中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）3.3.1 抛物线的标准方程优质课教案及反思

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）3.3.1 抛物线的标准方程优质课教案及反思，共6页。教案主要包含了端固定在画板上的点等内容，欢迎下载使用。
3.3 抛物线
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一上册）
授课
时长
4 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课以“平南三桥”为例创设情境，帮助学生形成直观感受“生活中的抛物线”.然后通过一个实验展示里抛物线的形成过程，引导学生分析抛物线上的点所满足的几何条件，为建立抛物线的标准方程创造条件，通过建立合适的平面直角坐标系，推导了焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程. 最后，借助抛物线的图像，从抛物线的范围、对称性、顶点、离心率四个方面研究了抛物线的几
何性质.
教学目标
知道抛物线的概念及形成过程，知道如何化简形成抛物线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据抛物线的方程说出抛物线的几何性质，能根据条件求出抛物线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建
模等核心素养.
教学
重点
抛物线的标准方程及性质.
教学
难点
抛物线标准方程四种情形的区分和应用．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
平南三桥位于广西壮族自治区，是 2020 年建成的世界上最大的跨径拱桥，多项技术填补了世界拱桥空白，成为“中国桥梁”建造的新名片. 观察下图，桥拱的轮廓线是什么图形？有什么特点？
提出
问题
思考
创设情境帮助学生直观感受 “生活中的抛物 线”
分析
引发
思考
回答
情境
导入
可以看出，拱桥的轮廓线是一条形如彩虹的曲线，人
讲解
理解
引导
们称之为抛物线．那么，如何画出抛物线呢？
学生
新知探索
我们可以通过一个实验来完成.
将一把直尺固定在画板上，再取一个直角三角板,紧靠直尺 的一边 l 放置：
取一条拉链，把它的一端固定在三角板的顶点 C 处，另一 端固定在画板上的点 F 处；
将笔尖(点 M)放在拉链锁扣处保持锁扣与 C 端的拉链部分始终在 CA 上，让三角板靠紧直
说明
展示图形引发思考
思考
结合图形思考问题
分析抛物线上的点所满足的几何条 件，为建
尺并沿直尺边缘滑动，笔尖随之移 动，就画出了一段曲线；
立抛
(4)当直角三角板的边 AC 经过点下时，向下翻转三角板．保持锁扣与 C 端的拉链部分始终在 CA 上，让三角板靠紧直尺继续沿直尺边缘滑动，笔尖又画出一段曲线.
显然,笔尖(即点 M )始终保持到定点 F 的距离与到直尺边 l 的距离相等(|MF|=|MC|).
一般地，把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距
离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点 F 称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线.
说明
领会
物线的标准方程创造条件
3.3.1 抛物线的标准方程
我们从椭圆和双曲线的定义出发，通过建立合适的平面直角坐标系，分别求出了椭圆和双曲线的方程. 那么，如何从抛物线的定义出发，建立恰当的平面直角坐标系来
求出抛物线的方程呢？
提出
思考
渗透
情境导入
问题引发思考
分析回答
类比的思想
取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴；记 x 轴与准线 l 的交点为 E，以线段 EF 的垂直平分线为 y 轴，如图所示.
设焦点到准线的距离为 p(p>0)，即|EF|=p，则焦点 F
pp
的坐标为(, 0) ，准线 l 的方程为 x  .
22
设 M(x,y)为抛物线上的任意一点，点 M 到 l 的距离为
|MN|，则有
|MF|=|MN|.
p 2p
于是，可得 x   y2  x .
2 2
将上式两边平方得
p 2p 2
 x   y2   x  .
2 2 
展开并整理得
y²=2px(p>0).
上面方程称为抛物线的标准方程.
类似地，通过建立不同的平面直角坐标系，可以得到
讲解
理解
注意
强调
抛物
说明
思考
线方
程中
参数
p 的
展示
观察
几何
图像
图像
意
引发
分析
义，
思考
问题
引导
学生
观察
探索
讲解
理解
图像
与标
新知
准方
程之
间的
联
系，
引导
学生
观察
图像
与标
准方
程之
间的
联
系，
抛物线其他三种形式的标准方程：y²=-2px，x²=2py，
x²=-2py. 它们的焦点坐标、准线方程及图形归纳见表:
指导
分析
正确
区别
总结
比较
四种标准方 程 .可归纳为 “一次定轴，正负定
向”．
例 1 根据条件，求抛物线的标准方程.
焦点为 F(0,-3)；
准线方程为 x=1；
焦点在 y 轴的正半轴上，并且 p=3.
解 (1)由于焦点在 y 轴的负半轴上，故抛物线有形如
x²=-2py 的标准方程. 因为 p  3 ，所以 p=6，从而抛物
2
线的标准方程为 x²=-12y；
由准线方程为 x=1 可知，焦点在 x 轴的负半轴上，
故抛物线有形如 y²=2px 的标准方程. 因为 p  1 ，所以
2
p=2，从而抛物线的标准方程为 y²=-4x；
由于焦点在 y 轴的正半轴上，故抛物线有形如 x²=2py 的标准方程. 引起 p=3，所以抛物线的标准方程为 x²=6y.
例 2 求下列抛物线的交点坐标和准线方程. (1)y²=8x；(2)x²+4y=0.
