沪教版数学九年级上册期末复习训练重难点02 实际问题与二次函数（8种题型）（2份，原卷版+解析版）

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根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
二、二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
题型一：图形问题
一、填空题
1．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为__________．（不要求写出定义域）
【答案】
【分析】根据题意，列出y关于x的函数解析式即可；
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴BE⊥DE，
∴BE=DE，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键在于根据题意列出二次函数关系式．
2．（2022·上海浦东新·九年级期末）在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是______．
【答案】
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：
y=4-(2-2x)²=-4x2+8x（0＜x＜1），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．
3．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）一个矩形的周长为20，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是 ___．
【答案】S＝﹣x2+10 x（0＜x＜10）．
【分析】得出矩形的另一边长，则面积＝两边长的乘积，根据边长为正数可得自变量的取值范围．
【详解】解：∵矩形的周长为20，其一边的长为x，
∴另一边长为10﹣x，
∴S＝x（10﹣x）=﹣x2+10 x（0＜x＜10）．
故答案为S＝﹣x2+10 x（0＜x＜10）．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式；得到矩形的另一边长是解决本题的关键．
二、解答题
4．（2022·上海金山·二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
(3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点是坐标是
【分析】（1）先根据直线求出点A和点B的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x=1，代入y=-x+4，可求出点C坐标，再运用勾股定理求解即可；
（3）设点的坐标为，证明四边形为正方形，得点坐标是，从而可得方程，求解方程即可得到答案．
（1）
直线与轴、轴相交于点、，
当y=0，则-x+4=0，解得，x=4，
当x=0，则y=4，
∴、.，
代入得，
，
解得，，，
∴抛物线的解析式为.
（2）
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
当x=1时，
∴，
∴.
（3）
如图，设点的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴点是坐标是，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点是坐标是
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，矩形的判定和正方形的判定等知识，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．
5．（2021·上海·上外附中九年级阶段练习）已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数与x轴交于P和Q两点（点P在点Q左边）．在此二次函数的图象上求一点M，使得面积最大．
【答案】点，时，的面积取最大为
【分析】方程可化简为．方程只有时才有增根，可推出；将代入方程得即，再根据的值求出并确定解析式，再根据顶点坐标公式和的取值范围确定面积最大时点的坐标．
【详解】解：将去分母得：
，
将增根，即代入，
解得：，
再将代入方程，
，
得，
．
二次函数为，
令，
解得：，
所以轴的交点为，，，
，
当点的横坐标为或或时，
的面积可能取最大，
，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
经比较可得时，的面积取最大，
即点，时，的面积取最大，为．
【点睛】本题考查了二次函数，分式方程、解题的关键是学会巧妙地利用分式方程的性质来解决问题，同时要明确增根问题可按如下步骤进行：①确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．（2022·上海市实验学校东校九年级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F，交二次函数的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线对称，求点N的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)
【分析】（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系数法即可求解；
（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F为顶点的三角形与相似时，或，设F(m，-m+3)，则E(m，)，根据比例式列出方程，即可求解；
（3）先推出四边形NCFE是平行四边形，再推出FE=FC，列出关于m的方程，求出m的值，从而得CN=EF=，进而即可得到答案．
【详解】解：（1）∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B(3，0)，C(0，3)，
∵二次函数的图象过B、C两点，
∴，解得：，
∴二次函数解析式为：；
（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y轴，
∴OB=OC，
∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与相似时，或，
设F(m，-m+3)，则E(m，)，
∴EF=-(-m+3)= ，CF=，
∴或，
∴或（舍去）或或（舍去），
∴EF==或；
（3）∵l∥y轴，点N是y轴上的点，
∴∠EFC=∠NCG，
∵点N、F关于直线对称，
∴∠CNE=∠EFC，
∴∠CNE=∠NCG，
∴NE∥FC，
∴四边形NCFE是平行四边形，
∵点N、F关于直线对称，
∴∠NCE=∠FCE，
∵l∥y轴，
∴∠NCE=∠FEC，
∴∠FCE=∠FEC，
∴FE=FC，
∴=，解得：或（舍去），
∴CN=EF=，
∴ON=+3=，
∴N(0，)．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合，相似三角形的判定，掌握函数图像上点的坐标特征，用点的横坐标表示出相关线段的长，是解题的关键．
7．（2021·上海金山·二模）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．
【答案】（1）y＝x+2；（2）a≥；（3）y＝﹣x2+2x+2．
【分析】（1）直线y=kx+b经过点A（-2，0），B（1，3）两点，将点坐标代入即得答案；
（2）用a表示顶点坐标，根据顶点不在第一象限，列出不等式即可解得a范围；
（3）延长PD交 x轴于M，对称轴与x轴交于N，首先求出D坐标，再根据直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度，又利用求出 PN列方程即可得答案．
【详解】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，
∴，解得，
∴直线y＝kx+b的表达式为y＝x+2；
（2）∵b＝2，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b解析式为y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴顶点是（2，2﹣4a），
∵顶点不在第一象限，且在对称轴x＝2上，
∴顶点在第四象限或在x轴上，
∴2﹣4a≤0，即a≥；
（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，如图：
∵P在直线AB的上方，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），
∴开口向下，
