初中数学人教版（2024）九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆导学案

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆导学案，共42页。学案主要包含了例1-1，例1-2，例1-3，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式1-4，例2-1等内容，欢迎下载使用。

知识点1.圆（重点）
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
要点归纳：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
要点归纳：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
知识点2.圆的有关概念
1.弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦.
2.直径：
经过圆心的弦叫做直径.
要点归纳：
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
3.弧的有关概念：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点归纳：
①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
4.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
5.等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
知识点3.垂直于弦的直径（难点）
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的逆定理1
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理的逆定理2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
要点归纳：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
知识点4.弧、弦、圆心角的关系（重点）
1.圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等．
要点归纳：
等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
知识点5.圆周角（重点）
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
知识点6.圆内接多边形
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
1.圆内接四边形的对角互补．
2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）
考点1.圆的有关概念
【例1-1】有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③⑤的说法是错误的．故选C.
方法总结：对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条．
【例1-2】如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC.
解析：先挖掘隐含的“同圆的半径相等”、“公共角”两个条件，再探求证明△AOD≌△BOC的第三个条件，从而可证出△AOD≌△BOC，根据全等三角形对应边相等得出结论．
证明：∵OA、OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∵点C、D分别为OA、OB的中点，∴OC＝eq \f(1,2)OA，OD＝eq \f(1,2)OB，∴OC＝OD.又∵∠O＝∠O，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD.
方法总结：“同圆的半径相等”、“公共角”、“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，从而使问题迎刃而解．
【例1-3】如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．
解析：要求∠AOC的度数，由图可知∠AOC＝∠C＋∠E，故只需求出∠C的度数，而由AB＝2DE知DE与⊙O的半径相等，从而想到连接OD构造等腰△ODE和等腰△OCD.
解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，OC，OD是⊙O的半径，AB＝2DE，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E＝18°，∴∠ODC＝∠DOE＋∠E＝36°.∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，∠AOC＝∠C＋∠E＝36°＋18°＝54°.
【变式1-1】（2023秋•永善县期末）已知中最长的弦为8，则的半径是
A．4B．8C．12D．16
【分析】最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【解答】解：中最长的弦为8，即直径为8，
的半径为4．
故选：．
【点评】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
【变式1-2】．（2023秋•绥化期末）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用圆的有关定义与性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①弦是直径，错误，符合题意；
②半圆是弧，正确，不符合题意；
③过圆心的弦是直径，故错误，符合题意；
④圆心相同半径相同的两个圆是同圆，故错误，符合题意，
错误的有3个，
故选：．
【点评】主要考查圆的认识，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【变式1-3】．（2023秋•游仙区期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．若，求的度数．
【分析】先利用互余计算出，再利用半径相等得到，所以，然后利用三角形外角性质计算的度数．
【解答】解：，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了圆的认识：常常利用半径相等组成等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解决问题．
【变式1-4】．（2023秋•赣榆区月考）已知：如图，是的直径，点、在上，于，于，且，与相等吗？为什么？
【分析】连接、，由，，得到，由，得到，再根据“”可判断，则，所以弧弧，．
【解答】解：与相等．理由如下：
连接、，如图，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
考点2.垂径定理
【例2-1】如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )
A．2eq \r(3)cm B．3eq \r(2)cm
C．4eq \r(2)cm D．4eq \r(3)cm
解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝eq \r(3).∴OD＝2eq \r(3)，∴AB＝4eq \r(3).故选D.
方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．
【例2-2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的eq \(AB,\s\up8(︵)))，点O是这段弧的圆心，C是eq \(AB,\s\up8(︵))上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.
解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.
方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
【例2-3】如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是eq \(AB,\s\up8(︵))、eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠MON的度数是( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
解析：已知M、N分别是eq \(AB,\s\up8(︵))、eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.
【例2-4】如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．
解析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题．
解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×10＝5cm.
