全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 12直角三角形存在性问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 12直角三角形存在性问题（含答案解析版），共19页。

一、几何法：两线一圆得坐标
（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）
二、构造三垂直：
构造三垂直步骤：
①过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
②过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．
三、代数法：表示线段构勾股
（1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；
（2）表示线段：，，；
（3）分类讨论：当为直角时，；
（4）代入得方程：，解得：．
小结：
几何法：（1）“两线一圆”作出点；
（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．
代数法：（1）表示点A、B、C坐标；
（2）表示线段AB、AC、BC；
（3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；
（4）代入列方程，求解．
如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．
例．（2024•酒泉二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．点D为直线BC上的一动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，理由：
设点D（x，﹣x+3），
由点A、C、D的坐标得，AC2＝10，AD2＝2x2﹣4x+10，CD2＝2x2，
当AD为斜边时，AC2+CD2＝AD2，
则2x2﹣4x+10＝2x2+10，
解得：x＝0（舍去）；
当CD或AC为斜边时，
同理可得：10+2x2﹣4x+10＝2x2或10＝2x2﹣4x+10+2x2，
解得：x＝0（舍去）或5或1，
即点D（5，﹣2）或（1，2）．
对应练习：
1．（2024春•兰山区校级月考）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，
x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）对称轴上存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形；理由如下：
∵B（3，0），C（0，﹣3），设N（1，t），
则：BC2＝32+32＝18，
BN2＝22+t2＝t2+4，
CN2＝12+（t+3）2＝t2+6t+10，
当BC边为斜边时：
BN2+CN2＝BC2，
t2+6t+10+t2+4＝18，
解得：，，
∴，；
当BN边为斜边时：
BC2+CN2＝BN2，
t2+6t+10+18＝t2+4，
解得：t＝﹣4，
∴N3（1，﹣4）；
当CN边为斜边时：
BC2+BN2＝CN2，
t2+4+18＝t2+6t+10，
解得：t＝2，
∴N4（1，2）；
综上所述：存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，，，N3（1，﹣4），N4（1，2）．
2．（2024•富顺县二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上是否存在点M，使三角形ACM是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+2）（x﹣4），
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）存在，理由：
∵y＝的图象交y轴于点C，
∴C（0，﹣4），
∵A（﹣2，0），
∴yAC＝﹣2x﹣4，
当以点A为直角顶点时，设直线AM的解析式为，
∵A（﹣2，0），
∴b＝1，
∴直线AM的解析式为．
联立上式和抛物线的表达式得：x+1＝x2﹣x﹣4，
解得：x＝﹣2（舍去）或5，
即点M（5，3.5）；
当以点C为直角顶点时，
同理可得：直线AM的解析式为．
联立上式和抛物线的表达式得：x﹣1＝x2﹣x﹣4，
解得：x＝0（舍去）或3，
即点M（3，﹣2.5）．
综上所述，M1（5，），M2（3，）．
3．（2024•秭归县模拟）在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（1，﹣5），求抛物线L2对应的函数关系式；
（2）是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线L2对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在抛物线L1：中，令y＝0，则，
解得：x＝﹣4或x＝2，
即点A（﹣4，0），点B（2，0），
根据题意，设抛物线L2的函数关系式为：y＝a（x+4）（x﹣2），
将点（1，﹣5）代入得：﹣5＝a（1+4）（1﹣2），
解得：a＝1，
∴抛物线L2的函数关系式为：y＝（x+4）（x﹣2）＝x2+2x﹣8；
（3）假设存在，设点P的坐标为（﹣1，m），
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴，，，
当点P在x轴上方时，
由题意得AC2+PC2＝AP2，即，
解得m＝4，
即点P的坐标为（﹣1，4），
将点（﹣1，4）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：4＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2），
解得：，
∴抛物线L2的函数关系式为：；