∵直线y＝x+2与抛物线y＝ax2﹣4ax+2都经过（0，2），点C在点D的右侧，
∴D（0，2），
∴OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，
∴∠MDO＝30°，
Rt△MDO中，tan∠MDO＝，
∴tan30°＝，解得OM＝，
∵对称轴与x轴交于N，
∴OD∥PN，MN＝ON+OM＝2+，
∴，即，
∴PN＝2+2，
而P（2，2﹣4a），
∴2﹣4a＝2+2，
∴a＝﹣，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式为：y＝﹣x2+2x+2．
【点睛】】本题考查二次函数、一次函数等综合知识，难度较大，解题的关键是利用直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度．
8．（2021·上海杨浦·二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．
【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）Q（3，﹣2）；（3）8
【分析】（1）求出A、B坐标代入y＝ax2+6x+c即可得答案；
（2）求出C坐标，设P、Q坐标，根据平行四边形两条对角线的中点重合可列方程求解；
（3）CD与AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐标，再求CN解析式及D坐标即可得出答案．
【详解】解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣5，令y＝0得x＝5，
∴A（5，0），B（0，﹣5），
将A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）在y＝﹣x2+6x﹣5中令y＝0得x1＝1，x2＝5，
∴C（1，0），
点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，n﹣5），
则BP的中点为（，），CQ的中点为（，），
∵四边形BCPQ是平行四边形，
∴线段BP的中点即是CQ的中点，
∴，
解得或，
∴Q（3，﹣2）；
（3）设CD与AB交于N，如图：
∵B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），
∴CQ＝2，BQ＝3，
∵∠QCD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，
∴△CQN∽△BQC，
∴，即＝，
∴QN＝，
设N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），
∴＝，
∴t＝或t＝，
∵在∠QCB内作射线CD，
∴t＝，N（，﹣），
设CN解析式为y＝kx+b，将N（，﹣），C（1，0）代入得：
，
解得，
∴CN解析式为y＝﹣5x+5，
令x＝3得y＝﹣10，
∴Q（3，﹣10），
∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．
【点睛】本题考查二次函数、平行四边形及相似三角形综合知识，解题关键是设出坐标，利用相似三角形性质求出QN的长度．
9．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB＝2，点P的横坐标为m．
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m＝2时，求抛物线的表达式；
（3）如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值．
【答案】（1）点B的坐标为（﹣4，2m﹣2）；（2）y＝﹣x2﹣2x﹣2；（3）m＝．
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，可得A（0，-2），过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点P与y轴的平行线于点N，证Rt△BMA∽Rt△ANP，结合tan∠APB＝2，可得BM和AM的长，即可求得B点坐标；
（2）当m＝2时，则顶点B的坐标为（﹣4，2），设抛物线的表达式为y＝a（x+4）2+2，将A点代入，即可求得抛物线的表达式；
（3）利用待定系数法求直线AC的表达式，利用四边形ACBP是梯形，AC∥BP，求直线BP的表达式，代入B点和P点的坐标求解m．
【详解】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，
∴A（0，-2）
过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点P与y轴的平行线于点N，
∵∠BAM+∠PAN＝90°，∠PAN+∠APN＝90°，
∴∠BAM＝∠APN，
∴Rt△BMA∽Rt△ANP，
∵tan∠APB＝2，
∴两个三角形相似比为2，
则BM＝2AN＝2m，AM＝2PN＝2OA＝4，
则点B的坐标为（﹣4，2m﹣2）；
（2）当m＝2时，则顶点B的坐标为（﹣4，2）
设抛物线的表达式为y＝a（x+4）2+2，
将点A的坐标代入上式得：﹣2＝a（0+4）2+2，解得a＝，
故抛物线的表达式为y＝（x+4）2+2＝x2﹣2x﹣2；
（3）如上图，点C的坐标为（﹣4，0）
设直线AC的表达式为y＝sx+t，则，解得
故直线AC的表达式为y＝x﹣2，
∵四边形ACBP是梯形，
故直线AC∥BP，
故设直线BP的表达式为y＝x+p，
将点P的坐标代入上式得：0＝m+p，
将点B的坐标代入上式得：2m﹣2＝，
解得m＝．
【点睛】本题是二次函数与几何综合．涉及相似三角形的性质和证明、三角函数、梯形的性质以及一次函数等相关知识．是一道综合性较强的大题．
题型二：图形运动问题
一、解答题
1．（2022·上海崇明·二模）如图，在中，．点E是线段AB上一动点，点G在BC的延长线上，且，连接EG，以线段EG为对角线作正方形EDGF，边ED交AC边于点M，线段EG交AC边于点N，边EF交BC边于点P．
(1)求证：﹔
(2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
(3)连接NP，当是直角三角形时，求AE的值．
【答案】(1)见解析
(2)；定义域为
(3)AE的值为，
【分析】（1）过点E作交AC于H ，可得△EHN∽△GCN，根据直角三角形的性质可得，从而得到，即可求证；
（2）根据直角三角形的性质可得，．从而得到，再由△EHN∽△GCN，可得CN=2HN，从而得到，进而得到，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当时，当时，过E点作交BC边于Q点，即可求解．
(1)
证明：过点E作交AC于H ，
∴，△EHN∽△GCN，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
(2)
解∶∵
∴．
∴，
∵，
∴．CG=x，
∴，
由（1）得：△EHN∽△GCN，
∴，即CN=2HN，
∵HN+CN=CH，
∴，
∴
∴；
定义域为：
(3)
解∶当时，则∠PNG=90°，
∴∠PNC+∠CNG=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACG=90°，
∴∠PNC+∠CPN=90°，
∴∠CPN=∠CNG，
∵∠CNG=∠ENH，
∴∠CPN=∠ENH，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠PEN=45°，
∴∠EPN=∠PEN=45°，
∴EN=PN，
∵∠ACB=∠EHN=90°，
∴，
∴，
由（2）得：CN=2HN，
∴，
∴，解得：，
当时，过E点作交BC边于Q点，
∴∠EPQ+∠CPN=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠CPN+∠CNP=90°，
∴∠CNP=∠EPQ，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠PEN=45°，
∴∠PNE=∠PEN=45°，
∴EP=PN，
∵∠ACB=∠EQP=90°，
∴，
∴EQ=CP，PQ=CN，
∵EH⊥AC，BC⊥AC，
∴CH=EQ=AC-AH=，
∴，
∴，
∵EQ⊥BC，
∴EQ∥AC，
∴∠BEQ=30°，
∴，
∴，
解得：．
综上所述，AE的值或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质，求函数解析式等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质是解题的关键．
2．（2022·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQCH，交对称轴l于点Q，且，求直线PQ的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意将抛物线表达式设为顶点式，将A、H坐标代入即可求出；
