苏科版数学七年级上册期末复习专题2.4 有理数（章节复习+考点讲练）（2份，原卷版+教师版）

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知识点1：有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类： （2）按性质分类：
细节剖析
（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
细节剖析
（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
细节剖析
（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
知识点2：有理数的运算
1 ．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
细节剖析
“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
2．运算律：
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
知识点3：有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
知识点4：科学记数法、近似数及精确度
1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
细节剖析
一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
细节剖析
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.
【典例精讲】（2020秋•南京期中）某速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（ ）
A．﹣24℃B．﹣18℃C．﹣17℃D．﹣16℃
【思路点拨】根据题意可以求得速冻水饺的储藏温度的范围，本题得以解决．
【规范解答】解：∵速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，
∴速冻水饺的储藏温度是﹣20～﹣16℃，
故选项A符合题意，选项B，C，D不符合题意，
故选：A．
【考点评析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．
【变式训练1-1】（2016秋•海陵区校级期末）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 不合格 （填“合格”或“不合格”）．
【思路点拨】φ20±0.02 mm，知零件直径最大是20+0.02＝20.02，最小是20﹣0.02＝19.98，合格范围在19.98和20.02之间．
【规范解答】解：零件合格范围在19.98和20.02之间．19.9＜19.98，所以不合格．
故答案为：不合格．
【考点评析】本题考查数学在实际生活中的应用．
【变式训练1-2】（2022秋•鼓楼区校级月考）中老铁路是与中国铁路网直接连通的国际铁路，线路北起中国西南地区的昆明市，南向到达老挝首都万象市，是“一带一路”上最成功的样板工程．从长期看将会使老挝每年的总收入提升21%，若+21%表示提升21%，则﹣10%表示（ ）
A．提升10%B．提升31%C．下降10%D．下降﹣10%
【思路点拨】利用正负数表示相反意义的数来选择即可．
【规范解答】解：∵+21%表示提升21%，
∴﹣10%就表示下降10%．
故选：C．
【考点评析】本题考查了正负数，做题关键是掌握正负数表示意义相反的数．
【变式训练1-3】（2014秋•常熟市校级期末）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位：元）：
表中星期六的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏？盈亏是多少？
【思路点拨】设星期六为x元，根据题意可得等量关系：七天的盈亏数之和＝458，根据等量关系列出方程，再解方程即可．
【规范解答】解一：458﹣（﹣27.8﹣70.3+200+138.1﹣8+188），
＝458+27.8+70.3﹣200﹣138.1+8﹣188，
＝38，
因为38为正数，故星期六是盈利，盈利38元，
答：星期六是盈利38元．
解二：设星期六为x元，则：﹣27.8﹣70.3+200+138.1﹣8+x+188＝458，
x＝458+27.8+70.3﹣200﹣138.1+8﹣188，
x＝38，
因为38为正数，故星期六是盈利，盈利38元，
答：星期六是盈利38元．
【考点评析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．正确理解正负数的意义．
【典例精讲】（2022秋•宜兴市月考）把几个不相等的数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：{﹣2，7，0，2022}，以这种形式的表述的，我们称之为集合，其中大括号中的每一个数我们称之为此集合的元素，如集合{﹣2，7，0，2022}中就有﹣2，7，0，2022这4个元素．
如果一个集合满足：当有理数a是集合中的元素时，有理数6﹣a也必是这个集合中的元素，那么这样的集合我们称为“好集合”，例如集合{6，0}就是一个“好集合”．
（1）判断：集合{2，1} 不是 “好集合”；集合{8，5，3，1，﹣2} 是 “好集合”（填“是”或“不是”）；．
（2）请你写出满足条件的两个“好集合”的例子： {1，5} ； {2，4} ；
（3）在所有“好集合”中，请你写出元素个数最少的集合为 {3}
【思路点拨】（1）当有理数a是集合中的元素时，有理数6﹣a也必是这个集合中的元素，那么这样的集合我们称为“好集合”，计算后验证一下即可判断；
（2）根据有理数a是集合中的元素时，有理数6﹣a也必是这个集合中的元素这个条件尽量写元素少的集合；
（3）在所有的集合中，元素个数最少就是一个，此时a＝6﹣a，由此可求出a，也就求出了元素个数最少的集合
【规范解答】（1）解：∵6﹣2＝4，4不是集合中的元素，
∴集合{2，1}不是“好集合”，
∵6﹣8＝﹣2，6﹣5＝1，6﹣3＝3，6﹣1＝5，6﹣（﹣2）＝8，而8，5，3，1，﹣2都是该集合的元素，
∴集合{8，5，3，1，﹣2}是“好集合”；
故答案为：不是，是；
（2）解：例如{1，5}，{2，4}（合理即可）．
故答案为：{1，5}，{2，4}；
