四川省成都市实验外国语学校 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份四川省成都市实验外国语学校 2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．0B．C．3.14D．
2．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．6B．C．D．
3．（4分）下列各式中运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）已知a＞b，下列不等式成立的是（ ）
A．a+2＞b+3B．﹣4a＞﹣4bC．m﹣a＜m﹣bD．am＞bm
7．（4分）某班看演出，甲种票每张20元，乙种票每张16元，如果40名学生购票恰好用去704元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ）
A．BC＝5B．∠A＝90°
C．△ABC的面积为4D．点A到BC的距离为2
二、填空题（每小题4分，共20分：请将答案填在答题卷对应的横线上）
9．（4分）若实数m，n满足+|n+2|＝0，则m+n的值为 ．
10．（4分）比较大小： ．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
11．（4分）已知是关于x，y的二元一次方程2kx+y＝4的解，则k的值为 ．
12．（4分）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝，BC＝+1，则边AC的长为 ．
三、解答题（共5小题，满分48分，将正确答案写在答题卡上）
14．（16分）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程组：；
（4）解不等式组：．
15．（6分）已知，．
（1）填空：x的绝对值是 ，y的相反数是 ；
（2）计算：求x2+3xy+y2的值．
16．（8分）已知6a﹣3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
17．（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米．
（1）求旗杆AB的高度；
（2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（≈2.24，结果保留1位小数）
18．（10分）如图，在Rt△AOB中，已知∠AOB＝90°，记AO＝m，BO＝n，请回答下列问题：
（1）若m，n满足等式，求出AB的长；
（2）在（1）的条件下，如图，点P是△AOB外一点，连接BP，过点A作AC⊥BP，连接CO，证明：；
（3）在（2）的条件下，若∠POC＝∠APC，，求PB的长．
一、填空题：（每小题4分，共20分；请将答案填在答题卷对应的横线上）
19．（4分）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，连接BC，点M在点B的左侧的数轴上，BM＝BC，则点M表示的数是 ．
20．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组，则4x+y的值为 ．
21．（4分）若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围为 ．
22．（4分）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边．
观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律：
（1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果）
（2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的奇数，通过探索，请用含m（m为偶数，且m＞6）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ．
23．（4分）如图，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，则正方形MNPQ的面积为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；若同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元．
（1）求A、B两种图书的单价各是多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且A种图书的数量少于B种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？
25．（10分）（1）问题再现：
学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 ；
（2）应用
如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若AE＝8，连接HC，则HC+AB的最小值是 ；
（3）类比迁移
已知a，b均为正数，且a﹣b＝6，求的最大值．
26．（12分）综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动．
如图，长方形ABCD中，P是射线AD上一点，将△ABP沿BP折叠后得到△GBP．
【初步探究】
如图1，P在线段AD上，过点G作AB的平行线交AD，BC的两边于M，N，若AB＝5，AM＝4，求AP的长；
【深入探究】
如图2，P在线段AD的中点上，延长BG交DC于点F，若DF＝3FC，试说明AD与AB满足的数量关系；
【拓展延伸】
若AB＝4，AD＝6，连接DG，CG，当△CDG是以DG为底的等腰三角形时，直接写出AP的长．
2024-2025学年四川省成都实验外国语学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共32分．请将所选答案的字母代号填涂在答题卡上）
1．（4分）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．0B．C．3.14D．
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、＝2，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．6B．C．D．
【考点】同类二次根式．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义解决此题．