（2）过点C向对称轴和x轴作垂线，设C点坐标为，根据角度相等，所以正切值相等，分别在两个直角三角形中构造线段等比例关系，以m表示各线段长度，代入等比例式中，求出m即可；
（3）分别作OM、AN垂直于PQ，OM、AN即为两个三角形的高，因为底PQ相同，所以两三角形面积比等于OM与AN的比，延长PQ交x轴于点D，则，得到三角形相似，继而得到OM与AN的比等于OD与AD的比，从而求出D点坐标，因为PQCH，先求出CH表达式为，则可将PQ的表达式设为形式，将D点坐标代入即可求出表达式．
(1)
∵抛物线经过点，顶点为，
∴设，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的表达式为．
(2)
分别过点C作，轴，垂足为点G、F，
设，
则：，，，，
∵，
∴，
∴．
∴，
解得，
经检验，m=1是方程的解，
则，
∴C点坐标为．
(3)
延长PQ交x轴于点D．分别过点O、A作直线PQ的垂线，垂足分别为点M、N．
∵点C坐标为，点H坐标为，
∴设直线CH的表达式为，将C、H坐标代入得 ，
解得，
∴直线CH表达式为：，
①当、在直线PQ的两侧时，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D点坐标为．
又∵，
∴设直线PQ的表达式为，
将D点坐标代入得，
解得，
∴PQ表达式为；
②当、在直线PQ的同侧时，
∵，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∴，
∴此时D点坐标为，
∴设直线PQ的表达式为，
将代入解得，
∴直线PQ的表达式为
综上所述，满足条件的直线PQ的表达式为或．
【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，需熟练掌握二次函数数形结合的综合应用．
3．（2021·上海·九年级专题练习）已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是
【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
【详解】解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．
②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
4．（2021··九年级专题练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．
（1）当AM＝时，求x的值；
（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出该定值；
（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．
【答案】（1）x＝；（2）不变，△MDP的周长为2；（3），当t＝，即x＝时，面积的最小值为
【分析】（1）利用折叠的性质得ME＝BE＝x，则AE＝1－x，在根据勾股定理列式求出x的值；
（2）连接AM、BO，过点B作BH⊥MN，垂足为H，证明△BAM≌△BHM和Rt△BHP≌Rt△BCP，可以得到△PDM的周长就等于AD＋DC，是定值；
（3）连接BM，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，证明△AMB≌△QEF，得到AM＝EQ，设AM＝a，根据勾股定理列式得到a与x的关系式，表示出CF和BE长，得到三角形面积表达式，再求出最值．
【详解】（1）由折叠可知ME＝BE＝x，
∴AE＝1－x，
在Rt△AEM中，由AM＝，得，
解得x＝；
（2）如图，连接AM、BO，过点B作BH⊥MN，垂足为H，
∵EB＝EM，
∴∠EBM＝∠EMB，
∵∠EBC＝∠EMN，
∴∠MBC＝∠BMN，
∵∠A＝∠MHB，BM＝BM，
∴△BAM≌△BHM，
∴AM＝HM，BH＝AB，
∵BC＝AB，
∴BH＝BC，
∵BP＝BP，
∴Rt△BHP≌Rt△BCP，
∴HP＝PC，
∴△MDP的周长＝MD＋DP＋MP＝MD＋DP＋MH＋HP＝MD＋AM＋DP＋PC＝AD＋DC＝2，
∴△MDP的周长为2；
（3）如图，连接BM，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，
则QF＝BC＝AB，
∵∠BEF＋∠EBM＝90°，∠AMB＋∠EBM＝90°，
∴∠BEF＝∠AMB，
∵∠A＝∠EQF，
∴△AMB≌△QEF，
∴AM＝EQ，
设AM＝a，则，
∴a＝，
∴CF＝x－，
∴S＝(CF＋BE)×1
＝( x－＋x)
＝(2 x－) ，
设＝t，则，
，
∴当t＝，即x＝时，面积的最小值为．
【点睛】本题考查几何动点问题，解题的关键是掌握勾股定理，折叠性质的运用，全等三角形的性质和判定，二次函数最值的求解，需要掌握数形结合的思想．
5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）(﹣1，0)，y＝ax+a；（2）﹣；（3）(1，﹣)或(1，﹣4)
【分析】（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=-1，x2=3，可得A（﹣1，0），B（3，0），由于直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0）可得k＝b，即得直线l：y＝kx+k，联立抛物线与直线I的解析式为方程组，可得ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，由于CD＝4AC，可得点D的横坐标为4，利用根与系数关系可得﹣3﹣＝﹣1×4，求出k＝a，即得直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），可得F（x，ax+a），从而得出EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，由S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF，利用三角形面积公式，可得S△ACE的关系式，利用二次函数的性质即可求出结论．
（3）分两种情况讨论，①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，据此分别解答即可．
【详解】解：（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），
∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直线l：y＝kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，
∴﹣3﹣＝﹣1×4，
∴k＝a，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a
（2）解：如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），
则F（x，ax+a），EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面积的最大值═a，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴﹣a＝，
解得a＝﹣；
（3）解：以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
设P（1，m），
①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，
则易得Q（﹣4，21a），
∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣
∴P（1，﹣）；
②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q（2，﹣3a），
∴m＝5a﹣（﹣3a）＝18a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；
（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）； （3）（1，﹣2），（1，4）
【分析】（1）抛物线解析式为y＝a（x＋1）（x−3）＝a（x2−2x−3），将点C坐标代入即可求解；
（2）先求出直线BC的解析式，设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），得到DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，再利用，即可求解；
（3）分MC是斜边、MB是斜边两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2−2x−3），
将点C坐标代入,得
