人教版（2024）九年级上册22.3 实际问题与二次函数课后测评

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一、单选题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·九年级专题练习）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式为若小球在第秒与第秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是（ ）
A．第秒B．第秒C．第秒D．第秒
3．（2022·浙江杭州·九年级期末）竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为，其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第3秒B．第3.5秒C．第4秒D．第6秒
4．（2022·全国·九年级）如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（ ）
A．6sB．4sC．3sD．2s
5．（2022·江苏·九年级专题练习）在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（ ）
A．98mB．78.4mC．49mD．36.2m
6．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，某拱形门建筑的形状时抛物线，拱形门地面上两点的跨度为192米，高度也为192米，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，可用函数表示，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（ ）
A．1mB．1.5mC．2.5mD．2m
8．（2022·河北石家庄·三模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（ ）
A．①②B．②④C．③④D．①④
9．（2022·全国·九年级单元测试）在某圆形喷水池的池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若喷出的抛物线形水柱解析式为（0≤x≤3），则水管长为( )
A．1mB．2mC．mD．3m
10．（2022·江苏·九年级专题练习）过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4B．5C．7D．9
二、填空题
11．（2022·全国·九年级专题练习）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为____m．
12．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，铅球运动员掷铅球的高度 (m)与水平距离 (m)之间的函数关系式是： ，则该运动员此次掷铅球的成绩是________ m.
13．（2022·江苏·九年级专题练习）某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了_______米．
14．（2022·江苏·九年级专题练习）飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行______s后，才会停下来．
15．（2022·全国·九年级专题练习）如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB//x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm则右轮廓线DFE所在抛物线的函数表达式为 ___（不用写x的取值范围）．
16．（2022·河北唐山·九年级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为______．
17．（2022·福建省福州第一中学九年级开学考试）向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的函数表达式为，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第 __秒．
18．（2022·全国·九年级单元测试）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．
19．（2022·全国·九年级专题练习）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是，该型号飞机着陆后滑行的最大距离是______．
三、解答题
20．（2022·全国·九年级课时练习）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；
(3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．
21．（2022·全国·九年级专题练习）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）
(1)直接写出c＝ ；
(2)求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
(3)该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.
22．（2022·江苏·九年级专题练习）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
23．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
24．（2022·山东·临沂第六中学九年级阶段练习）某校九年级的场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮网中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．
(1)建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中?
(2)此时，若对方队员乙在甲前面1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功?
25．（2022·湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学九年级阶段练习）如图水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．试求水柱落点距O点4m时的喷头高度．
26．（2022·湖南湘西·九年级期末）某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元．当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．根据以上材料解答下列问题：设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益＝日租金收入-平均每日各项支出）．
(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为多少元？（用含x的代数式表示）；
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·九年级单元测试）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB=4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（ ）
A．0.1B．0.15C．0.2D．0.25
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（ ）
A．小球落地点距O点水平距离为7米
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m
D．小球距斜坡的最大铅直高度为
3．（2022·全国·九年级专题练习）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．18°B．36°C．41°D．58°
二、填空题
4．（2022·全国·九年级单元测试）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
5．（2022·四川广安·九年级专题练习）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．
6．（2022·全国·九年级课时练习）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．
三、解答题
7．（2022·福建·福州立志中学九年级开学考试）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示.已知大棚在地面上的宽度OA为8米，距离O点2来处的棚高BC为米.
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米?
(3)若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米?
8．（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校九年级阶段练习）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高，在长度为的两支柱和之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式；
(2)求支柱的长度；
(3)拱桥下面拟铺设行车道，要保证高的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于），行车道最宽可以铺设多少米？
9．（2022·山东·宁阳县第十一中学九年级阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m水面CD的宽是10m．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗？
(3)现有一艘船以每小时5km的速度向此桥径直驶来，当船距此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位在CD处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？
10．（2022·全国·九年级专题练习）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
11．（2022·云南红河·九年级期末）在校运动会上，小华在某次试投中，铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分，如图所示建立平面直角坐标系．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？
12．（2022·全国·九年级单元测试）某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中，水池的正中心有一支高度为 的喷水管，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，最高处距喷水管水平距离为．
(1)求在如图所示的平面直角坐标系中的抛物线水柱的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)求这个的喷水管的水柱落水处离水池中心的距离是多少？
13．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的，如图所示，水柱的最高点为M，，，水嘴高，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求出图中抛物线的表达式．
14．（2022·浙江·九年级专题练习）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
(1)直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围）
(2)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
(3)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
15．（2022·广西·罗城仫佬族自治县教育局教研室二模）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽与桥面长均为24m，点E在上，，测得桥面到桥拱的距离为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱顶部O离水面的距离；
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆是形状相同的抛物线，，其最低点与桥面的距离均为1m．求拱桥抛物线与钢缆抛物线的垂直距离的最小值．
16．（2022·湖北·广水市教学研究室二模）如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形组成，矩形的长是16m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-x2+bx+c表示，CD为一排平行于地面的加湿管．
(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
(2)若加湿管的长度至少是12m，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？
(3)若在加湿管上方还要再安装一排恒温管(两排管道互相平行)，且恒温管与加湿管相距1.25m，恒温管的长度至少是多少米？
17．（2022·河南平顶山·九年级期末）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处．有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线，该抛物线在轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，的值随值的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围．
18．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O处长抛篮球的路线示意图，球在点A处离手，且．第一次在点D处落地，然后弹起在点E处落地，篮球在距O点的点B处正上方达到最高点，最高点C距地面的高度，点E到篮球框正下方的距离，篮球框的垂直高度为．据试验，两次划出的抛物线形状相同，但第二次的最大高度为第一次的，以小明站立处点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求篮球第二次的落地点E到点O的距离．（结果保留整数）
(3)若小明想一次投中篮球框，他应该向前走多少米？（结果精确到）（参考数据：）
19．（2022·河北保定外国语学校一模）图1是运动员训练使用的带有乒乓球发射机的乒乓球台示意图，水平台面的长和宽分别为和，中间球网高度为，发射机安装于台面左侧边缘，能以不同速度向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为．乒乓球（看成点）在发射点P获得水平速度v（单位：）后，从发射点向右下飞向台面，点Q是下落路线的某位置，忽略空气阻力，实验表明：P，Q的竖直距离h（单位：m）与飞出时间t（单位：s）的平方成正比，且当时，；P，Q的水平距离是（单位：m），如图2．
(1)设．用t表示点Q的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的函数关系式；（不必写x的取值范围）
(2)在（1）的条件下，①若发球机垂直于底线向正前方发球，根据（1）中的函数关系式及题目中的数据，判断这次发球能否过网？是否出界？并说明理由；
②若球过网后的落点是右侧台面内的点M（如图3，点M距底线，边线），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：）
(3)将乒乓球发射机安装于台面左侧底线的中点，若乒乓球的发射速度v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上（不接触中网和底线），请直接写出v的取值范围．（结果保留根号）
20．（2022·贵州六盘水·九年级学业考试）如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，球从离地面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距离地面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线ACD的函数表达式；
(2)求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；
(3)若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的长？
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．
(1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
(2)场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
22．（2022·浙江温州·九年级专题练习）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
23．（2022·北京·九年级专题练习）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3：4，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．
(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；
(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
(3)落点P与坡顶C之间的距离为 m．