四川省成都市温江区王府外国语学校2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷　-A4

这是一份四川省成都市温江区王府外国语学校2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷　-A4，共25页。
1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．B．0C．D．
2．（3分）如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，已知S2＝1，S3＝2，则S1的值为（ ）
A．1B．C．D．3
3．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．4，3，B．6，8，10C．8，15，16D．7，24，25
4．（3分）函数自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x≠2D．x＜2
5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（﹣2，5）D．（﹣2，﹣5）
6．（3分）下列说法正确的个数为（ ）
①﹣10没有平方根；
②36的平方根是±6；
③立方根等于它本身的数是0，1；
④49的算术平方根是7．
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）已知一次函数y＝﹣3x+6，那么下列结论正确的是（ ）
A．y的值随x的值增大而增大
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象必经过点（1，3）
D．与y轴交于（0，﹣6）
8．（3分）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为14cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为48cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为40cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（ ）
A．30cmB．28cmC．41cmD．18cm
二.填空题（共5小题，共20分）
9．（3分）的绝对值是 ； 5（选填“＞”“＜”或“＝”）．
10．（3分）已知点（a+7，a﹣7）在x轴上，则a的值是 ．
11．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是 ．
12．（3分）直角三角形的两直角边分别为5cm和12cm，则斜边上的高为 cm．
13．（3分）已知二元一次方程组，则x+y的值为 ．
三、解答题（共5题，共计48分）
14．（1）计算：；
（2）；
（3）（x+1）2＝81；
（4）解方程组：（请用代入消元法求解方程组）．
15．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求8a﹣4b+c的平方根．
16．如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）写出点A'、B'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
17．已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别交x轴，y轴于A、B两点．
（1）求出交点A、B的坐标；
（2）请在平面直角坐标系中画出函数的图象；
（3）若C点坐标为（﹣2，﹣1），求△ABC的面积．
18．如图，点A（0，a），点B（b，0）分别为y轴正半轴、x轴负半轴上的点，以点B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）如图1，若a、b满足，求点C的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M在AC上，点N在CA的延长线上，∠MBN＝45°，探究线段CM、AN和MN之间的关系，并加以证明．
一、填空题（20分）
19．（3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：＝ ．
20．（3分）当m为 时，点A（4﹣m，3m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离．
21．（3分）已知一次函数y＝（k+4）x+k2﹣16的图象经过原点，则k的值为 ．
22．（3分）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a阶开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如点P（1，4）的“2阶开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．若点C的坐标为（﹣2，1），则点C的“3阶开心点”D的坐标为 ；若点M（m﹣1，2m）的“﹣3阶开心点”N在第一象限，且到x轴的距离为9，则点N的坐标为 ．
23．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
二、解答题（共3小题，满分0分）
24．在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，乐乐是这样分析与解答的：
∵
∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据乐乐的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求6a2﹣12a+1的值．
25．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝4．
（1）求AE和CD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
26．点P、点P′和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若PQ＝P′Q，且∠PQP'＝90°，则称P′为点P关于点Q的等垂点．
（1）已知点Q的坐标为（2，0）．
①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点P′的坐标 ；