-3a＝3，解得：a＝-1，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），
∴，解得，
∴y＝﹣x+3，
设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值；
（3）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x=1
设点M（1，m），
则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；
①当MC是斜边时，
1+（m﹣3）2＝m2+4+18；
解得：m＝﹣2；
②当MB是斜边时，
同理可得：m＝4，
故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
7．（2020·上海·九年级专题练习）如图，已知在中，，，，点、分别在边、射线上，且，过点作，垂足为点，联结，以、为邻边作平行四边形，设，平行四边形的面积为．
（1）当平行四边形为矩形时，求的正切值；
（2）当点在内，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当过点且平行于的直线经过平行四边形一边的中点时，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）；（3），．
【分析】（1）当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．根据tan∠PQM＝求解即可．
（2）如图1中，延长QN交AB于K．求出MK，PM，根据y＝PM•MK求解即可．
（3）分两种情形：①如图3−1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．根据EG＝PC构建方程求解．②如图3−2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．根据PC＝GH构建方程求解即可．
【详解】（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．
∴tan∠PQM＝＝．
（2）如图1中，延长QN交AB于K．
∵∠C＝90，AC＝8，BC＝6，AB=10
∴sinA=csB==,csA=sinB=，
由，得BQ＝6−x，QN＝PM＝APsinA=x，AM＝APcsA=x，KQ＝BQsinB=BQ＝，BK＝BQcsB=BQ＝，
∴MK＝AB−AM−BK＝，
∵QN＜QK，
∴x＜，
∴x＜，
∴y＝PM•MK＝x×=（0≤x＜）．
（3）①如图3−1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．
∵PD∥BC，EN∥BC，
∴PD∥NE，
∵PE∥DN，
∴四边形PDNE是平行四边形，
∴PE＝DN，
∵DN＝DM，PQ＝MN，
∴PE＝EQ，
∵EG∥PC，
∴CG＝GQ，
∴EG＝PC，
∵四边形EGHN是矩形，
∵
∴QN⊥AB
则∠ABC+∠NQH=∠NQH +∠QNH=90°
∴∠ABC=∠QNH
∴NH＝EG＝NQcs∠QNH= NQcs∠ABC =NQ＝PM＝×x =x，PC＝8−x，
∴x＝•（8−x），
解得x＝．
②如图3−2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．
∵DH＝PC，
∴8−x＝•x，
解得x＝，
综上所述，满足条件x的值为或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
8．（2020·上海·九年级专题练习）如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4,3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接，设运动时间为（秒）.
①当为何值时，得面积最小？
②是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）① ；②
【分析】（1）根据点B的坐标可得出点A，C的坐标，代入抛物线解析式即可求出b，c的值，求得抛物线的解析式；
（2）①过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，推出△QFA∽△CBA，△CGP∽△CBA，用含t的式子表示OF，PG，将三角形的面积用含t的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意知：A(0,3),C(4,0)，
∵抛物线经过A、B两点，
∴，解得，，
∴抛物线的表达式为：．
(2)① ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90O， ∴AC2=AB2+BC2=5；
由，可得，∴D（2,3）．
过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，
∵∠FAQ=∠BAC， ∠QFA=∠CBA，
∴△QFA∽△CBA．
∴，
∴．
同理：△CGP∽△CBA，
∴∴，∴，
当时，△DPQ的面积最小.最小值为．
② 由图像可知点D的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC的解析式为：．
三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：
当时，根据勾股定理可得出：
，
整理，解方程即可得解；
当时，可知点G运动到点B的位置，点P运动到C的位置，所需时间为t=3；
当时,同理用勾股定理得出：
；
整理求解可得t的值．
由此可得出t的值为：,,,,．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键．
9．（2022·上海浦东新·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；
（2）求tan∠BCD；
（3）点P在直线BC上，若∠PEB=∠BCD，求点P的坐标．
【答案】（1）D（4，﹣1）；（2）；（3）点P（，）或（12，﹣3）．
【详解】分析：（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出EC，BF的长，进而得出答案；
（3）分别利用①点P在x轴上方，②点P在x轴下方，分别得出点P的坐标．
详解：（1）由题意得B（6，0），C（0，3），
把B（6，0）C（0，3）代入y=ax2-2x+c
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x+3
=（x2-8x）+3
=（x-4）2-1，
∴D（4，-1）；
（2）可得点E（3，0），
OE=OC=3，∠OEC=45°，
过点B作BF⊥CD，垂足为点F
在Rt△OEC中，EC=，
在Rt△BEF中，BF=BE•sin∠BEF=，
同理，EF=，
∴CF=+=，
在Rt△CBF中，tan∠BCD=；
（3）设点P（m，−m+3）
∵∠PEB=∠BCD，
∴tan∠PEB=tan∠BCD=，
①点P在x轴上方
∴，
解得：m＝，
∴点P（，），
②点P在x轴下方
∴，
解得：m=12，
∴点P（12，-3），
综上所述，点P（，）或（12，-3）．
点睛：此题主要考查了二次函数的综合以及锐角三角函数关系的应用，正确分类讨论是解题关键．
题型三：拱桥问题
一、单选题
1．（2022·上海·九年级单元测试）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．4米B．10米C．4米D．12米
【答案】B
【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键．
二、解答题
2．（2021·上海·九年级专题练习）如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．
（1）求桥拱所在圆的半径长；
（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且ctα＝3，求水面上升的高度．
【答案】（1）桥拱所在圆的半径长为5米；（2）水面上升的高度为1米
【分析】（1）根据点D是 中点， 知C为AB中点，联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，在Rt△ACO中，由勾股定理求出半径．
（2） 设OD与EF相交于点G，联结OE，由EF∥AB，OD⊥AB，得到OD⊥EF，进而找出EG＝3DG，设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，在Rt△EGO中根据勾股定理求出x即可．
【详解】解：（1）∵点D是 中点，，
∴AC＝BC，DC经过圆心，
设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，
∵AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解之得R＝5．
