高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）3.2.1 双曲线的标准方程优秀教学设计

这是一份高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）3.2.1 双曲线的标准方程优秀教学设计，共7页。
3.2 双曲线
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课
时长
4 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课以“广州塔”为例创设情境，帮助学生形成对双曲线的直观感受，然后通过一个实验展示了双曲线形成的过程，引导学生分析双曲线上的点所满足的几何条件，为建立双曲线的标准方程创造条件.然后，与椭圆标准方程的推导类比进行双曲线标准方程的推导，有理化过程学生课后自行完成，在类比介绍焦点在 y 轴上的双曲线标准方程.最后，借助双曲线的图像，分别研究焦点不同坐标
轴的双曲线的几何性质.
教学目标
知道双曲线的概念及形成过程，知道如何化简形成双曲线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据双曲线的方程说出双曲线的几何性质，能根据条件求出双曲线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建
模等核心素养.
教学
重点
根据条件求双曲线的标准方程，根据标准方程分析双曲线的几何性质．
教学
难点
双曲线标准方程的推导与化简．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑,广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？
提出
思考
帮助
问题
学生
分析
形成
情境
引发
双曲
导入
思考
回答
线形
状的
直观
感受
可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的
讲解
理解
通过
两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人
实验
们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？
展示
新知
我们可以通过一个实验来完成.
取一条拉链,把它拉开分成两条，将其中一条剪短.把长的一条的端点固定在点 F1 出，短的一条的端点固定在点 F2 处；
将笔尖放在拉链锁扣 M 处，随着拉链的拉开或闭
说明
思考
画双曲线的过程，
为建
探索
合，笔尖就画出一条曲线(图中右边的曲线)；
(3)再把拉链短的一条的端点固定在点 F1 处，长的一条的端点固定在点 F2 处.类似
地，笔尖可面出另一条曲线
展示图形引发思考
结合图形思考问题
立双曲线的标准方程创
造条
(图中左边的曲线).
件
拉链是不可伸缩的，笔尖
(即点 M)在移动过程中，与两个点 F1、F2 的距离之差的绝对值始终保特不变.
一般地，把平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹称为双曲线. 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦
距.
说明
领会
情境导入
3.2.1 双曲线的标准方程
我们利用椭圆的对称性建立了平面直角坐标系，并推导了椭圆的标准方程.对于双曲线，如何建立适当的坐标系
求它的方程呢？
提出问题引发
思考
思考
分析回答
渗透类比的思
想
以经过双曲线两焦点 F1、F2 的直线为 x 轴，以线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设 M(x,y)为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为
2c(c>0)，则焦点 F1、F2 的坐标分别为(-c,0)、(c,0).
又设双曲上的点 M 与焦点的距离之差的绝对值为 2a (a>0)，即||MF1|-|MF2||=2a，则有|MF1|-|MF2|=±2a.
于是，有
(x  c)2  y2  (x  c)2  y2  2a，
移项得(x  c)2  y2  (x  c)2  y2  2a
两边平方得
(x  c)2  y2  (x  c)2  y2  4a (x  c)2  y2  4a2
整理得cx  a2  a (x  c)2  y2，
两边再平方，整理得 a4 +c2 x2  a2 x2  a2c2  a2 y2 ，移项并整理得 (c2  a2 )x2  a2 y2  a2 (c2  a2 ) .
由双曲线的定义可知 2c＞ 2a＞ 0，即 a ＞c ＞0 ，因此
c2  a2  0 .令c2  a2  b2 (b  0) ，则上式可化为
b2 x2  a2 y2  a2b2 .
两边同时除以a2b2，得
讲解
理解
通过
把几
何问
说明
思考
题转
化为
代数
问题
展示
领会
从而
使几
何问
题可
讲解
理解
以通
过代
数运
算来
解决
探索
新知
展示
结合
图形
图形
引发
思考
思考
问题
展示
数形
x2  y2 

1(a＞0,b＞0).
a2b2
方程称为双曲的标准方程. 此时双曲线的焦点 F1 和
F2 在 x 轴上，焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0).
如图所示，以经过双曲线两焦点 F1、F2 的直线为 y 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 x 轴，建立平面直角坐标系.类似地，可以求得双曲线的标准方程为
y2  x2 
1 (a＞0,b＞0).
a2b2
此时双曲线的焦点 F1 和 F2 的坐标分别为(0,-c)、(0, c).
图形
结合
引发
讨论
思考
问题
类比
介绍
焦点
在 y
轴上
的双
曲线
的标
准方
程
例 1 根据条件，求双曲线的标准方程.
(1)焦点在 x 轴上，焦距为 14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为 6；
(2)焦点为 F1(0,-6)和 F2(0,6)，双曲线上一点 M 的坐标为(2,-5).
解 (1)由于 2c=14，2a=6，故 c=7，a=3，从而 b²=c²- a²
=40. 因为双曲线的焦点在 x 轴上，故双曲线的标准方程为
x2  y2 