（3）解：元素个数最少的集合就是只有一个元素的集合，设其元素为x，
则有6﹣x＝x，解得x＝3，
故元素个数最少的集合{3}．
故答案为：{3}．
【考点评析】本题考查了有理数的减法、解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
【变式训练2-1】（2022秋•新吴区期中）下列各数中为有理数（ ）
A．π
B．
C．3.3030030003…
D．面积为2的正方形的边长a
【思路点拨】根据有理数和无理数的概念，即可解答．
【规范解答】解：A．π是无理数，故A不符合题意；
B．是分数，属于有理数，故B符合题意；
C．3.3030030003…是无理数，故C不符合题意；
D．面积为2的正方形的边长a，则，是无理数，故D不符合题意；
故选：B．
【考点评析】本题考查了实数，熟练掌握有理数和无理数的概念是解题的关键．
【变式训练2-2】（2018秋•江阴市校级月考）若a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是倒数等于它本身的数，则a+b+c＝（ ）
A．0B．﹣2C．0或﹣2D．﹣1或1
【思路点拨】找出最大的负整数，最小的自然数，以及倒数等于本身的数，确定出a，b，c的值．
【规范解答】解：根据题意得：a＝0，b＝﹣1，c＝1或﹣1，
则原式＝﹣1+0+1＝0，或原式＝﹣1+0﹣1＝﹣2，
故选：C．
【考点评析】此题考查了代数式求值，有理数，以及倒数，确定出a，b，c的值是解本题的关键．
【变式训练2-3】（2022秋•高港区期中）在﹣4，，0，，3.14159，1.3，0.121121112…中，有理数有 5 个．
【思路点拨】根据有理数的定义选出正确答案，有理数：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式．
【规范解答】解：在﹣4，，0，，3.14159，1.3，0.121121112…中，有理数有﹣4，，0，3.14159，1.3，共5个．
故答案为：5．
【考点评析】本题主要考查了有理数的定义，特别注意：有理数是整数和分数的统称，π是无理数．
【变式训练2-4】（2022秋•宿城区期中）把下列各数：0.618，﹣π，+17，﹣15%，，0.030030003…，﹣102填入相应的集合中：
①整数集合： +17，﹣102 ；
②负数集合： ﹣π，﹣15%，﹣102 ．
【思路点拨】由整数，负数的概念，即可分类．
【规范解答】解：①整数集合：+17，﹣102；
②负数集合：﹣π，﹣15%，﹣102．
故答案为：①+17，﹣102；②﹣π，﹣15%，﹣102．
【考点评析】本题考查整数，负数的概念，关键是准确掌握整数，负数的概念．
【典例精讲】（2022秋•钟楼区校级月考）下列各数中，无理数是（ ）
A．0.B．
C．D．3.121121121112
【思路点拨】有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断．
【规范解答】解：A．是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．3.121121121112是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：B．
【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算法则和运算顺序是关键．
【变式训练3-1】（2022秋•溧水区期末）在中，无理数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】运用无理数的概念进行辨别、求解．
【规范解答】解：∵﹣，3.5，1.3是有理数，
π，0.1010010001…是无理数，
故选：B．
【考点评析】此题考查了无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用相关概念进行正确地求解．
【变式训练3-2】（2021春•武进区校级月考）两个无理数，它们的和为1，这两个无理数可以是 π，1﹣π（答案不唯一） （只要写出两个就行）
【思路点拨】根据无理数的意义，可得答案．
【规范解答】解：π+（1﹣π）＝1，
故答案为：π，1﹣π（答案不唯一）．
【考点评析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式训练3-3】（2022秋•亭湖区校级月考）下列各数中：12，，，﹣|﹣1|，0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），其中，无理数有 2 个．
【思路点拨】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【规范解答】解：无理数有，0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），共有2个，
故答案为：2．
【考点评析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），等有这样规律的数．
【典例精讲】（2023•张家口模拟）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为﹣4，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5cm处，点C对齐刻度尺4.5cm处．
（1）在图1的数轴上，AC＝ 9 个单位长度；
（2）求数轴上点B所对应的数b为 ﹣1 ．
【思路点拨】（1）根据两点之间的距离即可得出答案；
（2）先求出1个单位长度是多少厘米，再求1.5厘米是几个单位长度，根据有理数的加法即可得出答案．
【规范解答】解：（1）5﹣（﹣4）＝9（个），
故答案为：9；
（2）4.5÷9＝0.5（厘米），
1.5÷0.5＝3（个），
b＝﹣4+3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【考点评析】本题考查了数轴，掌握如果数轴上两点A，B表示的数为a，b，那么A，B之间的距离＝|a﹣b|是解题的关键．
【变式训练4-1】（2022秋•虎丘区校级月考）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．
则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【思路点拨】根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解．
