（寒假）沪教版数学九年级重难点讲练测重难点02 几何证明（2份，原卷版+解析版）

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较之代数计算类题型，几何证明类题型偏重于利用所学的几何知识进行相关证明和说理，解题中一般是先根据图形间的几何关系，利用全等、相似等性质进行相关的说理和计算．
【满分技巧】
三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。
斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。
图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。
等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。
【限时检测】
一．解答题（共13小题）
1．（2022•浦东新区二模）如图，已知正方形ABCD，以AB为边在正方形外作等边△ABE，过点E作EF⊥AB与边AB、CD分别交于点F、点G，点O在线段EG上，且DO＝CD．
（1）求证：AE∥DO；
（2）联结AO、DE，DE分别交AO、AB于点M、Q，求证：．
【分析】（1）由等边三角形的性质及正方形的性质证出OD＝AE，证明Rt△AFE≌Rt△DGO（HL），由全等三角形的性质得出EF＝OG，由平行四边形的判定可证出四边形ADOE为平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论；
（2）证明四边形ADOE为菱形，由菱形的性质得出AO⊥ED，证明△QEF∽△ADM，由相似三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BE＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵OD＝CD，
∴OD＝AE，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∴四边形ADGF为矩形，
∴AF＝DG，AD＝FG，
在Rt△AFE和Rt△DGO中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△DGO（HL），
∴EF＝OG，
∴OE＝FG，
∴AD＝OE，
又∵AD∥OE，
∴四边形ADOE为平行四边形，
∴AE∥DO；
（2）证明：∵四边形ADOE为平行四边形，AD＝OD＝CD，
∴四边形ADOE为菱形，
∴AO⊥ED，
∴∠AMD＝90°，
又∵∠EFQ＝90°，
∴∠AMD＝∠EFQ，
又∵AD∥EF，
∴∠ADM＝∠QEF，
∴△QEF∽△ADM，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
2．（2022•奉贤区二模）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE＝DC，联结BE，分别交边DC、对角线AC于点F、G，AD＝FD．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）求证：＝．
【分析】（1）先证明△CDA≌△EDF，可得∠AEG＝∠ACD，从而证得AC⊥BE；
（2）先证明△BCF∽△EDF，可得，再由△CDA∽△EAB，可得，从而得证．
【解答】证明：（1）∵DE＝DC，AD＝FD，∠EDF＝∠CDA＝90°，
∴△CDA≌△EDF（SAS），
∴∠AEG＝∠ACD，
∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠AEG+∠DAC＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴AC⊥BE．
（2）在矩形ABCD中，BC∥AD，∴BC∥DE，
∴△BCF∽△EDF，
∴，
∵BC＝AD，DE＝CD，
∴，
由（1）得∠AGE＝90°＝∠CDA，∠AEG＝∠ACD，
∴△CDA∽△EAB，
∴，
∵AB＝CD，
∴，
∴．
【点评】本题考查了三角形相似的判定及全等的证明，由多组边相等想到证全等是证明题的常见思路，同时第一问的结论往往会衔接到第二问，所以在证第二问时要联系到第一问，这样子思路才会更顺畅！利用已知条件结合相似判定方法是本题解题的关键．
3．（2022•闵行区二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．
（1）求证：BE＝FG；
（2）如果AB⋅DM＝EC⋅AE，联结AM、DE，求证：AM垂直平分DE．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABE≌△EGF，可得BE＝FG；
（2）由相似三角形的性质可证EM＝DM，由“HL”可证Rt△AEM≌Rt△ADM，可得AE＝AD，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠ECD＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
又∵FG⊥BC，
∴∠BGF＝∠B＝90°，
∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，即：∠AEF＝90°，
∴∠GEF+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠GEF，
在△ABE与△EGF中，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴BE＝FG；
（2）如图，连接AM，DE，
∵∠B＝∠ECD，∠BAE＝∠GEF，
∴△ABE∽△ECM，
∴，
∵AB⋅DM＝EC⋅AE，
∴，
∴，
∴EM＝DM，
在Rt△AEM与Rt△ADM中，
，
∴Rt△AEM≌Rt△ADM（HL），
∴AD＝AE．
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∵EM＝DM，