1；
940
(2)由双曲线的定义知，||MF1|-|MF2||=2a，即
2a 2  02  5  62 2  02  5  62 ，
化简得 2a  4 5 ，即
a  2 5 .
又因为 c=6，所以 b²= c²-a²=36-20=16.
由题设可知，双曲线的焦点在 y 轴上.因此，双曲线的标准方程为
y2  x2 

1.
2016
例 2 已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距.
x2  y2 
(1)1；(2) x²-y²=-8.
324
提问
思考
例 1
引导
分析
让学
生理
讲解
解决
解求
强调
交流
双曲
线的
指导
主动
标准
求解
方程
的关
键是
求出
典型
a²和
例题
b²
例 3
是求
焦点
解 (1)因为含 x 项的系数为正，所以椭圆的焦点在 x 轴上，并且 a²=32，b²=4.于是有
c²= a²+b²=32+4=36，
从而可得c=6 ，2c=12．
所以，双曲线分别为(-6,0)、(6,0)，焦距为 12． (2)将双曲线的方程化成标准方程，为
y2  y2 
1 ．
88
因为含 y 项的系数为正，所以双曲线的焦点在 y 轴上，并且 a²=8，b²=8.于是有
c²= a²+b²=16，
从而可得c=4，2c=8.
所以，双曲线的焦点分别为(0,-4)、(0,4)，焦距为 8.
温馨提示
要判断双曲线的焦点在哪个坐标轴上，可将双曲线的方程化为标准方程.然后，观察标准方程中含 x 项与含 y 项的符号，哪项的符号为正，焦点就在哪个坐标轴上.
和焦
距的
问
题，
引导
学生
先将
双曲
线方
程化
为标
准形
式
练习 3.2.1
1. 根据条件，求双曲线的标准方程.
a=2、焦点在 x 轴上，且分别为 F1(-4,0)、F2 (4,0)；
b=3，焦点在 y 轴上，且分别为 F1(0,-5)、F2 (0,5).
己知椭圆的焦距为 2 13 ，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为 4，求双曲线的标准方程.
写出下列双曲线的焦点坐标和焦距.
y2  x2 
(1) 9x²-7y²=63； (2)1.
425
x22
4.求证：双曲线 y  1 与椭圆 9x²+25y²=225 的焦
15
点相同.
提问
思考
及时
掌握
学生
巡视
动手
掌握
巩固
求解
情况
练习
查漏
补缺
指导
交流
3.2.2 双曲线的几何性质
前面，我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质. 那么，如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？
提出
思考
提示
情境导入
问题引发
思考
分析回答
学生与椭
圆类
比
探索
x2y2
下面以 1 a  0，b  0 为例．
a2b2
1.范围
x2y2y2
将双曲线的标准方程化为1 . 因为≥ 0 ，
a2b2b2
x222
所以双曲线上点的横坐标满足≥1 ，即 x ≥ a .于是有
a2
新知
探索新知
x≤-a 或 x≥a.这说明，双曲线的两支分别位于直线 x=-a
的左侧与直线 x=a 的右侧，如图所示.
对称性
类似于前面关于椭圆对称性的研究， 借助于方程
x2  y2    
a2b21 a0，b0 可以发现，双曲线关于 x 轴、y 轴
和坐标原点都是对称的.x 轴与y 轴都称为双曲线的对称轴,坐标原点称为双曲线的对称中心(简称中心).
顶点
令y=0，得到x=±a.因此，双曲线与x 轴有两个交点 A1(- a,0) 和A2(a,0)(如图).双曲线与它的对称轴的两个交点 A1 、 A2 称为双曲线的顶点，线段 A1A2 称为双曲线的实轴，它的长等于 2a，a 是双曲线的实半轴长.
令 x=0，得到 y²=-b²，这个方程没有实数解. 因此，双曲线与 y 轴没有交点. 我们仍将点 B1(0,-b)与 B2(0,b)画在 y轴上，如图所示.线段 B1B2 称为双曲线的虚轴，它的长等于 2b，b 是双曲线的虚半轴长.
显然,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．
渐近线
经过点 A1、A2 分别作 y 轴的平行线 x=-a，x=a,经过点 B1、B2分别作 x 轴的平行线 y=-b，y=b. 这
四条直线围成一个矩形，如图所示.矩形的两条对角线所在直线的
方程为 yb x .
 
a
观察右图可以看出，双曲线的两支向外延伸时，分别与这两
条直线逐渐接近但又永不相交， 我们把这两条直线
讲解说明
展示
讲解
讲解
说明
展示
讲解
理解思考
领会
理解
理解
思考
领会
理解
椭圆的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方 法，培养学生科学严谨的科学精神．
确定双曲线范围的目的是用描点法画图时可以不取
范围
x2y2
称为双曲线 1 的渐近线.
a2b2
借助双曲线的标准方程，可以更严格地描述渐进线的性质. 将双曲线的标准方程变为
可以看到，当|x|无限增大时，y 的值无限接近于 b x 或
a
 b x 的值. 这说明， 当|x|无限增大时， 双曲线与直线
a
y  b x 或 yb x 无限接近(但不能相交).
 