【规范解答】解：∵5.4÷（4+5）＝0.6（cm），
∴1.8÷0.6＝3，
∴﹣5+3＝﹣2，
故选：C．
【考点评析】本题考查了数轴，刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变是解题的关键．
【变式训练4-2】（2021秋•海安市校级月考）已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞bB．ab＜0C．b﹣a＞0D．a+b＞0
【思路点拨】由数轴可得b＜a＜0，从而可以判断选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【规范解答】解：∵由数轴可得，b＜a＜0，
∴a＞b，（故A正确）；
ab＞0，（故B错误）；
b﹣a＜0，（故C错误）；
a+b＜0，（故D错误）．
故选：A．
【考点评析】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，能根据各数的大小判断选项中的结论是否成立．
【变式训练4-3】（2021秋•句容市期末）如图，数轴上有A、B、C三点，C为AB的中点，点B表示的数为2，点C表示的数为﹣1，则点A表示的数为 ﹣4 ．
【思路点拨】根据数轴上两点间距离进行计算即可．
【规范解答】解：设点A表示的数为x，
∵C为AB的中点，
∴BC＝CA，
∴﹣1﹣x＝2﹣（﹣1），
∴x＝﹣4，
∴点A表示的数为：﹣4，
故答案为：﹣4．
【考点评析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．
【变式训练4-4】（2016秋•海陵区校级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ﹣4 ，点P表示的数是 6﹣6t （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【思路点拨】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5；
②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可．
【规范解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为﹣4；
点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t＝10+4t，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；
当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【考点评析】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键．
【变式训练4-5】（2022秋•相城区校级月考）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？
【思路点拨】（1）将表格中的里程数求和即可得出答案．
（2）将表格中的里程数的绝对值求和，再乘以0.2即可．
【规范解答】解：（1）5+2+（﹣4）+（﹣3）+10＝10（km）．
答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司南边10千米处．
（2）（5+2+|﹣4|+|﹣3|+10）×0.2＝4.8（升）．
答：在这过程中共耗油4.8升．
【考点评析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，熟练掌握正数和负数的意义并理清题中的数量关系是解题的关键．
【典例精讲】（2021秋•相城区校级月考）在数轴上表示下列各数：0，﹣2.5，﹣3，+5，，4.5及它们的相反数．
【思路点拨】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0，可写出已知六个数的相反数；再根据一对相反数在数轴上的位置特点，分别在原点的左右两边，并且与原点的距离相等，可把各数与其相反数在数轴上依次表示出来．
【规范解答】解：0的相反数是0，
﹣2.5的相反数是2.5，
﹣3的相反数是3，
+5的相反数是﹣5，
1的相反数是﹣1，
4.5的相反数是﹣4.5．
在数轴上可表示为：
【考点评析】本题主要考查了相反数的定义及在数轴上表示数的方法，比较简单，体现了数形结合的思想．
【变式训练5-1】（2022秋•吴江区校级月考）﹣3的相反数是（ ）
A．3B．0C．D．﹣3
【思路点拨】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【规范解答】【规范解答】解：﹣3的相反数是：3．
故选：A．
【考点评析】此题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．
【变式训练5-2】（2014秋•兴化市校级期中）﹣1的相反数是 1 ．
【思路点拨】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【规范解答】解：﹣1的相反数是1．
故答案为：1．
【考点评析】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
【变式训练5-3】．（2021秋•惠山区校级月考）记M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，M（n）＝（其中n为正整数）．
（1）计算：M（5）+M（6）；
（2）求2M（2019）+M（2020）的值；
（3）说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【思路点拨】（1）根据M（n）＝（其中n为正整数），可得M（5），M（6）；根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据乘方的意义，可得M（2019），M（2020），根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据乘方的意义，可得M（n），M（n+1），根据有理数的加法，可得答案．
【规范解答】解：（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；
（2）2M（2019）+M（2020）＝2×（﹣2）2019+（﹣2）2020＝﹣（﹣2）×（﹣2）2019+（﹣2）2020＝﹣（﹣2）2020+（﹣2）2020＝0；