【解答】解：A．根据同类二次根式的定义，6与不是同类二次根式，那么A不符合题意．
B．根据算术平方根以及同类二次根式，＝3与不是同类二次根式，那么B不符合题意．
C．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，与是同类二次根式，那么C符合题意．
D．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，与不是同类二次根式，那么D不符合题意．
故选：C．
3．（4分）下列各式中运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次根式的性质与化简；立方根．
【答案】D
【分析】利用二次根式的性质一一判断即可．
【解答】解：A、＝2，错误，不符合题意；
B、＝7，本选项错误，不符合题意；
C、＝﹣4，本选项错误，不符合题意；
D、＝3，正确，符合题意．
故选：D．
4．（4分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】A
【分析】直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．
【解答】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在数轴上表示，如图所示：
．
故选：A．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B、D选项进行判断；根据平方差公式对C选项进行判断．
【解答】解：A． ×＝＝，所以A选项不符合题意；
B． ﹣＝2﹣＝，所以B选项不符合题意；
C． （+2）（﹣2）＝5﹣4＝1，所以C选项符合题意；
D．3﹣2＝，所以D选项不符合题意．
故选：C．
6．（4分）已知a＞b，下列不等式成立的是（ ）
A．a+2＞b+3B．﹣4a＞﹣4bC．m﹣a＜m﹣bD．am＞bm
【考点】不等式的性质．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【解答】解：A、∵a＞b，∴a+2＞b+2，不一定有a+2＞b+3，不符合题意；
B、∵a＞b，∴﹣4a＜﹣4b，不符合题意；
C、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴m﹣a＜m﹣b，符合题意；
D、∵a＞b，当m＝0时，∴am＝bm，不符合题意，
故选：C．
7．（4分）某班看演出，甲种票每张20元，乙种票每张16元，如果40名学生购票恰好用去704元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】A
【分析】利用总价＝单价×数量，结合40名同学购票恰好用去704元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵共40名同学去看演出，
∴x+y＝40；
∵甲种票每张20元，乙种票每张16元，且购票恰好用去704元，
∴20x+16y＝704，
∴根据题意可列出方程组．
故选：A．
8．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ）
A．BC＝5B．∠A＝90°
C．△ABC的面积为4D．点A到BC的距离为2
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【答案】C
【分析】利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离等知识点，利用勾股定理求出BC长可判定A，利用勾股定理及其逆定理判定B，利用网格图计算三角形的面积可判定C，利用面积公式求出△ABC边BC的高，即可利用点到直线的距离判定D，
【解答】解：A．由题意得：BC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，
故A不符合题意；
B．∵AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
故B不符合题意；
C．，
故C符合题意；
D．点A到BC的距离＝＝＝2，
故D不符合题意；
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分：请将答案填在答题卷对应的横线上）
9．（4分）若实数m，n满足+|n+2|＝0，则m+n的值为 1 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；代数式求值；非负数的性质：绝对值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而可求出m+n的值．
【解答】解：∵实数m，n满足+|n+2|＝0，
∴m﹣3＝0，n+2＝0，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴m+n＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
10．（4分）比较大小： ＞ ．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
【考点】实数大小比较．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把2平方后移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】解：∵2＝，
∴＞．
故答案为：＞
11．（4分）已知是关于x，y的二元一次方程2kx+y＝4的解，则k的值为 ﹣ ．
【考点】二元一次方程的解．
【答案】﹣．
【分析】把方程的解代入二元一次方程得到关于k的一次方程，求解即可．
【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程2kx+y＝4的解，
∴﹣4k+1＝4．
∴k＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（4分）若式子有意义，则x的取值范围是 x≥1且x≠3 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【答案】x≥1且x≠3．
【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x﹣1≥0且x﹣3≠0，
解得x≥1且x≠3．
故答案为：x≥1且x≠3．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝，BC＝+1，则边AC的长为 2 ．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【答案】2．