∴点M在线段DE的垂直平分线上，
∴AM垂直平分DE．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．（2022•虹口区二模）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．
（1）求证：OM＝ON；
（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．
【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，利用圆心角，弦，弧，弦心距之间的关系定理可得OE＝OF，AE＝CF＝AB，利用等式的性质可得EM＝FN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接OB，利用相似三角形的判定与性质得到∠AOM＝∠B，利用同圆的半径线段，等腰三角形的性质
和角平分线性质定理的逆定理得到∠AOM＝∠OAC，则得OM∥ON，利用等腰梯形的定义即可得出结论．
【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图，
∵AB＝AC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE＝OF，AE＝CF＝AB．
∵AM＝CN，
∴AE﹣AM＝FC﹣CN，
即：EM＝FN．
在△OEM和△OFN中，
，
∴△OEM≌△OFN（SAS）．
∴OM＝ON；
（2）连接OB，如图，
∵AO2＝AM•AC，AC＝AB，
∴AO2＝AM•AB，
∴．
∵∠MAO＝∠OAB，
∴△OAM∽△BAO，
∴∠AOM＝∠B．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B，
∴∠OAB＝∠AOM，
∴OM＝AM．
∵OM＝ON，
∴AM＝ON．
∵OE＝OF，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠AOM＝∠OAC，
∴OM∥AN．
∵AM＜AN，
∴OM＜AN，
∴四边形AMON为梯形，
∵AM＝ON，
∴四边形AMON为等腰梯形．
【点评】本题主要考查了圆心角，弦，弧，弦心距之间的关系定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰梯形的定义，构造恰当的辅助线是解题的关键．
5．（2022•嘉定区二模）如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AC＝AD，点E在边BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，联结DE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）当AC＝BC时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）证△ABC≌△AED（SAS），即可得到结论；
（2）证BC＝AD＝DE，则∠EAD＝∠AED，再证∠AEB＝∠B，则∠EAD＝∠AEB，得AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD．
在△ABC与△AED中，
．
∴△ABC≌△AED（SAS）．
∴BC＝DE；
（2）由（1）可知，△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠AED，BC＝DE，AC＝AD，
∵AC＝BC，
∴BC＝AD＝DE，
∴∠EAD＝∠AED，
∴∠B＝∠EAD，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∴∠EAD＝∠AEB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题关键．
6．（2022•杨浦区二模）已知：如图，矩形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别是线段OC、OD的中点，联结AF、BE．
（1）求证：四边形ABEF是等腰梯形；
（2）过点O作OM⊥AB，垂足为点M，联结ME，如果∠OME＝∠BAC，求证：四边形AMEF是菱形．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AB∥CD，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，求出DO＝CO，AO＝BO，根据三角形的中位线性质得出EF∥DC，OE＝OC，OF＝OD，求出EF∥AB，AE＝BF，根据等腰梯形的判定得出即可；
（2）根据三角形的中位线性质得出．求出，求出处EF＝AM，根据平行四边形的判定得出四边形AMEF和四边形BMFE是平行四边形．求出OB⊥ME，根据菱形的判定得出平行四边形BMFE是菱形，根据菱形的性质得出BE＝BM，求出AF＝AM即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴DO＝CO，AO＝BO，
∵点E、F分别是线段OC、OD的中点，
∴EF∥DC，OE＝OC，OF＝OD，
∴EF∥AB，OE＝OF，
∴OF+OB＝OE+OA，
即AE＝BF，
∴四边形ABEF是等腰梯形；
（2）连接MF，
∵点E、F分别是线段OC、OD的中点，
∴，
∵OA＝OB，OM⊥AB，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴EF＝AM，
由（1）知：EF∥AM，
∴四边形AMEF是平行四边形，
同理：四边形BMFE是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
又∵∠OME＝∠BAC，
∴∠OME＝∠OBA，
∵∠OME+∠BME＝90°，
∴∠OBA+∠BME＝90°，
∴OB⊥ME，
∴平行四边形BMFE是菱形，
∴BE＝BM，
又∵四边形ABEF是等腰梯形，
∴BE＝AF，
又∵BM＝AM，
∴AF＝AM，