②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点P′恰好在一次函数y＝x+2的图象上，求点P′的坐标；
（2）如图3，若点Q的坐标为（1，﹣2），P为直线y＝2上一点，P关于点Q的等垂点P′位于y轴右侧，连接OP′，QP′，请问OP'+QP'是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．
2024-2025学年四川省成都市温江区王府外国语学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，共32分）
1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．B．0C．D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A．﹣＝﹣2，﹣2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．＝4，4是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，已知S2＝1，S3＝2，则S1的值为（ ）
A．1B．C．D．3
【分析】由正方形的性质得S2＝AC2＝1，S3＝BC2＝2，S1＝AB2，再由勾股定理即可得出答案．
【解答】解：由正方形的性质可知，S2＝AC2＝1，S3＝BC2＝2，S1＝AB2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴S1＝AB2＝AC2+BC2＝1+2＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（3分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．4，3，B．6，8，10C．8，15，16D．7，24，25
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：32+（）2＝42，故选项A中的三条线段能构成直角三角形；
62+82＝102，故选项B中的三条线段能构成直角三角形；
82+152≠162，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形；
72+242＝252，故选项D中的三条线段能构成直角三角形；
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
4．（3分）函数自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x≠2D．x＜2
【分析】根据二次根式有意义的条件成立不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（﹣2，5）D．（﹣2，﹣5）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：∵点A（2，5）与点B关于原点对称，
∴点B的坐标是（﹣2，﹣5），
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．（3分）下列说法正确的个数为（ ）
①﹣10没有平方根；
②36的平方根是±6；
③立方根等于它本身的数是0，1；
④49的算术平方根是7．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐个判断即可．
【解答】解：①﹣10没有平方根，正确；
②36的平方根是±6，正确；
③立方根等于它本身的数是0，±1，原说法错误；
④49的算术平方根是7，正确；
所以正确的有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
7．（3分）已知一次函数y＝﹣3x+6，那么下列结论正确的是（ ）
A．y的值随x的值增大而增大
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象必经过点（1，3）
D．与y轴交于（0，﹣6）
【分析】根据一次函数的图象和性质逐项进行判断即可．
【解答】解：A．∵k＝﹣3＜0，
∴y的值随x的值增大而减小，
故错误，不符合题意；
B．∵k＝﹣3＜0，b＝6＞0，
∴图象经过第一、二、四象限，
故错误，不符合题意；
C．当x＝1时，y＝﹣3×1+6＝3，
∴图象必经过点（1，3），
故正确，符合题意；
D．当x＝0时，y＝﹣3×0+6＝6，
∴一次函数的图象与y轴交于（0，6），
故不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了一次函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
8．（3分）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为14cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为48cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为40cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（ ）
A．30cmB．28cmC．41cmD．18cm
【分析】根据题意得∠ACB＝∠AED＝90°，AB＝AD，由勾股定理求出AB的长，再由勾股定理即可求出AE的长．
【解答】解：由题意得：∠ACB＝∠AED＝90°，AB＝AD，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝50（cm），
∴AD＝AB＝50cm，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝＝30（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二.填空题（共5小题，共20分）
9．（3分）的绝对值是 ； ＞ 5（选填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】根据实数的性质，实数的大小比较方法解答即可．
【解答】解：∵，
∴；
∵，
∴．
故答案为：；＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，实数的性质，熟练掌握实数的大小比较方法，实数的性质是解题的关键．
10．（3分）已知点（a+7，a﹣7）在x轴上，则a的值是 7 ．