方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．
【例2-5】如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．
解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝eq \f(1,2)AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝eq \r(OA2－AD2)＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3≤OP≤5(单位：cm)．
方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．
【变式2-1】．（2024•荔湾区校级三模）如图，是的直径，于，若，，则的半径是
A．B．C．D．
【分析】先连接，由垂径定理求出的长，根据可设，则的半径，在中利用勾股定理即可求出的值，进而得出的长．
【解答】解：连接，
是的直径，于，，
，
，
设，则，，
在中，
，即，解得，
．
故选：．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【变式2-2】．（2024•新疆）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为
A．1B．2C．3D．4
【分析】先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题．
【解答】解：是的直径，且，
．
在中，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．
【变式2-3】．（2024•溧阳市一模）如图，是城市雨水排水管道的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度是
A．B．C．D．
【分析】过点作的垂线，交于点，交于点，连接，根据已知条件求出的长度，在中利用勾股定理求出的长度，再根据垂径定理求出的长度即可．
【解答】解：过点作的垂线，交于点，交于点，连接．
，，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查垂径定理，熟练掌握勾股定理及垂径定理是本题的关键．
【变式2-4】．（2024•凉州区二模）点，，都在上，且，若，的半径为5，连接，求的长．
【分析】连接，，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接，，
，
，
垂直平分，即，
，
，
的半径为5，
，
，
．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的基本性质，解题的关键是利用所判定的垂直，结合垂径定理得到．
【变式2-5】．（2024•南郑区校级一模）如图，为的直径，，垂足为，，垂足为，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求的半径．
【分析】（1）根据垂径定理得出，，根据线段垂直平分线性质得出，，求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可；
（2）根据等边三角形的性质得出，根据等边三角形的性质得出，求出，再根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1），过圆心，
，
，
同理，，
，
是等边三角形，
；
（2）是等边三角形，
，
，，
，
，
，，
即，
解得：（负数舍去），
，
即的半径为2．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
考点3.圆心角、弦、弧之间的关系
【例3-1】如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )
A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OCB
解析：根据圆心角的概念，∠ABC、∠OAB、∠OCB的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的∠AOB的顶点在圆心，是圆心角．故选B.
方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
【例3-2】如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是eq \(BE,\s\up8(︵))的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE的大小是( )
A．40° B．60° C．80° D．120°
解析：∵C、D是eq \(BE,\s\up8(︵))的三等分点，∴eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝eq \f(1,3)×(180°－60°)＝40°，∴∠COE＝80°.故选C.
方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【例3-4】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).
解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．
证法1：如图所示，连接OC，OD，则OC＝OD.∵OA＝OB.又M，N分别是OA，OB的中点，∴OM＝ON.又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴∠1＝∠2.∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).
证法2：如图①所示，分别延长CM，DN交⊙O于点E，F.∵OM＝eq \f(1,2)OA，ON＝eq \f(1,2)OB，OA＝OB，∴OM＝ON.又∵OM⊥CE，ON⊥DF，∴CE＝DF，∴eq \(CE,\s\up8(︵))＝eq \(DF,\s\up8(︵)).又∵eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \f(1,2)eq \(CE,\s\up8(︵))，eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \f(1,2)eq \(DF,\s\up8(︵)).∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).
图①图②
证法3：如图②所示，连接AC，BD.由证法1，知CM＝DN.又∵AM＝BN，∠AMC＝∠BND＝90°，∴△AMC≌△BND.∴AC＝BD，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).
方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
【变式3-1】（2024•丛台区校级三模）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是
A．B．C．D．无法确定
【分析】如图，取弧的中点，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题．
【解答】解：如图，取弧的中点，连接，．
，，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间等分关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线．
【变式3-2】．（2024•桓台县一模）如图，的直径与弦交于点，且．若弧的度数为，则弧的度数为
A．B．C．D．
【分析】连接，，由弧的度数为，求出，由等腰三角形的性质得到，求出，即可得到，即可求出弧的度数
【解答】解：连接，，
弧的度数为，
，
，
，
，
，
，
，
弧的度数是．
故选：．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是由弧的度数为，求出．
【变式3-3】如图所示，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，∠B＝70°，则∠A＝________．
解析：由eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，得这两条弧所对的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A的度数为40°.故答案为40°.
方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．
【变式3-4】（2024•武威二模）如图，在中，，．求证是等边三角形．
【分析】由，推出，根据，推出，即可证明是等边三角形．
【解答】证明：，
，
，
，
是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【变式3-5】．（2024•武威三模）如图，在中，、是直径，且交圆于，求证：．
【分析】首先连接，由，可证得，，然后由，可得，继而证得，则可证得：．
【解答】证明：连接，
，
，，
，
，
，
．
【点评】此题考查了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式3-6】．（2024•凉州区二模）如图，在中，，，直径于点，连接，．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
【分析】（1）根据垂径定理可得，进而根据圆周角定理，即可求解；
（2）根据垂径定理可得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解．
【解答】解：（1），
，
，
，
；
（2），
，
，
在中，，
，
，
．
【点评】本题考查了垂径定理，弧与圆心角的关系，勾股定理，关键是垂径定理的应用．
【变式3-7】．（2024•安徽模拟）如图1，是的弦，点和点是上的点，和交于点，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，点是上一点且，与交于点，求证：．
【分析】（1）由等弦对等弧，可得，进而得到，根据等弧所对圆周角相等，和等角对等边，即可求解，
（2）由等弧所对圆周角相等，可得，结合，可得，结合同弧所对圆周角相等，可得，等角对等边，即可求解，
【解答】证明：（1）连接，，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，
，
，
，
，
，
又，，
，
．
【点评】本题考查了等弦对等弧，等弧所对圆周角相等，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
考点4.圆周角定理
【例4-1】如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于( )
A．25° B．30° C．35° D．50°
解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.