aa
5.离心率
c
双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率，
a
记作 e.即
e  c .
a
因为 c＞a＞0，所以双曲线的离心率 e＞1. 由
bc2  a2c2
 1  e2  1
aaa2
可以看出，e 越b 的值越大，从而渐近线 yb x
大， 
aa
的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大.因此，离心率 e 反映了双曲线的“张口”大小.
探究与发现
为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？
讲解
说明
展示
讲解
展示图片引发思考
理解
思考
领会
理解
感受图形特征讨论
交流
外的点，这为后续介绍画双曲线的大致曲线奠定基础
在介绍顶点、实 轴、虚轴的同时，要帮助学生理清
a、b、 c 在图形中的呈现
体现数学知识的应用
典型例题
例 3求双曲线 4y²-16x²=64 实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.
x2  y2 

解 将双曲线的方化为标准方程1.由此可知，双
164
曲线的焦点在 y 轴上，a²=16，b²=4，c²= a²+b²=20.从而 a=4，b=2，c=2 5 .
于是，双曲线的实轴长 2a=8，虚轴长 2b=4，焦点坐标
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
强调先将双曲线化为标准方程，
规范
为0,-2 5  ， 0, 2 5  ，顶点坐标为(0,-4)、(0,4)，离心率
e  c 5 ，渐近线方程为 y   b  2x .
a2a
例 4 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
一个焦点的坐标为(10,0)，一条渐近线的方程为 3x- 4y=0；
焦距为 12,离心率为 3 .
2
解 (1) 由题设可知，双曲线的焦点在 x 轴上，渐近线的方
程为y  3 x .
4
于是有
a2  b2  100,

b3
a  4 .
解得
a2  8,
 b  6.

因此，所求的双曲线的标准方程为
x2  y2 

1 ；
6436
(2)由已知条件可知 2c=12，因此 c=6.又e  c  3 ，
a2
故 a=4，故 b²= c²-a²=20.
于是，当双曲线的焦点在 x 轴上时，所求双曲线的标
x2  y2 

准方程为1 .当双曲线的焦点在 y 轴上时，所求
1620
y2  x2 

双曲线的标准方程为1 .
1620
x2  y2 
例 5 用“描点法”画出双曲线1 的图形.
169
分析 双曲线具有对称性,因此只需先画出双曲线在第一象限内的图形,然后对称性地画出全部图形.
解 当 y≥0 时，双曲线的方程可以变形为 y  3 x2 16
4
(x≤-4 或 x≥4).
在[4,+∞)上,选取几个整数作为 x 的值，计算出对应的
y 值，列表
提问引导
讲解强调
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
思考分析
解决交流
解题步骤
再次强调先确定双曲线的焦点位置，再求出 a2
和
b2
注重强化学生动手作图的能力，特别要介绍双
曲线
以表中的 x 值为横坐标,对应的 y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点得到双曲线在第一象限中的图形. 然后利用对称 性，画出全部图形.
温馨提示
我们可以利用双曲线的顶点和渐近线，画出双曲线的大致图像.具体步骤如下：
由 a²=16，得 a=4，得到双曲线的两个顶点 A1(-4,0)、A2(4,0)；
由 b²=9，得 b=3，得到双曲线的虚轴端点 B1(0,- 3)、B2(0,3) ；
作出由直线 x=±4、y=±3 所围成的矩形,画出矩形两条对角线所在的直线,即双曲线的两条渐近线；
依据双曲线经过实轴端点，且逐渐接近渐近线这一特点，画出大致图像.
例 6 已知 A、B 两个哨所相距 1600m，在 A 哨所听到炮弹爆炸声比在 B 哨所晚 3s.求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(声速为 340 m/s).
分析 根据题意，由 A、B 两处听到爆炸声的时间差可算出 A、B 两处与爆炸点的距离差，它是一个定值. 因此，爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上，又因为爆炸点距离 A 处比距离 B 处远，所以爆炸点应在该双曲线中靠近 B处的一支上.
解 如图所示，建立平面直角坐标系，使 A、B 两点在 x 轴上，且坐标原点为线段 AB 的中点.
设爆炸点 M 的坐标为(x,y)，则
|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有
2a=1020，a=510，a²=260100.
因为|AB|=1600，
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
大致图像的画法
体现知识的实际应用
所以2c=1600，c=800，
b²=c²-a²=379900.
又|MA|-|MB|=1020>0. 故爆炸点 M 在双曲线的右支上，从而 x≥510.因此，所求曲线方程为
探究与发现
能否用一根无弹性细绳、一把直尺、几颗图钉和一支笔画出双曲线？
巩固练习
练习 3.2.2
1. 求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标，离心率与渐近线方程.
(1) x²-9y²=81；(2) 9x²-4y²=-36.
求满足下列条件的双曲线的标准方程.
焦点在 x 轴上，实轴长为 8，虚轴长为 3；
焦点在 y 轴上，焦距是 16， e  4 ；
3
顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是 8， e  5 ；
4
渐近线方程为 y  5 x ，其中一个焦点坐标为
12
(0,-13).
x2y2
3.求以椭圆+ 1 的焦点为顶点、以椭圆的顶点
58
为焦点的双曲线的标准方程.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生掌握情况查漏补缺
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习