北师大版数学七上同步培优讲练专题4.3 基本平面图形（压轴题综合）（2份，原卷版+解析版）

这是一份北师大版数学七上同步培优讲练专题4.3 基本平面图形（压轴题综合）（2份，原卷版+解析版），文件包含北师大版数学七上同步培优讲练专题43基本平面图形压轴题综合原卷版doc、北师大版数学七上同步培优讲练专题43基本平面图形压轴题综合解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
专题4.3 基本平面图形（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022·全国·七年级专题练习）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（    ）．A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线【思路点拨】根据从运动的观点来看点动成线，线动成面进行解答即可．【解题过程】“枪挑”是用枪尖挑，枪尖可看作点，棍可看作线，故这句话从数学的角度解释为点动成线，线动成面．故选A．2．（2022·全国·七年级专题练习）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（    ）A． B．C． D．【思路点拨】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．【解题过程】解：将正方形展开并标上顶点可得如下图所示：其中与C相接，与B相接，与D相接，与A相接，与相接，与相接.故和选项B符合故选：B．3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，下列说法中不正确的是（　　）A．与是同一个角 B．与是同一个角C．可以用来表示 D．图中共有三个角：，，【思路点拨】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时，这个角才可以用一个顶点字母来表示，由此可得结论．【解题过程】解：A、∠1与表示的是同一个角，故A说法正确，不符合题意；B、与是同一个角，故B说法正确，不符合题意；C、以O为顶点的角一共有三个，不能用一个顶点字母表示，故C说法错误，符合题意；D、由图可知，图中共有三个角：，，，故D说法正确，不符合题意．故选：C．4．（2022·全国·七年级课时练习）如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（  ）A．50° B．70° C．130° D．160°【思路点拨】根据互为补角的定义结合已知条件列方程求解即可．【解题过程】解：设这个角是，则它的补角是：，根据题意，得：，解得：，即这个角的度数为．故选：C．5．（2022·黑龙江双鸭山·七年级期末）下列说法中正确的个数为（    ）①射线OP和射线PO是同一条射线；②连接两点的线段叫两点间的距离；③两点确定一条直线；④若AC=BC，则C是线段AB的中点．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据射线的定义及其表示可判断①；根据两点间的距离定义可判断②；根据直线基本事实可判断③；根据线段中点定义可判断④，然后可得出结论．【解题过程】解：①直线上一点和她一旁的部分，射线OP端点是O，从O向P无限延伸，射线PO端点是P，从P向O无限延伸，所以不是同一条射线，故①错误；②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故②错误；③经过两点有且只有一条直线，两点确定一条直线符合基本事实，故③正确；④把一条线段分成两条相等的线段的点，若AC=BC，点C可以在线段AB上时，C是线段AB的中点，若AC=BC，点C在线段AB外时，点C不是线段AB的中点，故④错误正确的个数是1．故选择A．6．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（    ）甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为；乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为；丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为．A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确【思路点拨】分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段的长度，判定即可．【解题过程】解：点C在线段AB上运动时，如下图：甲说法正确；当点C在射线AB上运动时，如下图：乙说法不正确；当点C在射线BA上运动时，如下图：丙说法不正确故选A7．（2022·全国·七年级课时练习）如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为（ ）A． B． C．或 D．或【思路点拨】设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或x°，表示出其他角，根据平角列方程即可．【解题过程】解：设∠DOE=x°，射线将分成了角度数之比为的两个角，当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=x°，=x°，∵平分，∴=x°，∵∠COD=180°，∴x+x+90+ x=180，解得，x=45；∠COF=2∠AOC=45°；当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，=2x°，同理， =2x°，2x+2x+90+ x=180，解得：x=18，∠COF=2∠AOC=72°；故选：C．8．（2022·江苏·七年级专题练习）已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（    ）A． B． C．或 D．或【思路点拨】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．