【例4-2】如图所示，点C在以AB为直径的⊙O上，AB＝10cm，∠A＝30°，则BC的长为________．
解析：由AB为⊙O的直径得∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，因为∠A＝30°，所以BC＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×10＝5cm.
【例4-3】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.
解析：连接BE构造Rt△ABE，由AD是△ABC的高得Rt△ACD，要证∠BAE＝∠CAD，只要证出它们的余角∠E与∠C相等，而∠E与∠C是同弧AB所对的圆周角．
证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AB,\s\up8(︵))，∴∠E＝∠C，∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.
方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．
【变式4-1】如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：由BD是直径得∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角，∴∠A＝∠BDC＝60°.故选C.
【变式4-2】如图，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，∠A＝30°，则∠B＝( )
A．150° B．75° C．60° D．15°
解析：因为eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因为∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°，故选B.
方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．
【变式4-3】（2023•西湖区校级三模）如图，点A、B、C在圆O上，若∠A＝50°，则∠OBC 的度数为（ ）
​
A．40°B．45°C．50°D．55°
【分析】根据圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形性质，它们均为几何中重要知识点，必须熟练掌握．
【变式4-4】（2023•西湖区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，则∠ABC＝ ．
【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AED＝100°，
∴∠BED＝∠BCD+∠ABC＝80°，
∴∠ABC＝∠BED﹣∠BCD＝80°﹣30°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．
【变式4-5】．（2024•突泉县二模）已知：如图，为的直径，点为上一点，过点作，交于点、．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，点为上一点，连接交直径于点，连接，若，求证：．
【分析】（1）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求解即可；
（2）连接，根据圆周角定理求出，根据平行线的性质求出，，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，再根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可．
【解答】（1）解：如图1，连接，
为的直径，，
，
，，
，
，
；
（2）证明：如图2，连接，
为的直径，
，
，
，
，，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理及平行线的性质，熟记圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
【变式4-6】．（2024•康县模拟）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）利用圆周角定理即可解决问题；
（2）连接．证明是等边三角形，解即可解决问题．
【解答】解：（1）连接．
，是的直径，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）连接．
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
考点5.圆的内接四边形
【例5-1】如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．
解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠D＝60°.
【例5-2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E＝∠A.
证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．
eq \x( 方法总结：圆内接四边形对角互补.)
【变式5-1】．（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（ ）
A．65°B．115°C．130°D．140°
【分析】根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
【变式5-2】．（2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是 °．
【分析】连接OD，根据等边三角形的性质得到∠C＝60°，再根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，BC＝2CD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△COD为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式5-3】．（2023秋•广陵区月考）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．
（1）求证∠DAB＝∠DCE；
（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠DCB＝180°，根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∵∠DCE+∠DCB＝180°，
∴∠DAB＝∠DCE；
（2）解：∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式5-4】．（2023秋•台江区校级月考）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．求证：∠DAE＝∠DAC．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠DCB，根据圆内接四边形的性质得到∠DAE＝∠DCB，根据圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC，等量代换证明结论．
【解答】证明：∵DB＝DC
∴∠DBC＝∠DCB
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAE＝∠DCB，
∴∠DAE＝∠DBC，
由圆周角定理得，∠DAC＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠DAC．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
一．选择题（共7小题）
1．（2024春•秦安县校级月考）如图，是的直径，若，是的中点，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】连接，根据题意得出，进而根据是的中点，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接，
是的直径，
，
，
，
，
是的中点，则，
，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形，等弧所对的圆周角相等，正确记忆相关知识点是解题关键．
2．（2024•文山州一模）如图，是的直径，、为圆上两点，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：连接，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出是解此题的关键．
3．（2024春•兴化市期末）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】连接，如图，根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据同弧所对的圆周角相等得到．
【解答】解：连接，如图，
是的直径，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
4．（2024•凉州区三模）如图，已知为的直径，于点，于点．若过圆心，．则四边形的面积为
A．B．C．D．
【分析】根据垂径定理求出，，，求出，求出，求出，解直角三角形求出和，求出、、，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：如图，连接，