答：桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）设OD与EF相交于点G，联结OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠EGD＝∠EGO＝90°，
在Rt△EGD中， ，
∴EG＝3DG，
设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，
∴EG＝6﹣3x，
在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2，
∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52，
化简得 x2﹣3x+2＝0，解得 x1＝2（舍去），x2＝1，
答：水面上升的高度为1米．
【点睛】此题是关于圆的综合性试题，包含的知识点有解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等，有一定难度．
3．（2022·上海·九年级单元测试）校园景观设计：如图1，学校计划在流经校园的小河上建造一座桥孔为抛物线的小桥，桥孔的跨径为8m，拱高为6m．
(1)把该桥孔看作一个二次函数的图像，建立适当的平面直角坐标系，写出这个二次函数的表达式；
(2)施工时，工人师傅先要制作如图2的桥孔模型，图中每个立柱之间距离相等，请你计算模型中左侧第二根立柱（AB）的高．
【答案】(1)（建系的方式不同，则答案不定）
(2)
【分析】（1）以桥孔正上方中心为原点O，过原点的水平线为x轴，过原点的垂线为y轴建立直角坐标系，设这个二次函数的解析式为，根据桥孔的跨径为8m，拱高6m，可知二次函数过点(-4,-6)和(4,-6)两个点，代入坐标即可求解，
（2）根据每根立柱的间距相等，由图可知B点坐标为(-2,-6)，A点的横坐标与B点相等也为-2，将x=-2代入表达式，求出A点坐标，则AB可得．
（1）
以桥孔正上方中心为原点O，过原点的水平线为x轴，过原点的垂线为y轴建立直角坐标系，如图，
设这个二次函数的解析式为，
根据桥孔的跨径为8m，拱高6m，可知二次函数过点(-4,-6)和(4,-6)两个点，
将(-4,-6)代入，有-6=16a，
解得：，
即这个二次函数的解析式为；
（2）
根据每根立柱的间距相等，由图可知B点坐标为(-2,-6)，A点的横坐标与B点相等也为-2，
即将x=-2代入得，即A点坐标为：，
即，
即模型中左侧第二根立柱AB的高度为．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，正确得出二次函数图像上点的坐标是解答本题的关键．
题型四：销售问题
一、填空题
1．（2022·上海·九年级单元测试）某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价_________元时，可获得最大利润__________
【答案】 15 1250
【分析】设裙子降价x元，利润为w元，然后由题意可得，进而根据二次函数的性质可求解．
【详解】解：设裙子降价x元，利润为w元，由题意得：
，
∴-2＜0，开口向下，
∴当时，w有最大值，最大值为1250，
∴当裙子降价15元，可获得最大利润为1250元；
故答案为15，1250．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
二、解答题
2．（2022·上海·九年级单元测试）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
(1)求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
(2)在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A型号进价20元，B型号的进价30元
(2)降价5元时，最大利润为405元
【分析】（1）设A、B两种型号的水杯进价各是x元、y元，根据题意列出方程组即可完成；
（2）设B型水杯降价x元，每天销售的B型水杯的利润为w元，则可得w关于x的二次函数，即可求得结果．
（1）
解：设A、B两种型号的水杯进价各是x元、y元
由题意得方程组：
化简得：
解方程组得：
即A、B两种型号的水杯进价各是20元、30元.
（2）
解：设B型水杯降价x元，每天销售的B型水杯的利润为w元，则每天多售出5x个，每天的销售量为(20+5x)个，每个水杯的售价为(44-x)元
由题意得：
整理得：
当x=5时，w最大，且最大值为405
即超市将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润是405元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组及二次函数的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程及函数关系式是解题的关键．
3．（2021·上海·九年级专题练习）某电动机加工厂以400元/个的价格新接了一批电动机加工业务．根据工厂以往的制造能力，该工厂每天制造电动机的数量为x（个）(200≤x≤500)，且每个电动机的制造成本y(元)与每天制造电动机的数量x(个)之间的函数关系的图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知该工厂每天各项消耗的费用是2万元，每天的利润为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并求出当x为多少时，w最大，最大日利润是多少．
【答案】（1）y=-x+500；（2）w=(x-100)2-25000；当x=500时，w最大，最大日利润为55000元．
【分析】（1）设函数表达式为y=kx+b，把(200，400)，(500，250)分别代入即可求解；
（2）根据题意可求得w与x的函数关系式：w=(400-y)x-20000=[400-(-x+500)]x-20000=(x-100)2-25 000，根据二次函数的性质可知，当x>100时，w随x的增大而增大，再结合200≤x≤500，可知当x=500时，w取得最大值，代入计算即可．
【详解】解：(1)根据题意，设y=kx+b，
将(200，400)，(500，250)分别代入，
得，
解得，
故y与x之间的函数表达式为y=-x+500；
(2)根据题意，得w=(400-y)x-20000=[400-(-x+500)]x-20 000=(x-100)2-25 000，
∵>0，
∴当x>100时，w随x的增大而增大，
又∵200≤x≤500，
∴当x=500时，w取得最大值，最大值为×(500-100)2-25000=55000，
答：当x=500时，w最大，最大日利润为55000元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2021·上海·九年级专题练习）商场购进某种新商品在试销期间发现，当每件利润为10元时，每天可销售70件；当每件商品每涨价1元，日销售量就减少1件，但每天的销售量不得低于35件．据此规律，请回答下列问题．
（1）设每件涨了x元时，每件盈利_________元，商品每天可销售______件；
（2）在商品销售正常的情况下，每件商品涨价多少元时，商场每天盈利为1500元？
（3）若商场的每天盈利能达到最大，请直接写出每天的最大盈利为______________．
【答案】（1），；（2）20；（3）1600
【分析】（1）用售价减去进价即可求得每件利润；销售量等于原来销售量减去减少的销售量即可；
（2）利用总利润=单件利润×销量列出方程求解即可；
（3）配方后即可确定最大利润；
【详解】解：（1）设每件涨了x元时，每件盈利（10+x）元，商品每天可销售（70-x）件；
（2）根据题意得：（10+x）（70-x）=1500，
解得：x=20或x=40（不合题意，舍去），
答：每件商品涨20元时商场每天盈利可达1500元．
（3）设总利润为w元，则w=（10+x）（70-x）=-（x-30）2+1600，
∴总利润的最大值为1600元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是能够根据题意列出方程或二次函数，渗透了数学建模的数学思想．
5．（2021··九年级专题练习）某淘宝店购进苹果若干箱，物价部门规定其销售单价不高于80元/箱，经市场调查发现：销售单价定为80元/箱时，每日销售20箱；如调整价格，每降价1元/箱，每日可多销售2箱．
（1）已知某天售出苹果70箱，则当天的销售单价为________元/箱；
（2）该淘宝店现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天100元，每天平均支付运费及其它费用250元，当某天的销售价为45元/箱时，收支恰好平衡．
①求苹果的进价；
②若淘宝店每天的纯利润（收入—支出）全部用来偿还一笔15000元的借款，则至少需多少天才能还清借款．
【答案】（1）55；（2）①苹果的进价为40元/箱；②淘宝店至少需19天才能还清借款.