（3）2M（n）+M（n+1）＝﹣（﹣2）×（﹣2）n+（﹣2）n+1＝﹣（﹣2）n+1+（﹣2）n+1＝0，
∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．
【考点评析】本题主要考查了新定义运算和有理数的混合运算，掌握规律是解答此题的关键．
【典例精讲】（2013秋•东台市校级月考）下列说法：
①有理数的绝对值一定是正数；
②一个数的绝对值的相反数一定是负数；
③互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数；
④互为相反数的两个数绝对值相等；
⑤绝对值最小的数是0；
⑥任何一个数都有它的相反数．
其中正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【思路点拨】分别根据相反数的定义及绝对值的性质进行解答即可．
【规范解答】解：①0的绝对值是0，故原来的说法是错误的；
②0的绝对值的相反数是0，故原来的说法是错误的；
③互为相反数的两个0，既不是正数，也不是负数，故原来的说法是错误的；
④互为相反数的两个数绝对值相等是正确的；
⑤绝对值最小的数是0是正确的；
⑥任何一个数都有它的相反数是正确的．
其中正确的个数有3个．
故选：D．
【考点评析】本题考查的是相反数的定义及绝对值的性质，即只有符号不同的两个数叫互为相反数；一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【变式训练6-1】（2022秋•灌云县月考）若a＜0，且|a|＝4，则a+1＝ ﹣3 ．
【思路点拨】根据绝对值的定义求出a的值，再代入计算a+1的值即可．
【规范解答】解：若a＜0，且|a|＝4，
所以a＝﹣4，
所以a+1＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【考点评析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提，求出a的值是解决问题的关键．
【变式训练6-2】（2018秋•京口区校级月考）若|x|＝9，则x＝ ±9 ．
【思路点拨】根据绝对值的性质解答即可．
【规范解答】解：若|x|＝9，则x＝±9，
故答案为：±9．
【考点评析】此题考查绝对值问题，关键是根据绝对值的性质解答．
【变式训练6-3】（2014秋•苏州期中）【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）若|x﹣2|＝5，则x＝ 7或﹣3 ；
（2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3．
（3）由以上探索猜想，对于任意有理数x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【思路点拨】（1）|x﹣2|可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，根据|x﹣2|＝5即可求得x的值；
（2）计算|x﹣2|+|x+1|＝3，求得x的取值范围即可解题；
（3）|x﹣2|+|x+3|可以理解为数轴上一个点到2和﹣3的距离，即可解题．
【规范解答】解：|x﹣2|可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
到2的距离为5的数字有7和﹣3，
故答案为7或﹣3；
（2）|x﹣2|+|x+1|＝3，
当x＜﹣1时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x﹣1﹣x＝3﹣2x＝3，x＝0（不符合题意舍去）；
当1﹣≤x≤2时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x+x+1＝3，
当x＞2时，|x﹣2|+|x+1|＝x﹣2+x+1＝2x﹣1＝3，x＝2（不符合题意舍去）；
综上所述，当﹣1≤x≤2时，x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3；
所以满足条件的整数为﹣1，0，1，2；
（3）|x﹣2|+|x+3|可以理解为数轴上一个点到2和﹣3的距离，
求证方法和（2）相同，故有最小值为5．
【考点评析】本题考查了绝对值的计算，考查了绝对值的定义．本题属于基础题，牢记绝对值定义是解题的关键．
【典例精讲】（2022秋•邗江区校级月考）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣3C．0D．3或﹣3
【思路点拨】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【规范解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，
又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
a+b＝1+2＝3．
故选：A．
【考点评析】本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零0是解题关键．
【变式训练7-1】（2022秋•吴江区校级月考）若|a﹣2|与|b+4|互为相反数，则a+b的值为 ﹣2 ．
【思路点拨】由|a﹣2|与|b+4|互为相反数，得出|a﹣2|+|b+4|＝0，从而求出a、b的值，即可得到结果．
【规范解答】解：∵|a﹣2|与|b+4|互为相反数，
∴|a﹣2|+|b+4|＝0，
∴a﹣2＝0，b+4＝0，
解得a＝2，b＝﹣4，
∴a+b＝2﹣4＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【考点评析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式训练7-2】（2022秋•秦淮区校级月考）已知b、c满足|b﹣1|+|c+|＝0，则b+c的值是 ．
【思路点拨】根据绝对值的非负性，求出b、c的值，再代入计算即可．
【规范解答】解：∵|b﹣1|+|c+|＝0，
∴b﹣1＝0，c+＝0，
解得b＝1，c＝﹣，
∴b+c＝1﹣＝，
故答案为：．
【考点评析】本题考查绝对值的非负性，掌握“几个非负数的和为0，则这些非负数均为0”是解决问题的关键．
【变式训练7-3】（2018秋•钟楼区校级月考）阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x取值范围是 ﹣1≤x≤2 ，最小值是 3 ”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”