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0列式求解即可得到答案．
【解答】解：∵点P（a+7，a﹣7）在x轴上，
∴a﹣7＝0，
解得：a＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
11．（3分）如图，在数轴上点A表示的实数是 ﹣ ．
【分析】根据勾股定理，求出半径即可．
【解答】解：∵半径＝＝，
∴点A表示的数为﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点A在数轴的负半轴上．
12．（3分）直角三角形的两直角边分别为5cm和12cm，则斜边上的高为 cm．
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，
∴斜边为：＝13cm，
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为×5×12＝×13•h，
∴h＝cm，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握．
13．（3分）已知二元一次方程组，则x+y的值为 3 ．
【分析】①+②得出3x+3y＝9，再方程两边除以3即可．
【解答】解：，
①+②，得3x+3y＝9，
x+y＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
三、解答题（共5题，共计48分）
14．（1）计算：；
（2）；
（3）（x+1）2＝81；
（4）解方程组：（请用代入消元法求解方程组）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（3）利用平方根的意义进行计算，即可解答；
（4）利用代入消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝3﹣（﹣2）+1+2
＝3﹣+2+1+2
＝6+；
（2）
＝3﹣2+
＝3﹣2+2
＝3；
（3）（x+1）2＝81，
x+1＝±9，
x＝8或x＝﹣10；
（4），
由①得：x＝2﹣3y③，
把③代入②得：4（2﹣3y）﹣y＝8，
解得：y＝0，
把y＝0代入③得：x＝2，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，平方根，零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求8a﹣4b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是2，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝12，
∴a＝5，b＝﹣2，
∵c是的整数部分，
∴c＝4．
（2）将a＝5，b＝﹣2，c＝4代入得：
8a﹣4b+c＝8×5﹣4×（﹣2）+4＝40+8+4＝52，
∴8a﹣4b+c的平方根是±2．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
16．如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个△ABC．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）写出点A'、B'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据图形即可写出点A'、B'的坐标；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）由图可知点A'的坐标为（3，2），点B'的坐标为（4，﹣3）；
（3）△ABC的面积为3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
17．已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别交x轴，y轴于A、B两点．
（1）求出交点A、B的坐标；
（2）请在平面直角坐标系中画出函数的图象；
（3）若C点坐标为（﹣2，﹣1），求△ABC的面积．
【分析】（1）把x＝0，y＝0分别代入一次函数解析式中，可得点B，A的坐标；
（2）利用两点法画出函数的图象即可；
（3）求得直线BC的解析式，即可求得直线BC与x轴的交点D的坐标，然后根据S△ABC＝S△ACD+S△ABD求得即可．
【解答】解：（1）把x＝0，代入y＝﹣3x+3中，
可得：y＝3，
所以点B的坐标是（0，3）；把y＝0代入y＝﹣3x+3中，
可得：x＝1，
所以点A的坐标是（1，0）；
（2）一次函数y＝﹣3x+3的图象如图：
；
（3）设BC与x轴的交点为D，设直线BC的解析式为y＝kx+3，
把C（﹣2，﹣1）代入得，﹣1＝﹣2k+3，
解得k＝2，
∴直线BC为y＝2x+3，
令y＝0，则x＝﹣，
∴D（﹣，0），
∴AD＝1﹣（﹣）＝，
∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝＝5．
【点评】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键．
18．如图，点A（0，a），点B（b，0）分别为y轴正半轴、x轴负半轴上的点，以点B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）如图1，若a、b满足，求点C的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M在AC上，点N在CA的延长线上，∠MBN＝45°，探究线段CM、AN和MN之间的关系，并加以证明．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于D．求出AO＝3，BO＝2，证明△AOB≌△BDC（AAS），则AO＝BD＝3，BO＝CD＝2，求出OD＝5，即可得到答案；
（2）设点P的坐标为（m，0），则AP2＝（m﹣0）2+（0﹣3）2＝m2+9，BP＝|m+2|，求出，分两种情况分别进行解答即可；
（3）过点B作PB⊥BN，使BP＝BN，连接PM、PC．证明△PBM≌△NBM（SAS），则MP＝MN，∠BMP＝∠BMN，证明△PBC≌△NBA（SAS），则PC＝AN，得到∠PCB＝∠NAB＝135°，则∠PCM＝∠PCB﹣45°＝90°，由勾股定理得到PC2+CM2＝PM2，即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1：过点C作CD⊥x轴于D．