为直径，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
同理，，
，，、过，
由垂径定理得：，，
四边形的面积．
故选：．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键．
5．（2024•永昌县三模）如图，是半圆的直径，、、三点依次在半圆上，若，，则与之间的关系是
A．B．C．D．
【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质定理，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，由直径所对的圆周角是直角可知，最后根据即可得到与之间的关系．
【解答】解：连接、、，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
6．（2024•秦安县校级三模）如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】连接，利用圆周角定理及角的和差求得的度数，进而求得的度数．
【解答】解：如图，连接，
，
优弧所对的圆心角为，
，
，
故选：．
【点评】本题考查圆周角定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
7．（2024•深圳模拟）苏州园林中的月亮门是中国古典园林住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小明同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径AB为2.4米，水平木条BD和铅锤木条CD长都为0.4米，点C恰好落在⊙O上，则此月亮门的半径为（ ）
A．2.1米B．2.0米C．1.9米D．1.8米
【分析】过O作ON⊥AB于N，过C作CM⊥ON于M，由垂径定理得AN＝NB＝AB＝1.2米，再证四边形CDNM是矩形，则MN＝CD＝0.4米，CM＝DN＝BD+BN＝1.6（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程求解．
【解答】解：过O作ON⊥AB于N，过C作CM⊥ON于M，如图2所示：
则AN＝NB＝AB＝1.2米，∠OND＝∠CMN＝90°，
∵DC⊥AB，
∴∠CDN＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝0.4米，CM＝DN＝BD+BN＝1.6（米），
设该圆的半径长为r米，
根据题意得，ON﹣OM＝0.4，
∴﹣＝0.4，
∴r＝2，
经检验r＝2是方程的根，
即此月亮门的半径为2米．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，掌握垂径定理的应用是解题的关键．
二．填空题（共9小题）
8．（2024•罗湖区模拟）如图，的弦、的延长线相交于点，，，则 ．
【分析】由圆周角定理求出，由三角形外角的性质得到．
【解答】解：，，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，关键是由圆周角定理得到．
9．（2024•惠农区模拟）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径约为 28 （结果保留整数）
【分析】设主桥拱半径，根据垂径定理得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【解答】解：如图，连接、、，交于点，
由题意可知，，，
设主桥拱半径为 ，
，
是半径，，
，
在中，，
，
解得．
故答案为：28．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于的方程解决问题．
10．（2024•益阳三模）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．
【分析】首先利用在直线上的同侧有两个点、，在直线上有到、的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．
【解答】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．
此时最小，且等于的长．
连接，，
，
，
，
，
，
，
则，又，
则．
【点评】此题主要考查了确定点的位置，垂径定理的应用．
11．（2024•北京）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则 55 ．
【分析】设与相交于点，根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角可得互余，从而利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答．
【解答】解：设与相交于点，
的直径平分弦（不是直径），
，
，
，
，
，
故选：55．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
12．（2024•雨花台区模拟）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，，
是的直径，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13．（2024春•巴彦县校级月考）如图，在中，弦、交于点，若的半径为1，，，则的度数为 ．
【分析】先证明是等腰直角三角形，是等边三角形，再根据其性质和三角形内角和定理即可得解．
【解答】解：连接、、、如图所示，
的半径为1，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，是等边三角形，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形和等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
14．（2024•盱眙县校级模拟）如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则 ．
【分析】设垂直平分于点，连接，根据可知，则，进而求出，推出，根据圆周角定理求出．
【解答】解：设垂直平分于点，连接，
是的直径，弦垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理以及垂径定理，解直角三角形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．（2024•陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
【分析】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系，再结合三角形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：是所对的圆周角，
．
，
．
又，
，
，
即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键．
16．（2024•罗湖区校级模拟）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接．若，，则的半径长为 10 ．
【分析】设，利用勾股定理根结合方程求解．
【解答】解：是的直径，弦，
，
设，则有，
解得．
故答案为：10．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三．解答题（共3小题）
17．（2023秋•金湾区期末）如图，是的直径，，求的度数．
【分析】连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
【解答】解：连接，如图，
是的直径，
，
，
．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
18．（2024•浙江）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：①；
②．
【分析】（1）根据圆周角定理进行计算即可；
（2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论；
②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可．
【解答】（1）解：为直径，
，
，
，
；
（2）证明：①如图，延长，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
；
②过点作交于点，则，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质是正确解答的关键．
19．（2024•蚌埠二模）如图，中两条互相垂直的弦，交于点，经过点，是的中点，连接并延长，交于点．
（1）若，，求的长；
（2）求证：．
【分析】（1）通过垂径定理和勾股定理求得的长；
（2）通过证明得到，从而证明．
【解答】（1）解：是的中点，
垂直平分，
，
，
；
（2）证明：，
，
是斜边的中点，
，
，
和都是弧所对的圆周角，
，
，，
，
，
，
，
．模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
了解圆及弦、弧（劣弧、优弧）圆心角、圆周角、等圆、等弧、圆内接多边形等有关概念。
通过观察实验，认识圆的对称性，理解圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及其推论解决实际问题。
掌握弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
掌握圆周角定理及其推论，并能进行相关的证明和算计。