【分析】（1）根据销售单价定为元/箱时，每日销售20箱；如调整价格，每降价1元/箱，每日可多销售2箱，一共增加了箱，降了元，从而可得某天售出该苹果箱的销售单价为元；
（2）①根据该淘宝店现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天元，每天平均支付运费及其它费用250元，当某天的销售价为为45元/箱时，收支恰好平衡，可以列出相应的方程，从而可以求得苹果的进价； ②根据题意可以求得每天的最大利润，从而可以求得少需多少天才能还清借款．
【详解】解：（1）某天售出苹果70箱，则当天的销售单价为元，
故答案为：55；
（2）①设苹果的进价为元/箱，
当销售价为45元/箱时，当天的销量为：（箱），
则，
解得，，
即苹果的进价为40元/箱；
②设淘宝店某天的销售单价为元/箱，每天的收入为元，
则，
∴当时，淘宝店每天的收入最多，最多收入1250元，
设淘宝店需要天还清借款，
，
解得，，
∵为整数，
∴.
即淘宝店至少需19天才能还清借款．
【点睛】本题考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
6．（2021··九年级专题练习）某企业接到了一批零件加工任务，要求在20天内完成，这批零件的出厂价为每个6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人．6天的培训期内，新工人小李第天能加工个零件；培训后小李第天加工的零件数量为个．
（1）小李第几天加工零件数量为650个？
（2）如图，设第天每个零件的加工成本是元，与之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小李第天创造的利润为元，求与的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少？（利润出厂价成本价）
【答案】（1）小李第9天加工零件数量为650个；（2）时，；时，；时，；第12天的利润最大，最大利润是640元．
【分析】（1）设小李第天加工零件数量为650个，根据题意列方程，解方程即可求得；
（2）先根据图象求得成本P与x之间的关系式，再根据利润等于出厂价减去成本价，整理即可得到w与x之间的函数表达式； 再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性分别求出w的最大值，比较即可．
【详解】解：（1）设小李第天加工零件数量为650个，
由题意可知：，解得．
答：小李第9天加工零件数量为650个．
（2）由图象得，当时，；
当时，设，
把点，代入得，
，解得，
所以．
①时，；
当时，（元）；
②时，；
当时，（元）；
③时，，
∵，是整数，
∴当时，（元）
综上，当时，有最大值，最大值为640．
答：第12天的利润最大，最大利润是640元．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一次函数的应用，二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
题型五：投球问题
一、填空题
1．（2020·上海市回民中学九年级阶段练习）如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1m).
【答案】，16.5
【详解】分析：设出函数解析式的顶点式，把点A代入求得解析式，进一步求出与x轴交点坐标，即可解答．
解答：解：如图，顶点B的坐标为（8，9），图象经过点A（0，1），
设抛物线的解析式为y=a（x-8）2+9，
把点A代入解析式得a=-，
因此这个二次函数的表达式为 y=-（x-8）2+9．
当y=0时，-x2+2x+1=0，
解得x1≈16.5，x2=-0.5（不合题意，舍去）；
因此小孩将球抛出了约16.5米．
故填y=-（x-8）2+9、16.5．
2．（2022·上海·九年级单元测试）如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是___米．
【答案】10
【分析】成绩就是当高度y=0时x的值，所以解方程可求解．
【详解】解：当y=0时，，
解得：（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米；
故答案为：10．
【点睛】本题考查了把函数问题转化为方程问题，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
二、解答题
3．（2022·上海·九年级单元测试）某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
【答案】，能
【分析】根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式，令x＝7，求出y的值，与3m比较即可作出判断．
【详解】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为（4，4），
求出手时的坐标为（0，），
设抛物线解析式为，
将点（0，）代入可得：，
解得：，
则抛物线的解析式为，
当x=7时，，
∵3m=3m，
∴此球能准确投入．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力．
4．（2022·上海·九年级单元测试）一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．
(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量的取值范围）；
(2)小球在斜坡上的落点的垂直高度为________米；
(3)若要在斜坡上的点处竖直立一个高4米的广告牌，点的横坐标为2，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
(4)求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
【答案】(1)抛物线的解析式为（或）
(2)
(3)能，理由见解析
(4)
【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的解析式为，再将点代入即可得；
（2）设点的坐标为，将其代入抛物线的解析式求出的值即可；
（3）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再求出当时，抛物线的函数值，由此即可得出答案；
（4）设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为米，先根据抛物线和一次函数的解析式可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
（1）
解：由题意，设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为（或）．
（2）
解：点在一次函数上，
设点的坐标为，
将点代入得：，
解得或（不符题意，舍去），
即小球在斜坡上的落点的垂直高度为米，
故答案为：．
（3）
解：能，理由如下：
对于一次函数，
当时，，即，
对于抛物线，
当时，，
因为，
所以小球能飞过这个广告牌．
（4）
解：设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为米，
则，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，
答：小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
题型六：喷水问题
一、单选题
1．（2020·上海杨浦·一模）广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）
A．1米B．2米C．5米D．6米
【答案】B
【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值．
【详解】解：∵y=-x2+6x=-（x2-4x）=-[（x-2）2-4]=-（x-2）2+6，
∴当x=2时，y有最大值，
∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
2．（2022·上海·九年级单元测试）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（ ）
A．20米B．18米C．10米D．8米
【答案】A
