高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示第4课时随堂练习题

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1.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 A
解析 ＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.故选A.
2.【2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题】已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
答案D
解析 因为，所以，所以即，故，故选：D.
3.已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝( )
A．2eq \r(2) B．8eq \r(2) C．3 D.4eq \r(2)
答案B
解析 由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，
∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝eq \r(82＋－82)＝8eq \r(2).
4.已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由于|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，即a·b≤eq \f(1,4)|a|2.设向量a与b的夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)≤eq \f(\f(1,4)|a|2,\f(1,2)|a|2)＝eq \f(1,2)，∴θ∈.故选B.
5.已知向量a＝(3,1)，b＝，则下列向量与a＋2b垂直的是( )
A．c＝(－1,2) B．c＝(2，－1) C．c＝(4,2) D．c＝(－4,2)
答案C
解析： ∵向量a＝(3,1)，b＝，∴a＋2b＝(3,1)＋(－4,1)＝(－1,2)，∵(－1,2)·(－1,2)＝1＋4＝5，(－1,2)·(2，－1)＝－2－2＝－4，(－1,2)·(4,2)＝－4＋4＝0，(－1,2)·(－4,2)＝4＋4＝8.∴向量c＝(4,2)与a＋2b垂直，故选C．
6.平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是( )
A．[－1,8] B．[－1，＋∞) C．[0,8] D．[－1,0]
答案 A
解析 由题意得·＝||·||·cs∠BAD＝4，解得∠BAD＝eq \f(π,3).以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4,0)，C(5，eq \r(3))，D(1，eq \r(3))，因为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为(a，eq \r(3))(1≤a≤5)，则·＝(－a，－eq \r(3))·(4－a，－eq \r(3))＝a2－4a＋3＝(a－2)2－1，则当a＝2 时，·取得最小值－1，当a＝5时，·取得最大值8.故选A.
7.在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C三点的坐标分别为A(2，－1)，B(3,5)，C(m，3)．则下列结论正确的时( )
m＝－22时，A，B，C三点构成直角三角形
m＝－2时，A，B，C三点构成直角三角形
m＝eq \f(8,3)时，A，B，C三点能构成三角形
D．m＝2时，A，B，C三点能构成三角形
答案 ABD
解析：由题意，有eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,6)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(m－2,4)，由eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
即(m－2)×1＋4×6＝0，解得m＝－22，A正确；
若A，B，C三点能构成三角形，则A，B，C三点不共线，即eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))不平行，
故1×4－6(m－2)≠0，解得m≠eq \f(8,3)，即实数m的取值范围是∪，BD正确.
二、填空题
8.已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(eq \r(3)，1)，则a与b夹角的大小为________．
答案 eq \f(π,6)
解析 a·b＝2eq \r(3)，∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2\r(3),2×2)＝eq \f(\r(3),2)，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq \f(π,6).
9.设向量，若，则______________.
答案5
解析 由可得，又因为，
所以，即，故答案为：5.
10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值为_______,此时=_______．
答案－eq \f(3,2)
解析 解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有＋＝2，则·(＋)＝2·＝2(eq \(PE,\s\up17(→))＋eq \(EA,\s\up17(→)))·(eq \(PE,\s\up17(→))－eq \(EA,\s\up17(→)))＝2(eq \(PE,\s\up17(→))2－eq \(EA,\s\up17(→))2)．
而eq \(AE,\s\up17(→))2＝＝eq \f(3,4)，当P与E重合时，eq \(PE,\s\up17(→))2有最小值0，故此时·(＋)取最小值，最小值为－2eq \(EA,\s\up17(→))2＝－2×eq \f(3,4)＝－eq \f(3,2)，此时=.
解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，eq \r(3))，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.
得·(＋)＝2·2(－1－x，－y)·
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＋y·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))))＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),4)))2－\f(3,4))).
因此，当x＝－eq \f(1,4)，y＝eq \f(\r(3),4)时，·(＋)取得最小值，为2×＝－eq \f(3,2)，此时=.
三、解答题
11.已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
解析 ∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)＞0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0.
∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0.∴λ＞－eq \f(5,3).
当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋λ＝m，,2＋λ＝2m，))解得λ＝0.即当λ＝0时，a与a＋λb共线，
综上可知，λ＞－eq \f(5,3)且λ≠0.
12.在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，求AB的长．
解析 解法一：由题意可知，＝＋，＝－eq \f(1,2)＋.
因为·＝1，所以(＋)·＝1，
即＋eq \f(1,2)·－eq \f(1,2)＝1.①
因为||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝eq \f(1,2)||，
因此①式可化为1＋eq \f(1,4)||－eq \f(1,2)||2＝1.
解得||＝0(舍去)或||＝eq \f(1,2)，所以AB的长为eq \f(1,2).
解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，
可知AM＝eq \f(1,2)，DM＝eq \f(\r(3),2)，则D.
设|AB|＝m(m>0)，则B(m,0)，C，
因为E是CD的中点，所以E.
所以＝，＝.
由·＝1，可得＋eq \f(3,4)＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或m＝eq \f(1,2).故AB的长为eq \f(1,2).