∵（a﹣3）2+|b+2|＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴A（0，3），B（﹣2，0），
∴AO＝3，BO＝2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠ABO+∠CBD＝∠BAO+∠ABO，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴AO＝BD＝3，BO＝CD＝2，
∴OD＝5，
∴C（﹣5，2）；
（2）存在，理由如下：
设点P的坐标为（m，0），则AP2＝（m﹣0）2+（0﹣3）2＝m2+9，BP＝|m+2|，
∵AO＝3，BO＝2，∠AOB＝90°，
∴，
当AP＝AB时，则AP2＝AB2，得到，解得m＝2或m＝﹣2（不合题意，舍去），
∴此时点P的坐标为（2，0）；
当BP＝AB时，得到，解得或，
∴此时点P的坐标为或；
综上可知，点P的坐标为（2，0）或或；
（3）AN2+CM2＝MN2，证明如下：
过点B作PB⊥BN，使BP＝BN，连接PM、PC．如图2，
∵∠MBN＝45°，
∴∠PBM＝∠NBM＝45°，
在△PBM和△NBM中，
∵BP＝BN，∠PBM＝∠NBM＝45°，BM＝BM，
∴△PBM≌△NBM（SAS），
∴MP＝MN，∠BMP＝∠BMN，
∵∠ABC＝∠PBN＝90°，
∴∠PBC＝∠NBA，
在△PBC和△NBA中，
，
∴△PBC≌△NBA（SAS），
∴PC＝AN，∠PCB＝∠NAB＝135°，
∴∠PCM＝∠PCB﹣45°＝90°，
∴PC2+CM2＝PM2，
∴AN2+CM2＝MN2．
【点评】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
一、填空题（20分）
19．（3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：＝ 2 ．
【分析】运用数轴上的点表示实数和平方根、立方根知识进行求解．
【解答】解：由题意得，0＜a＜2，
∴
＝a+2﹣a
＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了数轴上的点表示实数和平方根、立方根知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
20．（3分）当m为 或﹣3 时，点A（4﹣m，3m+2）到x轴的距离等于它到y轴距离．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度列出方程求解即可．
【解答】解：由题意得，|3m+2|＝|4﹣m|，
∴3m+2＝4﹣m或3m+2＝﹣（4﹣m），
解得m＝或m＝﹣3，
故答案为：或﹣3．
【点评】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度并列出绝对值方程是解题的关键．
21．（3分）已知一次函数y＝（k+4）x+k2﹣16的图象经过原点，则k的值为 4 ．
【分析】把原点坐标代入解析式得到关于k的方程，然后解方程求出k，再利用一次函数的定义确定满足条件的k的值．
【解答】解：把（0，0）代入y＝（k+4）x+k2﹣16，
得k2﹣16＝0，
解得k＝±4，
而k+4≠0，
所以k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，掌握代入法和一次项系数不为零是解题关键．
22．（3分）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a阶开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如点P（1，4）的“2阶开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．若点C的坐标为（﹣2，1），则点C的“3阶开心点”D的坐标为 （﹣5，1） ；若点M（m﹣1，2m）的“﹣3阶开心点”N在第一象限，且到x轴的距离为9，则点N的坐标为 （5，9） ．
【分析】根据“a阶开心点”的定义求解即可；先根据新定义求出点A的“﹣3阶开心点”的坐标，再根据到x轴的距离为9列方程求解即可．
【解答】解：依题意得3×（﹣2）+1＝﹣5，﹣2+3×1＝1，
∴点C的“3阶开心点”D的坐标为（﹣5，1）；
∵点M（m﹣1，2m）的“﹣3阶开心点”为N，
∴点N的坐标为（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1﹣3×2m），即N（﹣m+3，﹣5m﹣1），
∵点N在第一象限，且到x轴的距离为9，
∴﹣5m﹣1＝9，
解得m＝﹣2，
∴﹣m+3＝5，
∴点N的坐标为（5，9）．
故答案为：（﹣5，1）；（5，9）．
【点评】本题考查点的坐标，新定义运算，整式的加减，解一元一次方程等知识点，正确理解题目中“a阶开心点”的定义是解题的关键．
23．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 9 ．
【分析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，12），
∴OA＝12，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝6，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝3，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝6+3＝9，
∴PC的最小值为9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
二、解答题（共3小题，满分0分）
24．在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，乐乐是这样分析与解答的：
∵
∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据乐乐的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求6a2﹣12a+1的值．
【分析】（1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（2）先分母有理化得到a＝+1，再变形得到a﹣1＝，则两边平方可得a2﹣2a＝1，接着把6a2﹣12a+1变形6（a2﹣2a）+1我，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9；