【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解．
【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，
设抛物线解析式为，将点代入，得
解得
∴抛物线解析式为
令，解得（负值舍去）
即，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
二、解答题
3．（2022·上海·九年级单元测试）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
（1）
解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）
由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
4．（2021·上海·九年级专题练习）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是：，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？
【答案】2米；6米．
【分析】根据题目所给的函数解析式，用配方法求出当x等于何值时函数有最大值以及最大值是多少．
【详解】解：由题意得，，
又因为，
所以当时，，
答：当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米，最大高度是6米．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握求二次函数最值的方法．
题型七：增长率问题
一、填空题
1．（2022·上海宝山·九年级期末）据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为，那么关于的函数解析式为_________．
【答案】
【分析】根据题意可得2020年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为，2021年的蔬菜产量为y万吨，由此即可得．
【详解】解：根据题意可得：2020年的蔬菜产量为，
2021年的蔬菜产量为，
∴，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握增长率问题是解题关键．
2．（2022·上海·九年级单元测试）某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为_______．（不要求写定义域）
【答案】y＝10(1+x)2
【分析】利用该厂九月份的产值=该厂七月份的产值×（1+增长率）2，即可得出结论．
【详解】解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x，
∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元，
∴y＝10（1+x）2．
故答案为：y＝10（1+x）2．
【点睛】本题考查了由根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键．
3．（2021·上海·九年级专题练习）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为，六月份的营业额为万元，那么关于的函数解式是______．
【答案】或
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出五月份的营业额，再根据题意表示出六月份的营业额，即可列出方程求解．
【详解】解：设增长率为x，则
五月份的营业额为：，
六月份的营业额为：；
故答案为：或.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“”．
题型八：其他问题
一、单选题
1．（2021·上海·九年级专题练习）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（ ）
A．33°B．36°C．42°D．49°
【答案】C
【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可知，物线开口向上，
该函数的对称轴x＞且x＜54，
∴36＜x＜54，
即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
2．（2021··九年级专题练习）一人乘雪橇沿坡角为30°的斜坡笔直滑下，滑下的距离S（米）与时间t（秒）的关系式为S=10t+t2，若滑坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为________
【答案】12米
【分析】由S=10t+t2可求得滑下的距离S，结合坡角为30°，通过三角函数计算从而得到答案．
【详解】∵S=10t+t2且
∴S=20+4=24
∵坡角为30°且sin30°=
∴此人下滑的高度为
故答案为：12米．
【点睛】本题考察了一元二次函数和三角函数的知识；求解的关键是结合实际问题，熟练掌握并运用一元二次函数和三角函数的性质，从而完成求解．
三、解答题
3．（2018·上海普陀·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）点P的坐标是（1，0）
【分析】(1) 先求得抛物线的对称轴方程, 然后再求得点C的坐标,设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4,将点 (-3, 0) 代入求得a的值即可;
(2) 先求得A、 B、 C的坐标, 然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB,AC的长,然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°,最后,依据锐角三角函数的定义求解即可;
(3) 连接BC,可证得△AOB是等腰直角三角形，△ACB∽△BPO，可得代入个数据可得OP的值，可得P点坐标.
【详解】解：（1）由题意得，抛物线y＝ax2+2ax+c的对称轴是直线，
∵a＜0，抛物线开口向下，又与x轴有交点，
∴抛物线的顶点C在x轴的上方，
由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是（﹣1，4）．
可设此抛物线的表达式是y＝a（x+1）2+4，
由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是（﹣3，0），可得a＝﹣1．
因此，抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如图1，
点B的坐标是（0，3）．连接BC．
∵AB2＝32+32＝18，BC2＝12+12＝2，AC2＝22+42＝20，
得AB2+BC2＝AC2．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
所以tan∠CAB=．
即∠CAB的正切值等于．
（3）如图2，连接BC，
∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAP＝∠ABO＝45°，
∵∠CAO＝∠ABP，
∴∠CAB＝∠OBP，
∵∠ABC＝∠BOP＝90°，
∴△ACB∽△BPO，
∴，
∴，OP＝1，
∴点P的坐标是（1，0）．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，综合性大.
4．（2020·上海·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），它的顶点为D（1，m），且tan∠COD＝．
（1）求m的值及抛物线的表达式；
（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且∠APB＝45°．求P点的坐标．
【答案】（1）（2）E（3,-1）（3）
【分析】（1）作DH⊥y轴,根据，求出m的值，再根据对称轴是x＝1，和C,D两点求出抛物线的表达式即可；
（2）设平移后的抛物线表达式为，然后得出OA＝OB,得出B（0,2＋k），A点的坐标为（2＋k,0），然后代入求出k的值即可；
（3）设P（1,y），设对称轴与AB的交点为M，与x轴的交点为H，则H（1,0），由（2）得出A,B的坐标，然后得出△BMP∽△BPA，然后根据
【详解】解：（1）作DH⊥y轴，垂足为H，∵D（1,m）（），∴DH＝ m，HO＝1.
∵，∴，∴m＝3.