当点P在x轴下方时，
由题意得AC2+AP2＝PC2，即，
解得m＝﹣6，
即点P的坐标为（﹣1，﹣6），
将点（﹣1，﹣6）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：﹣6＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2），
解得：，
∴抛物线L2的函数关系式为：；
综上，抛物线L2的函数关系式为：或．
4.（2024•遂宁）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，
抛物线的对称轴为直线x＝1，
则点P、C关于抛物线对称轴对称，
则点P（2，﹣3），
设Q（m，m2﹣2m﹣3），
∵∠OPQ＝90°，
∴OP2+PQ2＝OQ2，
∴[（0﹣2）2+（0+3）2]+[（2﹣m）2+（﹣3﹣m2+2m+3）2]＝[m2+（m2﹣2m﹣3）2]
整理得：3m2﹣8m+4＝0，
解得：m1＝，m2＝2（舍去），
∴m＝，
∴Q（，﹣）；
5．（2024•锦江区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），连接线段AC和线段BC．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若动点E从A点出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时，动点F从点B出发以每秒个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点停止运动，设动点运动时间为t秒，求当t为何值时，△BEF为直角三角形．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）由点B、C的坐标得，tan∠ABO＝，则cs∠ABO＝，
当∠FEB为直角时，
则点E、F的横坐标相同，
即﹣1+t＝4﹣BF•cs∠ABO，即﹣1+t＝4﹣t×，
解得：t＝；
当∠EFB为直角时，
则cs∠ABO＝＝＝，
解得：t＝，
综上，t＝或；
6．（2024春•威远县校级期中）已知：二次函数y＝x2+bx+c的顶点P在直线y＝﹣4x上，并且图象经过点A（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）D是线段BP上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，E点的坐标为（a，0）.在BP上是否存在点D，使△DCE为直角三角形？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线顶点坐标为（m，﹣4m），则抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣4m，
把A（﹣1，0）代入y＝（x﹣m）2﹣4m中得：（﹣1﹣m）2﹣4m＝0，
解得m＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
∵DE⊥x，E点的坐标为（a，0），
∴D（a，2a﹣6），
∴CE2＝a2+32＝a2+9，DE2＝（6﹣2a）2＝4a2﹣24a+36，CD2＝（a﹣0）2+（2a﹣6+3）2＝5a2﹣12a+9，
当∠DCE＝90°时，则CE2+CD2＝DE2，
∴5a2﹣12a+9+a2+9＝4a2﹣24a+36，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为；
当∠CDE＝90°时，则CE2＝CD2+DE2，
∴5a2﹣12a+9+4a2﹣24a+36＝a2+9，2a2﹣9a+9＝0，
解得或a＝3（舍去），
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或．
7．（2023秋•新会区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）二次函数的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？如果存在，请直接写出答案，如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于点C（0，﹣2），代入得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）二次函数的对称轴上存在点P，使△PBC是直角三角形；理由如下：
∵，
∴对称轴为，
∴可设P点坐标为，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴，
∵△PBC为直角三角形，
∴有∠BPC＝90°、∠CBP＝90°和∠BCP＝90°三种情况，
①当∠BPC＝90°时，则有BP2+CP2＝BC2，
即，
解得或t＝，
此时P点坐标为或；
②当∠CBP＝90°时，则有BC2+BP2＝CP2，
即，
解得，
此时P点坐标为；
③当∠BCP＝90°时，则有BC2+CP2＝BP2，
即，
解得，
此时P点坐标为；
综上可知，二次函数的对称轴上存在点P，使△PBC是直角三角形；P点的坐标为或或或．
8．（2024•凉州区二模）如图，已知：关于y的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式．
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标．
【解答】解：（1）由C（0，6）的坐标知，c＝6，
即抛物线的表达式为：y＝x2+bx+6，
将点A的坐标代入上式得：4+2b+6＝0，
解得：b＝﹣5，
则二次函数的表达式为：y＝x2﹣5x+6；
（2）令y＝0，则x2﹣5x+6＝0，
解得：x＝2或x＝3，
∴B（3，0），抛物线对称轴是直线x＝，
∴BC2＝32+62＝45，
设P点坐标为（0，m），
则CP2＝（6﹣m）2，BP2＝32+m2＝9+m2，
