到；当 λ