【解题过程】解：由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AM﹣AC==．④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC+AM==．综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．故选D．9．（2022·江苏·七年级期末）在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（    ）A．595 B．406 C．35 D．666【思路点拨】设锐角，第1种中间由9条射线，每个小角为，第2种中间由11条射线，每个小角为，第3种中间由14条射线，每个小角为，利用内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同，则，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．【解题过程】设锐角第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为，第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为，第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为，设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同则，先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的，再看每两种分法重合情况第1种, 第2种, ，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，第2种,第3种, ,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角．故选择：B．10．（2022·全国·七年级课时练习）已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算正确结论即可.【解题过程】解：（1）如图1所示：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝BC＝，又∵AB＝4cm，∴AC＝2cm，∴结论①正确；（2）如图2所示：∵AC1＝1，AB＝4，∴，∴点C1为线段AB的四等分点又∵AC2＝1，∴又∵点C2在AB的反向延长线上，∴点C2不是线段AB的四等分点，∴结论②错误；（3）如图3所示：点C为线段AB上的一动点，∴AB＝AC+BC，又∵AB＝4cm，∴AC+BC＝4cm，∴结论③正确；（4）如图4所示：若点C在AB的延长线上时，AC1+BC1＞AB，∵AB＝4，∴AC1+BC1＝AB+2BC1＞4cm，若点在AB的反向延长线上时，AC2+BC2＞AB，∵AB＝4，∴AC2+BC2＝AB+2AC2＞4cm，∴结论④正确；（5）如图5所示：若点C在线段AB的延长线时，且AC1＝6cm，有AC1+BC1＝8cm，若点C在线段AB的反向延长线时，且AC2＝2cm，有AC2+BC2＝8cm，∴结论⑤错误．综合所述；正确结论是①、③、④，故选：C．二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是_______平方米．【思路点拨】根据题干分析可得：每切一刀，就增加2个正方体的面的面积，由此只要求出一共切了几刀，即可求出一共增加了几个正方体的面的面积，再加上原来正方体的表面积，就是这60块长方体的表面积之和．沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，所以表面积一共增加了9×2=18个正方体的面，由此即可解答问题．【解题过程】解：沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，所以这60个小长方体的表面积之和是：2×2×6+9×2×2×2=24+72=96（平方米）故答案是96．12．（2022·全国·七年级课时练习）已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB＝β，则∠BOE＝_____．（用含β的代数式表示）【解题过程】解：如图1，∵∠AOB＝β，OC是∠AOB的平分线，∴∠COB=β，∵∠BOD＝∠COD，∴∠BOD＝∠COB=β，∠COD=β，∵OE平分∠COD，∴∠EOD=∠COD=β，∠BOE＝β+β=β；如图2，∵∠AOB＝β，OC是∠AOB的平分线，∴∠COB=β，∵∠BOD＝∠COD，∴∠BOD＝∠COB=β，∠COD=β，∵OE平分∠COD，∴∠EOD=∠COD=β，∠BOE＝β-β=β；故答案为：β或β13．（2022·江苏·七年级专题练习）已知在数轴上有A、B、C三点，表示的数分别是-3，7，x，若，点M、N分别是AB、AC的中点，则线段MN的长度为______．【思路点拨】根据两点间的距离可得x=1或-7，当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，1时，得到点M表示的数为2，点N的坐标是-1；当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，-7时，则点M表示的数为2，点N的坐标是-5，然后分别计算MN的长．【解题过程】解： AB=7-（-3）=10；∵AC=4，∴|x-（-3）|=4，∴x-（-3）=4或（-3）-x=4，∴x=1或-7；当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，1时，如图1，∵点M、N分别是AB、AC的中点，∴AM=BM=AB=5，AN=CN=AC=2，∴MN=AM-AN=5-2=3；当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，-7时，如图2，∵点M、N分别是AB、AC的中点，∴AM=BM=AB=5，AN=CN=AC=2，∴MN=AM+AN=5+2=7；∴MN=7或3．14．（2022·江西吉安·七年级期末）射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，，， ，则的度数为________．