小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：
①当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值时，相应x＝ 4 ，最小值是 4 ．
②已知y＝|2x+8|﹣|4x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值，写出解答过程．
【思路点拨】阅读理解：根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；
（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；
（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．
【规范解答】解：阅读理解：当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x取值范围是﹣1≤x≤2，最小值是3，
故答案为﹣1≤x≤2，3；
（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值时，相应的x＝4，最小值是4；
故答案为4，4；
（2）当x≥﹣时y＝﹣2x+6，当x＝﹣时，y最大＝7；
当﹣4≤x≤﹣时，y＝6x+10，当x＝﹣时，y最大＝7；
当x≤﹣4，时y＝2x﹣6，当x＝﹣4时，y最大＝﹣14，
所以x＝﹣时，y有最大值y＝7．
【考点评析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，（2）分类讨论是解题关键．
【典例精讲】（2022秋•姜堰区月考）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB＝OC，则下列结论中，①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c＝b；④＝1．其中正确的是 ②③ ．（填序号）
【思路点拨】根据图示，可得c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|＝|c|，据此逐项判定即可．
【规范解答】解：①∵c＜a＜0，b＞0，
∴abc＞0，
∴选项①不正确；
②∵c＜a＜0，b＞0，|b|＜|c|，
∴b+c＜0，
∴a（b+c）＞0，
∴选项②正确；
③∵OA+OB＝OC，
∴|a|+|b|＝|c|，
∴﹣a+b＝﹣c，
∴a﹣c＝b，
∴选项③正确；
④++
＝﹣1+1﹣1
＝﹣1，
∴选项④不正确，
∴正确的个数有2个：②③．
故答案为：②③．
【考点评析】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
【变式训练8-1】（2022秋•句容市月考）下面算式与的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】根据有理数的加减混合运算法则计算即可得出答案．
【规范解答】解：由于
＝
＝
＝
＝．
对于A选项，
＝
＝﹣
＝，
故A选项不符合；
对于B选项，
＝
＝
＝，
故B选项不符合；
对于C选项，
＝
＝
＝，
故C选项符合；
对于D选项，
＝
＝
＝，
故D选项不符合．
故选：C．
【考点评析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式训练8-2】（2022秋•如皋市校级月考）将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（ ）
A．20﹣3+5﹣7B．﹣20﹣3+5+7C．﹣20+3+5﹣7D．﹣20﹣3+5﹣7
【思路点拨】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号．
【规范解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣20+3+5﹣7．
故选：C．
【考点评析】把同号得正，异号得负运用到省略括号和加号的形式中，可使计算更简单不易出错．
【变式训练8-3】（2021秋•江阴市校级月考）规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝ 0 （直接写出答案）．
【思路点拨】根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【规范解答】解：根据题意得：1﹣2+3+4+6﹣5﹣7＝0．
故答案为：0．
【考点评析】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式训练8-4】（2022秋•鼓楼区校级月考）厂家检测10个足球的质量，每个足球的标准质量为265克，将每个足球超过克数记为正数，不足克数记为负数，这10个足球称重后的记录为：+1，+1，﹣1.3，+1.5，﹣1，+1.2，+1.3，﹣1.2，+1.4，+1.1．这十个足球的质量共是 2655 克．
【思路点拨】先求解10个足球质量与标准值的差值的和，再与10个足球的标准值相加即可求解．
【规范解答】解：+1+1﹣1.3+1.5﹣1+1.2+1.3﹣1.2+1.4+1.1＝5（克），
265×10+5＝2655（克），
所以这十个足球的质量一共是2655克，
故答案为：2655．
【考点评析】本题主要考查正数与负数，有理数的混合运算，理解正数与负数的意义是解题的关键．
【变式训练8-5】（2022秋•兴化市校级期末）在2022年8月的北碚山火救灾中，位于山腰的2号物资集散地作为重要的物资中转站，8月21日结束时还剩矿泉水16箱，集散地矿泉水的进出情况如下表（运进记作“+”．运出记作“﹣”），经过五天奋战，8月26日结束时还剩矿泉水36箱．
（1）直接写出a、b、c的值：a＝ ﹣36 ；b＝ 0 ；c＝ ﹣22 ；
（2）请通过计算求出哪一天结束时2号物资集散地矿泉水数量最多？
（3）由于地势陡峭，2号物资集散地矿泉水的进出运输都只能由“山城骑士”摩托车队完成，为保证安全，每位骑士一次只能运输2箱矿泉水，则需要多少人次才能完成这五天的任务？
【思路点拨】（1）根据题意可求出22日﹣26日每天结束时剩余的矿泉水数量，即可求出a，b，c的值；
（2）求出22日﹣26日每天结束时剩余的矿泉水数量即可求解；
（3）将22日﹣26日每天运出与运进的矿泉水数量相加再除以每位骑士一次只能运输2箱矿泉水即可求解．
【规范解答】解：（1）∵8月21日结束时还剩矿泉水16箱，