∴四边形AMEF是菱形．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识点，能灵活运用等腰梯形的性质和判定、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质进行推理是解此题的关键．
7．（2022•普陀区二模）已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得AE＝DE＝BD，CE＝BD，再结合已知CF＝BD，从而可得AE＝CF，进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据AE＝CE，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得AE＝CF＝DE，AD∥CE，从而可得∠ADE＝∠DEC，进而可得∠ADE＝∠DCG，再利用平行线的性质可得∠EAD＝∠CFD，然后证明△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝90°，E为BD的中点，
∴AE＝DE＝BD，
∵CF＝BD，
∴AE＝CF＝DE，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCD＝90°，E为BD的中点，
∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠DCG＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∵AE∥CF，
∴∠EAD＝∠CFD，
∴△ADE∽△FCD，
∴＝，
∴CF•DE＝AD•CD，
∵AE＝CF＝DE，
∴AE2＝AD•DC．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2022•静安区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，AE、AF分别交BD于点M、N，且BM＝MN＝ND，联结CM、CN．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）如果AE＝AF，求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】证明：（1）由三角形中位线定理得ME∥NC，NF∥CM，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）连接AC交BD于O，连接EF，由平行四边形的性质得AM＝CN，OA＝OC，OM＝ON，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由三角形中位线定理得EF∥BD，进而得∠AMN＝∠ANM，则AM＝AN，最后由等腰三角形的性质得AC⊥MN，即可得出结论..
【解答】证明：（1）∵点 E、F分别是边BC、DC的中点，BM＝MN＝ND，
∴ME是△BCN的中位线，NF是△CDM的中位线，
∴ME∥NC，NF∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）如图，连接AC交BD于O，连接EF，
由（1）可知，四边形AMCN是平行四边形，
∴AM＝CN，OA＝OC，OM＝ON，
∵BM＝ND，
∴OM+BM＝ON+ND，
即OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵点E、F分别是边BC、DC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠AMN＝∠AEF，∠ANM＝∠AFE，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∵OM＝ON，
∴AC⊥MN，
即AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
9．（2022•松江区二模）已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．
（1）求证：；
（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．
【分析】（1）根据已知易证△DAB∽△EBC，然后利用相似三角形的性质可得∠DAB＝∠EBC，＝，从而可得AD∥EB，进而证明8字模型相似三角形△ADF∽△EBF，最后利用相似三角形的性质可得＝，即可解答；
（2）根据已知易证△BFE∽△BED，从而利用相似三角形的性质可得∠BEF＝∠BDE，进而可得∠DAF＝∠BDE，然后利用（1）的结论可证△ADF≌△DBE，再利用全等三角形的性质即可解答．
【解答】证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，
∴＝，
∵∠ADB＝∠BEC，
∴△DAB∽△EBC，
∴∠DAB＝∠EBC，＝，
∴AD∥EB，
∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∴；
（2）∵BE2＝BF•BD，
∴＝，
∵∠DBE＝∠EBF，
∴△BFE∽△BED，
∴∠BEF＝∠BDE，
∵∠DAF＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠BDE，
∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，
∴△ADF≌△DBE（ASA），
∴DF＝BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2022•崇明区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如果BE2＝AB⋅EF，求证：∠ECF＝∠BAE．
【分析】（1）根据平行线的性质易证四边形AFCD是平行四边形，进一步根据SAS即可得证；