【思路点拨】分四种情况画图分别进行解答，即①OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的外部，②OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的外部，③OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的内部，④OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的内部．【解题过程】解：①当OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的外部，如图1所示；∵∠AOB=60°，∠AOD=40°，∠AOB=3∠BOC，∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=60°-40°=20°，∠BOC=∠AOB=×60°=20°，∴∠COD=∠BOC+∠BOD=20°+20°=40°；②当OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的外部，如图2所示；∠COD=∠DOA+∠AOB+∠BOC=40°+60°+20°=120°；③当OD在∠AOB的外部，OC在∠AOB的内部，如图3所示；∠COD=∠AOD+∠AOC=∠AOD+（∠AOB-∠BOC）=40°+（60°-20°）=80°；④当OD在∠AOB的内部，OC在∠AOB的内部时，OC与OD重合，不符合题意；所以，∠COD的度数为40°或80°或120°，故答案为：40°或80°或120°．15．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．【思路点拨】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．【解题过程】解：设运动的时间为t秒，点M表示的数为m则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，①若点M在点B的右侧时，如图1所示：由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴②若点M在线段BO上时，如图2所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴③若点M在线段OA上时，如图3所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；④若点M在点A的左侧时，如图4所示：由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，综上所述，的值为1或．三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：(1)45°10′﹣21°35′20′′；(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；(3)42°16′+18°23′×2．【思路点拨】（1）根据度分秒之间的进率即可解答；（2）根据度分秒之间的进率即可解答；（3）先计算乘法，再计算加法即可．【解题过程】（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．（2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′=116°10′-21°17′=94°53′．（3）解：42°16′+18°23′×2=42°16′+36°46′=79°2′．17．（2022·全国·七年级单元测试）如图，平面内有两个点A，B．应用量角器、圆规和带刻度的直尺完成下列画图或测量：（1）经过A，B两点画直线，写出你发现的基本事实；（2）利用量角器在直线AB一侧画；（3）在射线BC上用圆规截取BD＝AB（保留作图痕迹）；（4）连接AD，取AD中点E，连接BE；（5）通过作图我们知道．，观察并测量图形中的角，写出一组你发现的两个角之间可能存在的数量关系．【思路点拨】（1）直接过AB两点画直线即可；（2）用量角器直接画图即可；（3）以B为圆心，BA长度为半径画圆即可；（4）用带刻度的直尺量出AD长度取中点即可；（5）用量角器测量各个角度大小即可；【解题过程】（1）画图如下，基本事实：两点确定一条直线（2）画图如下；（3）画图如下；（4）画图如下；（5）不唯一，正确即可．例如：，，等或18．（2022·山东菏泽·七年级期中）如图①②③是将正方体截去一部分后得到的几何体．（1）根据要求填写表格：（2）猜想f，v，e三个数量间有何关系；（3）根据猜想计算，若一个几何体有2021个顶点，4035条棱，试求出它的面数．【思路点拨】（1）根据图形数出即可．（2）根据（1）中结果得出f+v-e=2．（3）代入f+v-e=2求出即可．【解题过程】解：（1）图①，面数f=7，顶点数v=9，棱数e=14，图②，面数f=6，顶点数v=8，棱数e=12，图③，面数f=7，顶点数v=10，棱数e=15，故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．（2）f+v-e=2．（3）∵v=2021，e=4035，f+v-e=2∴f+2021-4035=2，f=2016，即它的面数是2016．19．（2022·全国·七年级课时练习）晚饭后，小明准备外出散步，出发时看了一下时钟，时间是18时多，时针与分针成角，散步完回家，小明又看了一下钟，还不到19时，而时针与分针又恰好成角，小明外出了多少分钟？【思路点拨】方法1 ：以18时为标准状态，分针比时针落后30小格（30分钟）．设出发的时间为6时x分，由于分针每分钟走1小格，时针每分钟走小格，因此分针走了x 小格，时针走了小格．依题意，若时针与分针初次形成角，则分针比时针落后15小格．方法2： 将该问题看作是钟面上分针追及时针的问题．时针每小时旋转，即每分钟旋转；分针每小时旋转，即每分钟旋转．由于分针旋转速度比时针快，依题可得，前一个时针与分针的夹角可看成分针滞后时针，后一个时针与分针的夹角可看成分针超前时针．【解题过程】【方法1】设出发的时间为6时x分．