解 (1)由抛物线标准方程可知，抛物线的焦点在 x 轴的正
半轴上，并且 2p=8，因此 p=4， p  2 .于是抛物线的焦点
2
提问
思考
例 1
引导
分析
是利
用定
讲解
解决
义直
强调
交流
接解
决问
指导
主动
题
求解
典型
例题
例 2
要引
导学
生先
将抛
坐标为(2,0),准线方程为 x=-2；
(2)将抛物线的方程化为标准方程，为 x2=-4y. 容易看出，抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上，并且-2p=-4，因此
p=2， p  1 .于是，抛物线的焦点坐标为(0,-1)，准线方程
2
为 y=1.
温馨提示
判断抛物线的焦点在哪个坐标轴上是解决有关抛物线问题的关键，为此可将抛物线方程化为标准方程，观察标准方程中的一次项，如果一次项含变量 x，并且系数为正(或为负)，则焦点在 x 轴的正半轴(或负半轴)上；如果一次项含变量，并且系数为正(或为负)，则焦点在 y 轴的正
半轴(或负半轴)上.
物线
方程
化为
标准
形式
练习 3.3.1
1. 根据条件，求抛物线的标准方程.
焦点为 F(2,0)；
焦点为 F(0,-1)；
准线方程为 y=-4；
准线方程为 x  3 .
2
2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
y2=10x；
x2-2y=0；
2y2+10x=0；
x2+6y=0.
3.求抛物线 y²=-12x 上到焦点的距离等于 9 的点坐标.
提问
思考
及时
掌握
学生
巡视
动手
掌握
巩固练习
求解
情况查漏补缺
指导
交流
3.3.2 抛物线的几何性质
前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几
何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？
提出
思考
提示
情境
问题
分析
学生
导入
引发
回答
进行
思考
类比
探索新知
下面以抛物线的标准方程 y²=2px 为例，研究抛物线的几何性质.
范围
在方程 y²=2px 中，由 p>0， y²≥0，可知 x≥0. 这表明，抛物线在 y 轴的右侧，如图所示. 当 x 的值增大时，y²的值也随着增大，即|y| 的值增大. 这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸.这说明,抛物线向右上方和右下方无限延伸.
对称性
在方程中，将 y 换成-y，方程不改变.这说明抛物线关于 x 轴对称.一般地，把抛物线的对称轴称为抛物线的轴.
顶点
在方程中，令 y=0，得 x=0. 因此,抛物线的顶点为原点.一般地，抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点.
离心率
抛物线上的点 M 到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率，记作 e. 由抛物线的定义知，e=1.
探究与发现
为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？
讲解
说明
展示
讲解
讲解
展示说明
理解
思考
领会
理解
理解
思考领会
抛物线的性质与椭圆、双曲线比较起来差别比较大
探究与发现体现数学知识的
应用
典型例题
例 3 根据条件，求抛物线的标准方程.
关于 y 轴对称，且过点 P(4,-2) ；
对称轴为坐标轴，且过点 P(10,5).
解 (1)由于物线关于 y 轴对称，而点 P 为第四象限的点，故抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上.
设拋物线的标准方程为 x2=-2py(p>0).将点 P 的坐标
(4,-2)代人方程，得 42=-2p·(-2)，解得 p=4.因此，抛物线的标准方程为 x2=-8y； (2)设所求抛物线的标准方程为：
y²=2p1x 或 x2=-2p2y，
将点 P 的坐标(10,5)分别代人上述两个方程，得 5²=2p1×10
或 102=-2p2×5，解得
p  5 或 p =10.
142
故抛物线的标准方程为
y2  5 x 或 x2=20 y.
2
温馨提示
当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论.
提问引导
讲解强调
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
思考分析
解决交流
例 3要强调不明确抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论
例 4用“描点法”画出抛物线 y²=4x 的图形.
分析 抛物线具有对称性，因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形.
解 当 y≥0 时,抛物线的方程可以变形为 y²=2x (x≥0).
在[0,+∞)上，选取几个整数作为 x 的值，计算出对应的
y 值，列表
以表中的 x 值为横坐 标，对应的 y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出 相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物 线在第一象限内的图形. 然后利用对称性，画出全部 图形.
例 5 如图(1)所示，一条隧道的顶部是抛物线拱，拱高为
2m，跨度为 6m，求拱形纵截线所在的抛物线方程.
解 以拱形纵截线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为 y轴，建立平面直角坐标系，如图(2)所示，则抛物线方程可设为 x²=-2py.
设拱形的两个端点分别为点 A、B.则由拱高为 2m 和跨度为 6m 可得 AB 两点的坐标分别为(-3,-2)、(3,-2)．把点
B 的坐标代人方程 x²=-2py，可得 p  9 .
4
因此，拱形纵截线所在的拋物线方程为 x29 y
 
2
(-3≤x≤3).
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
例 4作图时，利用了抛物线的轴对称性，要注意直观想象素养的培养
例 5是抛物线的实际应用问题
巩固练习
练习 3.3.2
1. 根据条件，求抛物线的标准方程.
准线方程为 x=4；
焦点为 F(0,-3)；
关于 x 轴对称，且过点(5,-4)；
对称轴为坐标轴，且过点(6,3).
2. 在直角坐标系中，画出下列拋物线的图像.
提问
思考
及时掌握学生掌握情况
查漏
(1) y²=-6x ; (2)x²=9y.
已知拋物线的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，抛物线上一点 P(-3,m)到焦点的距离为 5，求拋物线的标准方程.
已知垂直于 x 轴的直线交抛物线 y²=6x 于 A、B 两点，且|AB|=8 3 ，求直线 AB 的方程.
巡视
指导
动手求解
交流
补缺
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习