【分析】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形，再结合特殊角的三角函数值即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinB＝，csB＝，
∴AM＝，BM＝．
又∵BC＝，
∴CM＝．
在Rt△ACM中，
AC＝．
故答案为：2．
三、解答题（共5小题，满分48分，将正确答案写在答题卡上）
14．（16分）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程组：；
（4）解不等式组：．
【考点】二次根式的混合运算；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次不等式组；平方差公式．
【答案】（1）2；
（2）1﹣；
（3）；
（4）﹣1＜x≤4．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先把除法运算化为乘法运算，再根据二次根式的除法法则和平方差公式计算，然后合并即可；
（3）原方程组变形为，然后利用加减消元法解方程组；
（4）先分别解两个不等式得到x≤4和x＞﹣1，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+2
＝2；
（2）原式＝（﹣）×﹣（3﹣1）
＝﹣﹣2
＝3﹣﹣2
＝1﹣；
（3）原方程组变形为，
①+②×2得5x＝30，
解得x＝6，
把x＝6代入②得6﹣y＝﹣3，
解得y＝9，
所以原方程组的解为；
（4），
解不等式①得x≤4，
解不等式②得x＞﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
15．（6分）已知，．
（1）填空：x的绝对值是 2﹣ ，y的相反数是 ﹣﹣2 ；
（2）计算：求x2+3xy+y2的值．
【考点】二次根式的化简求值．
【答案】（1），；
（2）11．
【分析】（1）根据绝对值和相反数的定义即可解答；
（2）由，，利用二次根式的运算法则及平方差公式计算出，将x2+3xy+y2利用完全平方公式变形为（x+y）2+xy，整体代入计算即可．
【解答】解：（1）∵，，＜2，
∴﹣2＜0，+2＞0，
∴x的绝对值是，y的相反数是，
故答案为：2﹣，﹣﹣2；
（2）∵，，
∴，
∴．
16．（8分）已知6a﹣3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根．
【答案】（1）a＝5，b＝2，c＝3；
（2）±4．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，即可求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，即可求平方根，注意一个正数的平方根有两个．
【解答】解：（1）∵6a﹣3的立方根是3，
∴6a﹣3＝33＝27，
∴a＝5，
∵3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴3a+b﹣1＝16，
代入a＝5得，15+b﹣1＝16，
解得b＝2，
∵16＜21＜25，
∴，
∴3﹣1＜4，
∴﹣1的整数部分是3，
∴c＝3，
综上：a＝5，b＝2，c＝3；
（2）∵a＝5，b＝2，c＝3．
∴3a﹣b+c＝16，
∵16的平方根是±4，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
17．（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米．
（1）求旗杆AB的高度；
（2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（≈2.24，结果保留1位小数）
【考点】勾股定理的应用．
【答案】（1）12米；
（2）约2.2米．
【分析】（1）设旗杆AB的高度为x米，则AC为（x+3）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）过E作EG⊥AB于点G，则四边形BDEG是矩形，得BG＝DE＝2米，EG＝BD，再由勾股定理得EG＝5（米），即可解决问题．
【解答】解：（1）设旗杆AB的高度为x米，则AC为（x+3）米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12，
答：旗杆AB的高度为12米；
（2）如图，过E作EG⊥AB于点G，
则四边形BDEG是矩形，
∴BG＝DE＝2米，EG＝BD，
∴AG＝AB﹣BG＝12﹣2＝10（米），
由（1）可知，AE＝AC＝12+3＝15（米），
在Rt△AGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝5（米），
∴BD＝5米，
∴CD＝BD﹣BC＝（5﹣9）米≈2.2米，
答：小明需要后退约2.2米．
18．（10分）如图，在Rt△AOB中，已知∠AOB＝90°，记AO＝m，BO＝n，请回答下列问题：
（1）若m，n满足等式，求出AB的长；
（2）在（1）的条件下，如图，点P是△AOB外一点，连接BP，过点A作AC⊥BP，连接CO，证明：；
（3）在（2）的条件下，若∠POC＝∠APC，，求PB的长．
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）10；
（2）证明过程详见解答；
（3）4．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，可求得n＝10进而求得AB的值；
（2）在BC上截取BD＝AC，连接OD，设OA与BP交于点E，可证得△AOC≌△BOD，从而BD＝AC，∠BOD＝∠AOC，OC＝OD，进而得出∠COD＝∠AOB＝90°，从而CD＝，进一步得出结论；
（3）作AG⊥OB于G，作OH⊥OP，截取OH＝OP，连接AH，△AOH≌△BOP，从而AH＝BP，客人推出∠APO＝∠BOC＝45°，从而求得PG，根据勾股定理可求得OG，进而求得PH，进一步得出结果．
【解答】（1）解：由得，
，
∴n＝10，
∴m＝10，
∴OA＝10，OB＝10，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝；
（2）证明：如图1，
在BC上截取BD＝AC，连接OD，设OA与BP交于点E，
∵AC⊥BP，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠ACB，
∵∠AEC＝∠BAO，