∴抛物线的顶点为D（1,3）.
又∵抛物线与y轴交于点C（0,2），
∴（2∴∴抛物线的表达式为.
（2）∵将此抛物线向上平移，
∴设平移后的抛物线表达式为.
则它与y轴交点B（0,2＋k）.
∵平移后的抛物线与x轴正半轴交于点A，且OA＝OB，∴A点的坐标为（2＋k,0）.
∴.∴.
∵，∴.
∴A（3,0），抛物线向上平移了1个单位.
∵点A由点E向上平移了1个单位所得，∴E（3,－1）.
（3）由（2）得A（3,0），B（0, 3），∴.
∵点P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且∠APB＝45°,原顶点D（1,3）,
∴设P（1,y），设对称轴与AB的交点为M，与x轴的交点为H，则H（1,0）.
∵A（3,0），B（0, 3），∴∠OAB＝45°, ∴∠AMH＝45°.
∴M（1,2）. ∴.
∵∠BMP＝∠AMH, ∴∠BMP＝45°.
∵∠APB＝45°, ∴∠BMP＝∠APB.
∵∠B＝∠B，∴△BMP∽△BPA.
∴.∴
∴.∴（舍）.
∴
【点睛】本题考查的是抛物线，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
5．（2020·上海·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；
（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．
【答案】（1）D(1,-4)；（2）E（0，1）；（3）（-4，21）.
【分析】（1）根据已知得出点B的坐标，将A,B坐标代入抛物线解析式，进而确定出抛物线的解析式.再根据解析式求得顶点D的坐标.
（2）设点E坐标为（0，t），根据勾股定理，BE2＋DE2＝BD2，解出t的值，从而得到E点坐标.
（3）构造三角形，求出直线BF的方程式，再由方程式和抛物线解析式求解得点F 的坐标.
【详解】⑴ ，
∴D（1，－4）；
⑵ 设E（0，t）,
则,
∴E(0,－1)；
⑶ 又⑵得∠BCD＝90°,
∴△BCD≌△BEG,EG＝CD＝,BE＝BC＝,
∠DBG＝135°,
∴G(,),
又B（3，0），
∴BF:，
∴.
故答案为（1）D(1，－4)；（2）E（0，1）；（3）（－4，21）
【点睛】本题主要考查了抛物线的相关原理及其应用，掌握该原理是解答本题的关键.
6．（2020·上海·九年级专题练习）如图，已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点A(-2，0)和点B(4，0) ．
（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；
（2）点C在线段OB上，过点C作CD⊥轴，垂足为点C，交抛物线与点D，E是BD中点，联结CE并延长，与轴交于点F．
①当D恰好是抛物线的顶点时，求点F的坐标；
②联结BF，当△DBC的面积是△BCF面积的时，求点C的坐标．
【答案】(1) ,x=1;(2)①F的坐标是（0，）；②C坐标是.
【分析】（1）用待定系数法求解；
（2）①求出顶点坐标，得出DC、OC、BC长度，在Rt△DCB和Rt△OFC中，利用三角函数求出OF值即可；
②通过面积比找到DC与OF比值，证明△DCB∽△FOC，借助比例式求解OB，从而得到OC长．
【详解】（1）由题意得，抛物线经过点A(－2，0)和点B(4，0)，
代入得 解得
因此，这条抛物线的表达式是.
它的对称轴是直线.
（2）①由抛物线的表达式，得顶点D的坐标是（1，）.
∴.
∵D是抛物线顶点，CD⊥轴，E是BD中点，∴. ∴.
∵，∴.
在Rt△中，，．
在Rt△中，，．
∴，．∴点F的坐标是（0，）．
②∵，， ∴．
∵△DBC的面积是△BCF面积的， ∴．
由①得，又，
∴△∽△．∴．
又OB=4，∴，∴．即点C坐标是.
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点、二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求函数解析式．
7．（2020·上海·九年级专题练习）如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于C点，其中.
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15º，求线段CD的长度；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，求点的坐标.
【答案】（1），；（2）CD=或；（3）的坐标为或或或.
【分析】（1）将A、C坐标代入抛物线，结合抛物线的对称轴，解得a、b、c的值，求得抛物线解析式;
（2）求出直线BC的解析式为，得出∠CBA=45°再求出∠DBA=30°或∠DBA=60°,再求出DO即可;
（3）设点P的坐标，分别以B、C、P为直角顶点，进行分类讨论，再运用勾股定理得到方程式进行求解.
【详解】解：（1）根据对称轴x=-1,A（1,0），得出B为(-3,0)
依题意得：，解之得：，
∴抛物线的解析式为.
（2）∵对称轴为，且抛物线经过，∴
∴直线BC的解析式为. ∠CBA=45°
∵直线BD和直线BC的夹角为15º， ∴∠DBA=30°或∠DBA=60°
在△BOD，，BO=3
∴DO=或，∴CD=或.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则即：解之得：，
②若点为直角顶点，则即：解之得：，
③若点为直角顶点，则即：解之得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质是解题的关键.
8．（2020·上海·九年级专题练习）已知二次函数y=x2-4x-5，与y轴的交点为P，与x轴交于A、B两点．（点B在点A的右侧）
（1）当y=0时，求x的值．
（2）点M（6，m）在二次函数y=x2-4x-5的图像上，设直线MP与x轴交于点C，求ct∠MCB的值．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）当y=0，则x2-4x-5=0，解方程即可得到x的值.
(2) 由题意易求M，P点坐标，再求出MP的直线方程，可得ct∠MCB.
【详解】（1）把代入函数解析式得，
即，
解得：，.
（2）把代入得，即得，
∵二次函数，与轴的交点为，∴点坐标为.
设直线的解析式为，代入，得解得，
∴，
∴点坐标为，
在中,又∵
∴.
【点睛】本题考查的知识点是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x轴的交点，二次函数的性质.
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