高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课后作业题，共6页。试卷主要包含了选择题，四象限的角平分线，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题共7小题,其中１~６小题为单选题,第７小题为多选题)
1．已知m，n∈R，向量a＝(2m＋1，m＋n)与b＝(－2,0)平行，则m，n满足的条件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0 C．－m＋n＝0 D．m＋n＝1
2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
3.设a＝，b＝，且a∥b，则锐角α＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(5,1)(O为坐标原点)，设M为直线y＝eq \f(1,2)x上的一点，那么eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最小值是( )
A．0 B．2 C．4 D．－8
5.如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
6.（经典题）已知eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2，m)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(n,1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(5，－1)，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，则m＋n＝( )
A． 9或eq \f(9,2) B．6或eq \f(1,2) C．9或4 D．6或－1
7..已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标( )
A． B． C． D．.
第II卷（非选择题 共34分）
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，将答案填在题中横线上.）
8.设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“⊕”为m⊕n＝(ac－bd，ad＋bc)．若已知p＝(1,2)，p⊕q＝(－4，－3)，则q＝________.
9.已知O为△ABC的外心，AB＝2，AC＝3，如果eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，其中x，y满足x＋2y＝1且xy≠0，则cs∠BAC＝________.
10.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq \r(5)，若(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，则a与c的夹角的大小为________，|a－c|=________．
三、解答题（本大题共两小题，每小题12分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
11.已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，求证：eq \(EF,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→)).
12在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
答案解析
一、选择题(本题共7小题,其中１~６小题为单选题,第７小题为多选题)
1．已知m，n∈R，向量a＝(2m＋1，m＋n)与b＝(－2,0)平行，则m，n满足的条件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0 C．－m＋n＝0 D．m＋n＝1
答案：A
解析：由题意得，(2m＋1)×0－(m＋n)×(－2)＝0，∴m＋n＝0.
2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
答案：C
解析：因为a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0，x2＋1)，又x2＋1≥1，所以a＋b与y轴平行．故选C．
3.设a＝，b＝，且a∥b，则锐角α＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案B
解析：∵a∥b，∴eq \f(3,2)×eq \f(1,3)－eq \f(\r(2),2)sin α＝0,得到sin α＝eq \f(\r(2),2)，而α为锐角，∴α＝45°，选B.
4.已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(5,1)(O为坐标原点)，设M为直线y＝eq \f(1,2)x上的一点，那么eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最小值是( )
A．0 B．2 C．4 D．－8
答案：D
解析：设M，则eq \(MA,\s\up6(→))＝，eq \(MB,\s\up6(→))＝，∴eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(1－x)(5－x)＋＝eq \f(5,4)(x－4)2－8，所以当x＝4时，eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))取得最小值－8.
5.如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
答案A
解析 由题意可知：，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设，则，可知直线对应的一次函数解析式为，可设，可得，
则，且，因为开口向上，对称轴为，且，可知当时，即点与点重合时，取到最大值，此时，且，所以.
6.（经典题）已知eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2，m)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(n,1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(5，－1)，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，则m＋n＝( )
A． 9或eq \f(9,2) B．6或eq \f(1,2) C．9或4 D．6或－1
答案 A
解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(n,1)－(－2，m)＝(n＋2,1－m)，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(5，－1)－(n,1)＝(5－n，－2)．因为A，B，C共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线．所以－2(n＋2)＝(1－m)(5－n)．①
又m＝2n，② 解①②组成的方程组得或，所以m＋n＝9或eq \f(9,2)，选A.
7..已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标( )
A． B． C． D．.
答案AC
解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)＝b.由⇒，又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.
第II卷（非选择题 共34分）
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，将答案填在题中横线上.）
8.设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“⊕”为m⊕n＝(ac－bd，ad＋bc)．若已知p＝(1,2)，p⊕q＝(－4，－3)，则q＝________.
答案：(－2,1)
解析：设q＝(x，y)，则p⊕q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝－4，,y＋2x＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))∴q＝(－2,1)．
9.已知O为△ABC的外心，AB＝2，AC＝3，如果eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，其中x，y满足x＋2y＝1且xy≠0，则cs∠BAC＝________.
答案：eq \f(3,4)
解析：如图所示，
过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＝2，eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EO,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(EO,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))2＝eq \f(9,2).
∵eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))2＋yeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝4x＋6ycs∠BAC＝2，eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))2＝9y＋6xcs∠BAC＝eq \f(9,2).∵x＋2y＝1且xy≠0，∴x＝－eq \f(1,7)，y＝eq \f(4,7)，cs∠BAC＝eq \f(3,4).
10.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq \r(5)，若(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，则a与c的夹角的大小为________，|a－c|=________．
答案：120°
解析：易得a＋b＝(－1，－2)，|a|＝eq \r(5).设c＝(x，y)，
∵(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，∴x＋2y＝－eq \f(5,2).设a与c的夹角为θ，∴cs θ＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(x＋2y,5)＝eq \f(－\f(5,2),5)＝－eq \f(1,2).
又|a－c|2=a2－2a·c＋c2=5＋5=15,则|a－c|=。
三、解答题（本大题共两小题，每小题12分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
11.已知A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，求证：eq \(EF,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→)).
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，[来源:学+科+eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2,3)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)．因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝.因为eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(BF,\s\up6(→))＝.
所以(x1＋1，y1)＝.所以，所以，
所以E.所以(x2－3，y2＋1)＝.
所以，所以，所以F，所以eq \(EF,\s\up6(→))＝.
又因为，所以eq \(EF,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→)).
12在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
解析：(1)由题设知eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,6)，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝(4,4)，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(10)，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(2).故两条对角线的长分别为2eq \r(10)、4eq \r(2).
(2)由题设知eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t,5＋t)，由(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，故t＝－eq \f(11,5).