∴∠OBE＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴BD＝AC，∠BOD＝∠AOC，OC＝OD，
∴∠BOD+∠AOD＝∠AOC+∠AOD，
∴∠COD＝∠AOB＝90°，
∴CD＝，
∴BC＝CD+BD＝；
（3）解：如图2，
作AG⊥OB于G，作OH⊥OP，截取OH＝OP，连接AH，
∴∠POH＝∠AOB＝90°，∠HPO＝∠PHO＝45°，
∴∠BOP＝∠AOH，
∵OA＝OB，
∴△AOH≌△BOP（SAS），
∴AH＝BP，
∵∠APC＝∠POC，
∴∠APC+∠BPO＝∠POC+∠BPC，
∴∠APO＝∠BOC，
由（2）知，
∠BOC＝45°，
∴∠APO＝45°，
∴PG＝AG＝AP＝，∠APH＝∠APO+∠HPO＝90°，
∵OA＝10，
∴OG＝8，
∴OP＝OG+PG＝14，
∴PH＝，
∴AH＝＝4，
∴BP＝4．
一、填空题：（每小题4分，共20分；请将答案填在答题卷对应的横线上）
19．（4分）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，连接BC，点M在点B的左侧的数轴上，BM＝BC，则点M表示的数是 ．
【考点】实数与数轴．
【答案】．
【分析】计算出正方形对角线的长度，根据BC＝BM和点M的位置即可求得点M表示的数．
【解答】解：由勾股定理得正方形对角线BC的长度为：，
∴BC＝BM＝，
∴OM＝，
又∵点M在原点O的左侧，
∴点M表示的数为：，
故答案为：．
20．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组，则4x+y的值为 3 ．
【考点】解二元一次方程组．
【答案】3．
【分析】将两方程相加并计算即可．
【解答】解：，
①+②得：4x+y＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
21．（4分）若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围为 ﹣1＜a≤1 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【答案】﹣1＜a≤1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解情况可得关于a的不等式组，解之即可得出答案．
【解答】解：由3x﹣a≥x+1得：x≥，
由＜1+x得：x＜4，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、2、1，
则0＜≤1，
解得﹣1＜a≤1，
故答案为：﹣1＜a≤1．
22．（4分）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边．
观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律：
（1）当勾是十一时，则股和弦分别为： 60，61 ；（直接写出结果）
（2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的奇数，通过探索，请用含m（m为偶数，且m＞6）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 m2﹣1 ．
【考点】勾股数；有理数的加减混合运算；列代数式；规律型：数字的变化类．
【答案】（1）60，61；
（2）m2﹣1．
【分析】（1）通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果；
（2）根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1．
【解答】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是（121﹣1）＝60，（121+1）＝61；
故答案为：60，61；
（2）根据规律，可知这些勾股数的股为：m2﹣1．
故答案为：m2﹣1．
23．（4分）如图，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，则正方形MNPQ的面积为 6 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【答案】6．
【分析】根据图形可得4×（S△FSB+S四边形MFBG）＝S正方形MNPQ+4×S四边形MFBG，即S正方形MNPQ＝4S△FSB；由此即可解决问题．
【解答】解：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形，如图，
若将上述四个等腰三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则新正方形的边长a；这个新正方形与原正方形ABCD的面积相等；
通过上述的分析，可以发现S正方形MNPQ＝4•S△FSB＝4××＝6．
故答案为：6．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；若同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元．
（1）求A、B两种图书的单价各是多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且A种图书的数量少于B种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元，请问学校共有哪几种购买方案？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【答案】（1）A种图书单价22元，B种图书单价25元；
（2）共有三种购买方案：
方案一、购买A种图书27本，购买B种图书33本；
方案二、购买A种图书28本，购买B种图书32本；
方案三、购买A种图书29本，购买B种图书31本．
【分析】（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，由题意：同时购进A种图书8本和B种图书5本，共需301元；同时购进A种图书4本和B种图书3本，共需163元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种图书n本，B种图书（60﹣n）本，由题意：A种图书的数量少于B种图书的数量，购买总金额不能超过1420元，列出不等式组，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设A种图书单价x元，B种图书单价y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A种图书单价22元，B种图书单价25元；