∴8月22日结束时还剩矿泉水：16+24＝40（箱），
8月23日结束时还剩矿泉水：40+16＝56箱，
8月23日结束时还剩矿泉水40+52+a＝56，即a＝﹣36，
8月24日结束时还剩矿泉水：56+（﹣10）＝46（箱），
8月25日结束时还剩矿泉水：46+12＝58（箱），
8月26日结束时还剩矿泉水36箱，
∴36﹣58＝﹣22，即c＝﹣22，
∴b+（﹣22）＝c，即b+（﹣22）＝﹣22，
解得b＝0，
故答案为：﹣36，0，﹣22；
（2）由（1）得8月25日结束时还剩矿泉水数量最多；
（3）2号物资集散地矿泉水的进出运输数量是：54+30+52+36+40+50+64+52+22＝400，
∵每位骑士一次只能运输2箱矿泉水，
∴400÷2＝200，
答：需要200人次才能完成这五天的任务．
【考点评析】本题主要考查了正数和负数和有理数的混合运算，理解题意掌握正数和负数表示相反意义的量和有理数的混合运算法则是解题的关键．
【变式训练8-6】（2020秋•泗阳县期中）某县教育局倡导全民阅读行动，婷婷同学坚持阅读，她每天以阅读30分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她一周阅读情况的记录（单位：分钟）：
（1）星期五婷婷读了 28 分钟；
（2）她读得最多的一天比最少的一天多了 23 分钟；
（3）求她这周平均每天读书的时间．
【思路点拨】（1）列出算式，再求出即可；
（2）用其中最大的正整数减去最小的负整数即可；
（3）先求出读书的总时间，再除以7即可．
【规范解答】解：（1）30﹣2＝28（分钟），
即星期五婷婷读了28分钟；
故答案为：28；
（2）13﹣（﹣10）＝23（分钟），
即她读得最多的一天比最少的一天多了23分钟；
故答案为：23；
（3）9+10﹣10+13﹣2+0+8＝28（分钟），
28÷7+30＝34（分钟），
答：她这周平均每天读书的时间为34分钟．
【考点评析】本题考查了正数与负数的意义，正确理解正数与负数的意义是解题的关键．
【典例精讲】．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为9，E点表示的数为9100，AB＝BC＝CD＝DE，则数999所对应的点在线段 AB 上．
【思路点拨】先根据AB＝BC＝CD＝DE，计算出每一个线段的长度，再把AB的长度与999﹣9进行比较即可．
【规范解答】解：∵A点表示数为9，E点表示的数为9100，
∴AE＝9100﹣9，
∵AB＝BC＝CD＝DE，
∴，
∴B点表示的数为，
∵
＝，
∴＞0，
∴数999所对应的点在B点左侧，
∴数999所对应的点在AB点之间，
故答案为：AB．
【考点评析】本题考查了数轴，掌握两点之间的距离是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键．
【变式训练9-1】（2021秋•丰县校级月考）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 256 根细面条．
【思路点拨】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【规范解答】解：根据题意得：28＝256，
故答案为：256
【考点评析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
【变式训练9-2】（2022秋•灌云县期中）下列各数：0，﹣80，，（﹣1）3，+|﹣2|，﹣（+62），其中属于负整数的共有 3 个．
【思路点拨】先化简（﹣1）3，+|﹣2|，﹣（+62），再根据负整数的含义可得答案．
【规范解答】解：∵（﹣1）3＝﹣1，+|﹣2|＝2，﹣（+62）＝﹣62，
∴0，﹣80，，（﹣1）3，+|﹣2|，﹣（+62）中的负整数有：﹣80，（﹣1）3，﹣（+62）共3个，
故答案为：3．
【考点评析】本题考查的是有理数的分类，乘方运算的含义，掌握“负整数的含义以及乘方运算的运算法则”是解本题的关键．
【变式训练9-3】（2021秋•六合区期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣）④＝ 4 ；
（2）除方也可以转化为幂的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×××＝（）2．试将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝ （）2 ；（）⑩＝ 28 ；aⓝ＝ （）n﹣2 ；
（3）计算：22×（﹣）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②．
【思路点拨】（1）根据除方的定义计算即可；
（2）把除法转化为乘法即可得出答案；
（3）根据除方的定义计算即可．
【规范解答】解：（1）2÷2÷2＝，
（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×（﹣2）×（﹣2）＝4，
故答案为：，4；
（2）（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）＝（）2，
÷÷＝1×2×2×2×2×2×2×2×2＝28，
＝1×＝（）n﹣2，
故答案为：，28，；
（3）原式＝
＝4×9×（﹣2）﹣1
＝﹣72﹣1
＝﹣73．
【考点评析】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘除法，体现了转化思想，掌握除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数是解题的关键．
【典例精讲】（2021秋•江都区期末）若（a+3）2+|b﹣2|＝0，则ab＝ 9 ．
【思路点拨】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【规范解答】解：根据题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣3，b＝2，
所以，ab＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
【考点评析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式训练10-1】（2022秋•海安市校级月考）设a是任意有理数，下列说法正确的是（ ）
A．（a+1）2的值总是正的B．a2+1的值总是正的
C．﹣（a+1）2的值总是负的D．a2+1的值中，最大值是1