根据题意，可列出方程：解得．即出发的时间为6时分．设回家的时间为6时y分，此时时针与分针再次成角，分针比时针超前15小格，即重叠后再加角．根据题意，可列出方程：．解得即回家的时间为6时分．所以小明外出的时间为 （分）．答：小明外出时间为分．【方法2】设小明外出时间为x分钟，则在这一过程中，时针旋转，分针旋转．根据题意，可列出方程：解得答：小明外出时间为分．20．（2022·全国·七年级课时练习）已知，点为直线上一点，，是的平分线．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，是的平分线，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，是的一条三等分线，，若，请直接写出的度数．（不用写过程）【思路点拨】（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOD度数，根据BOD=180°-∠AOD可得∠BOD度数；（2）由角平分线得出∠AOE=∠AOD=(∠AOC+90°)，∠BOF=(∠BOD+90°)，继而由∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF得出结论．（3）∠DOF=45°-∠BOD，结合已知∠AOC+∠DOF=∠EOF和∠AOC+∠BOD=90°可求∠BOD=60°，再由∠FOP=∠DOF+∠DOP即可解答．【解题过程】解：（1）∵∠COD=90°，∠COE=63°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=27°，∵OE是∠AOD的平分线，∴∠AOD=2∠DOE=54°，∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-54°=126°；答：∠BOD的度数为126°；（2）∵OE是∠AOD的平分线，∴∵是的平分线，∴，∴，∵，∴，答：的度数为；（3）由（2）得∠EOF=45°，∵∠AOC+∠DOF=∠EOF=45°，∴∠DOF=45°-∠AOC，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴．21．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠． （1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在处．①如图2，若恰好重合于点O处，MN= cm，②如图3，若点落在的左侧，且=20cm，求MN的长度；③若=ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处，在重合部分N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．【思路点拨】（1）①根据MN=MO+NO=AO+BO=AB即可求解；②根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=，BN=，再由MN= AB–（AM+ BN）即可求解；③根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=，BN=，然后分两种情况点A′落在点B′的左侧，点A′落在点B′的右侧，根据MN= AB–（AM+ BN）即可求解；（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，得出绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段，然后分6中情况讨论，根据AN=AP+ 即可求解．【解题过程】解：（1）①MN=MO+NO=AO+BO=AB=30；②因为AB=60 cm，A′B′=20 cm，所以AA′+BB′=AB - A′B′=60 - 20=40 cm．根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，所以AM=，BN=．AM+ BN=+==cm．所以MN= AB–（AM+ BN）=60 - 20=40 cm．③因为M、N分别为AA′、BB′的中点，所以AM=，BN=．（ⅰ）如图，若点A′落在点B′的左侧，AA′+BB′=AB - A′B′=(60– n) cm． AM+ BN=+==cm．所以MN= AB–（AM+ BN）=cm．（ⅱ）如图，若点A′落在点B′的右侧，                    AA′+BB′=AB + A′B′=(60 +n)cm． AM+ BN=+==cm．所以MN= AB–（AM+ BN）=（cm）．  综上，MN的长度为cm或cm．（2）如图，∵三段的长度由短到长的比为3：4：5，∴=15，=20，=25，故绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段当=15，=20，AP=25时，AN=AP+ =25+×20=35；当=15，=25，AP=20时，AN=AP+ =20+×25=32.5；当=20，=15，AP=25时，AN=AP+ =25+×15=32.5；当=20，=25，AP=15时，AN=AP+ =15+×25=27.5；当=25，=20，AP=15时，AN=AP+ =15+×20=25；当=25，=15，AP=20时，AN=AP+ =20+×15=27.5．综上AN所有可能的长度为：25 cm或27．5 cm或32．5 cm或35cm．22．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．（1）________，________，________．（2）点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．（3）点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．【思路点拨】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值；（2）由题意知，依次求出PC、PB的长，再进行分类讨论即可：当从到时，当从到时，当从到时，三种情况分类讨论．（3）以点从为PN中点时，当0