（2）根据已知条件可证△EBF∽△EAB，可得∠FBE＝∠BAE，根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质可得∠FBE＝∠ECF，即可得证．
【解答】证明：（1）∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠DCE，
∵DE∥AB，
∴∠ABE＝∠DEC，∠BAF＝∠AED，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠AEB，∠DCE＝∠DEC，
∴AB＝AE，DE＝DC，
∵AF∥CD，AD∥CF，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AF＝CD，
∴AF＝DE，
在△ABF和△EAD中，
，
∴△ABF≌△EAD（SAS）；
（2）∵BE2＝AB⋅EF，AB＝AE，
∴，
又∵∠AEB＝∠BEF，
∴△EBF∽△EAB，
∴∠FBE＝∠BAE，
由（1）得△ABF≌△EAD，
∴BF＝AD，
在平行四边形AFCD中，AD＝CF，
∴BF＝CF，
∴∠FBE＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠BAE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，本题综合性较强，属于中考常考题型．
11．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．
（1）如果AB＝2AC，求证：四边形ADFE是菱形；
（2）如果AB＝AC，且BC＝1，联结DE，求DE的长．
【分析】（1）根据菱形的判定方法解答即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，
∴＝，
∵DF∥AC，
∴＝，
∴＝，
∴EF∥AB，
又∵DF∥AC，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵AB＝2AC，AE＝AC，
∴AE＝AB，
∴AD＝AE，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE是菱形；
（2）如图，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，
＝＝＝，＝＝＝，
∴△ADE∽△ACB，
∵BC＝1，
∴DE＝．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．
12．（2022•黄浦区二模）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点．
（1）求证：∠AOM＝∠AON；
（2）如果AE∥ON，AF∥OM，求证：OE•OM＝AO2．
【分析】（1）根据圆的性质证明AM＝AN，再证明Rt△AMO≌Rt△ANO，便可得∠AOM＝∠AON；
（2）先证明四边形AEOF为菱形，连接EF，与AO交于点H，再证明△OEH∽△OAM，便可得出结论．
【解答】证明：（1）∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∵AB＝AC，
∴AM＝AN，
在Rt△AMO和Rt△ANO中，
，
∴Rt△AMO≌Rt△ANO（HL），
∴∠AOM＝∠AON；
（2）∵AE∥ON，AF∥OM，
∴四边形AEOF是平行四边形，∠EAO＝∠AON，
∵∠AOM＝∠AON，
∴∠EAO＝∠AOM，
∴EA＝EO，
∴四边形AEOF是菱形，
连接EF，与AO交于点H，
∴AO⊥EF，OH＝，
∵∠OHE＝∠OMA＝90°，∠EOH＝∠AOM，
∴△OEH∽△OAM，
∴，
∴OE•OM＝OH•OA，
∴OE•OM＝AO2．
【点评】本题主要考查了圆的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，关键在于证明三角形全等与相似．
13．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知等边△ABC中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边向左作等边△ADE，联结CF、EF．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）当∠DEF＝45°时，求的值．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝CB，∠ACD＝∠B，根据全等三角形的性质得到∠DAC＝∠FCB，求得∠BAD＝∠ACF，根据平行线的判定定理得到CF∥DE，由平行四边形的判定定理即可得到四边形CDEF是平行四边形；
（2）过F作FG⊥BC于G，根据平行四边形的性质得到∠FCB＝∠DEF＝45°，求得FG＝CG，设BG＝x，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，∠ACD＝∠B，
又CD＝BF，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠DAC＝∠FCB，
∴∠BAD＝∠ACF，
∵∠EDB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝120°﹣∠ADC，∠FCB＝180°﹣∠B﹣∠CFB＝120°﹣∠CFB，
∴∠EDB＝∠FCB，
∴CF∥DE，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：过F作FG⊥BC于G，
∵四边形CDEF是平行四边形，∠DEF＝45°，
∴∠FCB＝∠DEF＝45°，
∴FG＝CG，
设BG＝x，则CG＝FG＝BG•tan60°＝x，
CD＝BF＝ ＝2x，
∴BC＝BG+CG＝（ 1+）x，
∴BD＝BC﹣CD＝（ 1+）x﹣2x＝（﹣1 ）x，
∴＝＝．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形及平行四边形的判定和性质等知识，综合性较强，难度较大．
声明