【思路点拨】根据偶次方的非负性，即a2≥0进行判断即可．
【规范解答】解：（a+1）2≥0，A错误；
a2+1＞0，B正确；
﹣（a+1）2，≤0，C错误；
a2+1的值中，最小值是1，D错误，
故选：B．
【考点评析】本题考查的是偶次方的非负性，掌握a2≥0是解题的关键．
【变式训练10-2】（2022秋•涟水县期中）已知x，y满足|x﹣5|+（x﹣y﹣1）2＝0，则（x﹣y）2022的值是（ ）
A．5B．﹣1C．4D．1
【思路点拨】先根据非负数的性质列出关于x，y的方程组，求出x，y的值代入代数式进行计算即可．
【规范解答】解：由题意，解得，
所以原式＝（5﹣4）2022＝1．
故选：D．
【考点评析】本题考查的是非负数的性质，熟知当几个数或式的偶次方或绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
【变式训练10-3】（2018秋•清江浦区期中）已知：|x﹣3|+（y+1）2＝0，则xy＝ ﹣3 ．
【思路点拨】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【规范解答】解：∵|x﹣3|+（y+1）2＝0，
∴x﹣3＝0，y+1＝0，
∴x＝3，y＝﹣1，
∴xy＝3×（﹣1）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【考点评析】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
【变式训练10-4】（2017秋•灌南县期中）已知（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，z是绝对值最小的有理数，求（x+y）y+xyz的值．
【思路点拨】根据题意z是绝对值最小的有理数可知，z＝0，且互为相反数的两数和为0，注意平方和绝对值都具有非负性．
【规范解答】解：∵（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，
∴（x+3）2+|y﹣2|＝0，
∵（x+3）2≥0，|y﹣2|≥0，
∴（x+3）2＝0，|y﹣2|＝0，即x+3＝0，y﹣2＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∵z是绝对值最小的有理数，∴z＝0．
（x+y）y+xyz＝（﹣3+2）2+（﹣3）×2×0＝1．
故答案为：1
【考点评析】本题主要考查了非负数的性质．
初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
【典例精讲】（2022秋•秦淮区期末）计算的结果是 ．
【思路点拨】设，化简求解即可．
【规范解答】解：设，
原式＝
＝
＝．
故答案为：．
【考点评析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据题意把看作一个整体．
【变式训练11-1】（2021秋•梁溪区校级期中）已知m是最小的正整数，n是最大的负整数，a，b互为相反数，x，y互为倒数，则m2+n3+a+b﹣xy的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【思路点拨】利用相反数、倒数的性质，以及最小的正整数为1，最大负整数为﹣1求出各自的值，代入原式计算即可求出值．
【规范解答】解：根据题意得：m＝1，n＝﹣1，a+b＝0，xy＝1，
则原式＝1﹣1+0﹣1＝﹣1．
故选：B．
【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练11-2】（2022秋•江都区期中）如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则输出的结果y是（ ）
A．25B．30C．45D．40
【思路点拨】依据程序图按要求列出算式计算即可．
【规范解答】解：（﹣）×（﹣4）﹣（﹣1）＝2+1＝3＜10，
再次输入运算：
3×（﹣4）﹣（﹣1）＝﹣12+1＝﹣11＜10，
再次输入运算：
（﹣11）×（﹣4）﹣（﹣1）＝44+1＝45＞10，
∴输出的结果y45，
故选：C．
【考点评析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是操作型题目，依据程序图按要求列出算式是解题的关键．
【变式训练11-3】（2015秋•东台市月考）根据“二十四点”游戏的规则，用仅含有加、减、乘、除及括号的运算式（每个数字只能用一次），使12，﹣12，3，﹣1的运算结果等于24： 3×（﹣12）×（﹣1）﹣12＝24 （只要写出一个算式即可）
【思路点拨】利用“二十四点”游戏的规则列出算式即可．
【规范解答】解：根据题意得：3×（﹣12）×（﹣1）﹣12＝24，
故答案为：3×（﹣12）×（﹣1）﹣12＝24．
【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练11-4】（2022秋•句容市月考）问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 8 cm．
（2）图中点A所表示的数是 14 ，点B所表示的数是 22 ．
实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
（3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦!”请问妙妙现在多少岁了？
【思路点拨】（1）由题意可得数6与数30之间的线段的长等于AB的三倍，根据这一关系可求结论；
（2）利用AB＝8，用6+8和30﹣8即可得出结论；
（3）依题意仿照（1）方法得到两端的数字为﹣35，115，则115﹣（﹣35）为奶奶年龄的三倍，则奶奶年龄可求，妙妙的年龄为50﹣35．
【规范解答】解：（1）由题意可得：数6与数30之间的线段的长等于AB的三倍，
∴AB＝（30﹣6）÷3＝8．
故答案为：8；
（2）∵AB＝8，
∴点A表示的数为：6+8＝14，
点B表示的数为：30﹣8＝22，
故答案为：14，22；
（3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为（﹣35）岁，
所以奶奶与妙妙的年龄差为[115﹣（﹣35）]÷3＝50（岁），
所以妙妙现在的年龄为115﹣50﹣50＝15（岁）．
【考点评析】本题主要考查了数轴，实数的混合运算，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