（2）∵a＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，
即a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴6a2﹣12a+1＝6（a2﹣2a）+1＝6×1+1＝7．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化和二次根式的混合运算．
25．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝4．
（1）求AE和CD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）过点D作DF⊥AC于点F，证明△DFE是等腰直角三角形，∠AEB＝∠CED＝45°，CD＝2DF，则EF＝DF，再证明△BAE是等腰直角三角形，得AE＝AB，然后由勾股定理求出AB＝AE＝8，EF＝DF＝4，即可得出结论；
（2）在Rt△CFD中，由勾股定理得CF＝4，则AC＝AE+EF+CF＝12+4，然后由三角形面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）如图，过点D作DF⊥AC于点F，
则∠DFE＝∠DFC＝90°，
∵∠CED＝45°，∠DCE＝30°，
∴△DFE是等腰直角三角形，∠AEB＝∠CED＝45°，CD＝2DF，
∴EF＝DF，
∵∠BAC＝90°，
∴△BAE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，
在Rt△BAE和Rt△DFE中，由勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，EF2+DF2＝DE2，
∴AB＝AE＝BE＝×8＝8，EF＝DF＝DE＝×4＝4，
∴CD＝2DF＝2×4＝8，
即AE和CD的长分别为8、8；
（2）在Rt△CFD中，由勾股定理得：CF＝＝＝4，
∴AC＝AE+EF+CF＝8+4+4＝12+4，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•AC+DF•AC＝×8×（12+4）+×4×（12+4）＝72+24，
即四边形ABCD的面积为72+24．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
26．点P、点P′和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若PQ＝P′Q，且∠PQP'＝90°，则称P′为点P关于点Q的等垂点．
（1）已知点Q的坐标为（2，0）．
①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点P′的坐标 （2，2）或（2，﹣2） ；
②如图2，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点P′恰好在一次函数y＝x+2的图象上，求点P′的坐标；
（2）如图3，若点Q的坐标为（1，﹣2），P为直线y＝2上一点，P关于点Q的等垂点P′位于y轴右侧，连接OP′，QP′，请问OP'+QP'是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．
【分析】（1）①根据新定义，得到P′Q⊥x轴，且P′Q＝2，求解即可；②分点P在y轴正半轴和在y轴负半轴上，两种情况进行求解即可；
（2）过点Q作平行于x轴的直线a，交y轴于点B，过点P作PC⊥a于点C，交x轴于点A，过点P′作P′D⊥a于点D，证明△PCQ≌△QDP′（AAS），得到点P′在直线x＝5上运动，作点O关于直线x＝5的对称点O′，连接O′Q，交直线x＝5于点P″，
则P″O＝P″O′，进而得到当点P′与点P″重合时，且Q，P″，O′在一条直线上时，O P'+Q P'的值最小，最小值为O′Q，进行求解即可．
【解答】解：（1）①若PQ＝P′Q，且∠PQP'＝90°，则称P′为点P关于点Q的等垂点．作出点P关于点Q的等垂点，如图1，
则P′Q＝PQ，
∵点Q的坐标为（2，0），若点P为原点，
∴PQ＝2，
∴P′Q＝PQ＝2，
∵P′Q⊥x轴，
∴P关于Q的等垂点P′的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．
故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；
②Ⅰ．P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点P′恰好在一次函数y＝x+2的图象上，当点P在y轴的正半轴上时，过点P′作P′A⊥x轴于点A，如图2，
∵P′恰好在一次函数y＝x+2的图象上，
∴设P′（m，m+2），
∴P′A＝﹣m﹣2，
∵点Q的坐标为（2，0），
∴OQ＝2．
∵PQ⊥P′Q，
∴∠PQA+∠AQP′＝90°，
∵∠AQP′+∠AP′Q＝90°，
∴∠AP′Q＝∠OQP．
在△AP′Q和△OQP中，
，
∴△AP′Q≌△OQP（AAS），
∴AP′＝OQ＝2AP′，
∴﹣m﹣2＝2，
∴m＝﹣4，
∴P′（﹣4，﹣2）；
Ⅱ．当点P在y轴的负半轴上时，过点P′作P′B⊥x轴于点B，如图3，
∵P′恰好在一次函数y＝x+2的图象上，
∴设P′（m，m+2），
∴P′B＝m+2，
同Ⅰ可得：△P′BQ≌△QOP，
∴P'B＝m+2＝OQ＝2，
∴m＝0，
∴P'（0，2），
综上，点P′的坐标为（﹣4，﹣2）或（0，2）；
（2）O P'+Q P'有最小值，最小值为，理由如下：
若点Q的坐标为（1，﹣2），P为直线y＝2上一点，P关于点Q的等垂点P′位于y轴右侧，过点Q作平行于x轴的直线a，交y轴于点B，过点P作PC⊥a于点C，交x轴于点A，过点P′作P′D⊥a于点D，如图4，
则OB＝2，BQ＝1，PA＝2，AC＝OB＝2，
∴PC＝PA+AC＝4．
∵∠CPQ+∠CQP＝90°，∠CQP+∠P′QD＝90°，
∴∠CPQ＝∠DQP′．
在△PCQ和△QDP′中，
，
∴△PCQ≌△QDP′（AAS），
∴PC＝QD＝4，
∴BD＝BQ+QD＝1+4＝5，
∴点P′的横坐标为5，即点P′在直线x＝5上运动，
作点O关于直线x＝5的对称点O′，连接O′Q，交直线x＝5于点P″，
则P″O＝P″O′，
∴当点P′与点P″重合时，且Q，P″，O′在一条直线上时，O P'+Q P'的值最小，最小值为O′Q．
过点Q作QE⊥OO′于点E，则OE＝1，QE＝2，
∴O′E＝OO′﹣OE＝10﹣1＝9，
∴．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
B
D
C
C
A