当∠CBP＝90°时，
则BC2+BP2＝CP2，即45+9+m2＝（6﹣m）2，
解得：m＝，
则P点坐标为（0， ）；
当∠CPB＝90°时，
则CP2+BP2＝BC2，即45＝9+m2+（6﹣m）2，
解得：m＝0或6（舍去），
则P点坐标为（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0， ）或（0，0）；
9．（2023秋•伊通县校级月考）如图①，二次函数y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A、C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连接AB．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求直线AB的解析式；
（3）如图②，点P是x轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接PB，过点P作PQ∥AB，与抛物线的另一个交点为Q，M、N为AB上的两点，且PM∥y轴，QN∥y轴．
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
【解答】解：（1）由题意得：
，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；
（2）当x＝0时，y＝﹣5，
当y＝0时，
x2﹣4x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴A（5，0），B（0，﹣5）；
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则：
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣5；
（3）①设点P的横坐标为t，
则M（t，t﹣5），
P（t，t2﹣4t﹣5），
∴PM＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣t2+5t；
（ⅰ）如图②，当∠BPM＝90°时，
∵OA＝OB＝5，
∴∠ABO＝45°，
∵PM∥y轴，
∴∠BMP＝∠ABO＝45°，
∴BP＝MP，
∴t＝﹣t2+5t，
∴t＝4，
∴y＝42﹣4×4﹣5
＝﹣5，
∴P（4，﹣5）；
（ⅱ）如图③，当∠MBP＝90°时，
由（ⅰ）得：BM＝BP，
过M作MD⊥y轴交于D，
∴，
，
2t＝﹣t2+5t，
∴t1＝3，t2＝0（舍去），
∴y＝32﹣4×3﹣5
＝﹣8，
∴P（3，﹣8），
综上所述：点P的坐标为（4，﹣5）或（3，﹣8）；
10．（2024•娄底模拟）如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．
（1）求a的值及顶点D的坐标；
（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由y＝ax2+6ax+9a﹣8得y＝a（x+3）2﹣8，
∴顶点D的坐标为（﹣3，﹣8），
∵点B（2，0）在抛物线C上，
∴0＝a（2+3）2﹣8，
解得：a＝；
（2）如图1，连接DE，作DH⊥x轴于H，作EM⊥x轴于M，
根据题意，点D，E关于点B（2，0）成中心对称，
∴DE过点B，且DB＝EB，
在△DBH和△EBM中，
，
∴△DBH≌△EBM（AAS），
∴EM＝DH＝8，BM＝BH＝5，
∴抛物线C1的顶点E的坐标为（7，8），
∵抛物线C1由C绕点P旋转180°后得到，
∴抛物线C1的函数表达式为y＝﹣（x﹣7）2+8；
（3）∵抛物线C1由C绕x轴上的点P旋转180°后得到，
∴顶点D，E关于点P成中心对称，由（2）知：点E的纵坐标为8，
设点E（m，8），
如图2，作DH⊥x轴于H，EM⊥x轴于M，EN⊥DN于N，
∵旋转中心P在x轴上，
∴FG＝AB＝2BH＝10，
∴点H的坐标为（﹣3，0），点N的坐标为（m，﹣8），
根据勾股定理得，EF2＝82+52＝89，
显然，△AEG和△BEG不可能是直角三角形，
①当△AEF是直角三角形时，显然只能有∠AEF＝90°，
根据勾股定理得：
AE2＝AM2+EM2＝（m+8）2+82＝m2+16m+128，
AE2＝AF2﹣EF2＝（m+13）2﹣89＝m2+26m+80，
∴m2+16m+128＝m2+26m+80，
解得：m＝，
∴OP＝（m+3）﹣3＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴点P的坐标为（，0）；
②当△BEF是直角三角形时，显然只能有∠BEF＝90°，
根据勾股定理得：
BE2＝BM2+EM2＝（m﹣2）2+82＝m2﹣4m+68，
BE2＝BF2﹣EF2＝（m+3）2﹣89＝m2+6m﹣80，
∴m2﹣4m+68＝m2+6m﹣80，
解得：m＝，
∴OP＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴点P的坐标为（，0），
③当△DEF是直角三角形时，
DE2＝EN2+DN2＝162+（m+3）2＝m2+6m+265，
DF2＝DH2+HF2＝82+（m+8）2＝m2+16m+128，
i）当∠DEF＝90°时，DE2+EF2＝DF2，
即m2+6m+265+89＝m2+16m+128，
解得：m＝，
∴OP＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴点P的坐标为（，0）；
ii）当∠DFE＝90°时，DF2+EF2＝DE2，
即m2+16m+128+89＝m2+6m+265，
解得：m＝，
∴OP＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴点P的坐标为（，0）；
iii）∵DE＞EN＝16＞EF，
∴∠EDF≠90°，
综上所述，当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．