【变式训练11-5】（2017秋•沛县期中）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，⑤＝ ﹣8 ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 C
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；
C.3④＝4③
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；⑩＝ 28 ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
（3）算一算：．
【思路点拨】初步探究
（1）根据新定义计算；
（2）根据新定义可判断C错误；
深入思考
（1）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算；
（2）利用新定义求解；
（3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算．
【规范解答】解：初步探究
（1）2③＝，⑤＝﹣8；
（2）C选项错误；
深入思考
（1）（﹣3）④＝；5⑥＝；⑩＝28．
（2）aⓝ＝；
（3）原式＝122÷32×（﹣23）﹣34÷33
＝﹣131．
故答案为，﹣8，C，，，28，．
【考点评析】本题考查了有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【变式训练11-6】（2022秋•玄武区校级期末）计算：
（1）﹣23﹣×[4﹣（﹣3）2]；
（2）（﹣﹣）×（﹣24）．
【思路点拨】（1）先算乘方，再算括号里的运算，接着算乘法，最后算加法即可；
（2）利用乘法的分配律进行运算即可．
【规范解答】解：（1）﹣23﹣×[4﹣（﹣3）2]
＝﹣8﹣×（4﹣9）
＝﹣8﹣×（﹣5）
＝﹣8+1
＝﹣7；
（2）（﹣﹣）×（﹣24）
＝
＝﹣8+4+18
＝14．
【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【典例精讲】．（2022秋•泗阳县期末）在国家“一带一路”战略下，途经城市和国家最多的一趟专列全程为13000km．将13000用科学记数法表示应为 1.3×104 ．
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【规范解答】解：数字13000用科学记数法可表示为1.3×104．
故答案为：1.3×104．
【考点评析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式训练12-1】（2022秋•句容市校级期末）2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会开幕，习近平代表第十九届中央委员会向党的二十大作报告，报告中提到，十年来，我国人均国内生产总值从三万九千八百元增加到八万一千元，八万一千用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.81×105B．8.1×103C．81×103D．8.1×104
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【规范解答】解：八万一千＝81000＝8.1×104．
故选：D．
【考点评析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式训练12-2】（2018秋•鼓楼区期中）港珠澳大桥2018年10月24日上午9时正式通车，这座大桥跨越伶仃洋，东接香港，西接广东珠海和澳门，总长约55000m，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥，数据55000用科学记数法表示为（ ）
A．5.5×105B．55×104C．5.5×104D．5.5×106
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【规范解答】解：55000＝5.5×104，
故选：C．
【考点评析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式训练12-3】（2011秋•戚墅堰区校级期中）已知地球距离月球表面约为384000千米，那么384000用科学记数法表示为 3.84×105 ．
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于384000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
【规范解答】解：384 000＝3.84×105．
故答案为：3.84×105．
【考点评析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
【变式训练12-4】（2022秋•昆山市校级月考）已知10×102＝1000＝103，
102×102＝10000＝104，
102×103＝100000＝105．
（1）猜想106×104＝ 1010 ，10m×10n＝ 10m+n ．（m，n均为正整数）
（2）运用上述猜想计算下列式子：
①（1.5×104）×（1.2×105）；
②（﹣6.4×103）×（2×106）．
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【规范解答】解：（1）106×104＝1010，10m×10n＝10m+n；
故答案为：1010；10m+n；
（2）①（1.5×104）×（1.2×105）＝（1.5×1.2）×（104×105）＝1.8×109；
②（﹣6.4×103）×（2×106）＝（﹣6.4×2）×（103×106）＝﹣12.8×109＝﹣1.28×1010．
【考点评析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
﹣27.8
﹣70.3
200
138.1
﹣8
188
458
第1批
第2批
第3批
第4批
第5批
5km
2km
﹣4km
﹣3km
10km
时间
8月22日
8月23日
8月24日
8月25日
8月26日
运进
+54
+52
+40
+64
b
运出
﹣30
a
﹣50
﹣52
﹣22
与前一天相比（增加记作“+”，减少记作“﹣”）
+24
+16
﹣10
+12
c
星期
一
二
三
四
五
六
日
与标准的差（分钟）
+9
+10
﹣10
+13
﹣2
0
+8