（2）设购买A种图书n本，B种图书（60﹣n）本，
根据题意得：，
解得：≤n＜30，
∵n为正整数，
∴n可取27、28、29，
∴60﹣n＝33或32或31，
共有三种购买方案：
方案一、购买A种图书27本，购买B种图书33本；
方案二、购买A种图书28本，购买B种图书32本；
方案三、购买A种图书29本，购买B种图书31本．
25．（10分）（1）问题再现：
学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 13 ；
（2）应用
如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若AE＝8，连接HC，则HC+AB的最小值是 ；
（3）类比迁移
已知a，b均为正数，且a﹣b＝6，求的最大值．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；勾股定理的证明．
【答案】（1）13；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用题目中的构图，推出的最小值是AB的长，再利用勾股定理求出AB即可；
（2）设AH＝x，则HG＝8﹣x，由勾股定理，得AB＝，HC＝，则HC+AB＝+，再仿照（1）的构图和求解方法解答即可；
（3）构造矩形AEBF中，C是BE的中点，CD⊥BE于C，AF＝2，BF＝a，BC＝1，CD＝b，求得AB＝，BD＝，则﹣＝AB﹣BD，应为AB﹣BD≤AD，所以AB﹣BD的最大值为AD，过点D作DG⊥AE于点G，在Rt△ADG中，利用勾股定理求出AD即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，AC＝2+3＝5，BC＝x+12﹣x＝12，
由勾股定理，得AB＝＝＝13，
∴的最小值是 13，
故答案为：13；
（2）如图，
设这4个全等直角三角形的短边为x，则AH＝x，HG＝8﹣x，
由勾股定理，得AB＝＝，
由勾股定理，得HC＝＝，
则HC+AB＝+，
构造图形如下：
∵MN＝GH＝8，NH＝8，∠MNH＝∠GHN＝90°，
设NP＝x，则PH＝8﹣x，
可得MP＝＝AB，PG＝＝HC，
∴HC+AB＝MP+PG≥MG，
∴HC+AB的最小值为MG的长，
过点M作MQ⊥GH交GH延长线于Q，则MN∥QH，MQ∥HN，
∴QM＝HN＝8，QH＝MN＝8，
∴QG＝16，
由勾股定理MG＝＝＝，
∴HC+AB的最小值为，
故答案为：；
（3）模仿（1）可知，构造图形如下：
矩形AEBF中，CD⊥BE于C，AF＝2，BF＝a，BC＝1，CD＝b，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝＝，
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD＝＝，
∴﹣＝AB﹣BD，
即﹣的值最大，就是AB﹣BD的值最大，
∵AB﹣BD≤AD，
∴AB﹣BD的最大值为AD，
过点D作DG⊥AE于点G，
则AG＝AE﹣GE＝FB﹣CD＝a﹣b＝6，DG＝CE＝BE﹣BC＝AF﹣BC＝2﹣1＝1，
在Rt△ADG中，由勾股定理，得AD＝＝＝，
故的最大值为．
26．（12分）综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动．
如图，长方形ABCD中，P是射线AD上一点，将△ABP沿BP折叠后得到△GBP．
【初步探究】
如图1，P在线段AD上，过点G作AB的平行线交AD，BC的两边于M，N，若AB＝5，AM＝4，求AP的长；
【深入探究】
如图2，P在线段AD的中点上，延长BG交DC于点F，若DF＝3FC，试说明AD与AB满足的数量关系；
【拓展延伸】
若AB＝4，AD＝6，连接DG，CG，当△CDG是以DG为底的等腰三角形时，直接写出AP的长．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）AP＝2.5；
（2）AD＝AB；
（3）AP的长为或．
【分析】（1）如图1，由折叠得：BG＝AB＝5，AP＝PG，先由勾股定理得CG＝3，则MG＝2，设AP＝x，则PM＝4﹣x，最后根据勾股定理列方程解答即可；
（2）如图2，连接PF，设CF＝x，则DF＝3x，AB＝CD＝4x，证明Rt△PGF≌Rt△PDF（HL），则FG＝DF＝3x，根据勾股定理列方程可得AD＝4x，从而可以解答；
（3）设AP＝m，分两种情况：①当点P在线段AD上时，CG＝CD＝4，如图3，过点G作MN⊥BC于M，交AD于N，②当点P在线段AD的延长线上时，CD＝CG，过点G作GN⊥BC于M，交AD于N，则GN⊥AD，根据勾股定理即可解答．
【解答】解：（1）如图1，由折叠得：BG＝AB＝5，AP＝PG，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∵MN∥AB，
∴BN＝AM＝4，∠BNG+∠ABC＝180°，
∴∠BNG＝90°，
∴CG＝＝＝3，
∵AD∥BC，
∴MN＝AB＝5，
∴MG＝5﹣3＝2，
设AP＝x，则PM＝4﹣x，
由勾股定理得：PG2＝PM2+MG2，
∴x2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝2.5，
∴AP＝2.5；
（2）如图2，连接PF，
∵P是AD的中点，
∴AP＝PD，
设CF＝x，则DF＝3x，AB＝CD＝4x，
由折叠得：BG＝AB＝4x，AP＝PG，
∴PD＝PG，
∵PF＝PF，∠D＝∠PGF＝90°，
∴Rt△PGF≌Rt△PDF（HL），
∴FG＝DF＝3x，
∴BF＝BG+FG＝7x，
在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，
∴BC2+x2＝（7x）2，
∴BC＝4x，
∴AD＝4x，
∴＝＝，
∴AD＝AB；
（3）设AP＝m，
分两种情况：
①当点P在线段AD上时，CG＝CD＝4，
如图3，过点G作MN⊥BC于M，交AD于N，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
∵BG＝CG＝4，MN⊥BC，
∴BM＝CM＝3，
由勾股定理得：MG＝＝，
∴NG＝4﹣，
∵∠PNG＝90°，
∴PG2＝PN2+NG2，
∴m2＝（3﹣m）2+（4﹣）2，
∴m＝，
∴AP＝；
②当点P在线段AD的延长线上时，如图4，CD＝CG，过点G作GN⊥BC于M，交AD于N，则GN⊥AD，
同理得：MG＝＝，
∴NG＝4+，
∵∠PNG＝90°，
∴PG2＝PN2+NG2，
∴m2＝（m﹣3）2+（4+）2，
∴m＝，
∴AP＝；
综上，AP的长为或．
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