苏科版数学七上期末压轴题训练专题09 一元一次方程的概念压轴题六种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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考点一 判断各式是否是方程 考点二 列方程
考点三 方程的解 考点四 等式的性质
考点五 一元一次方程的概念 考点六 利用一元一次方程的概念求字母的值
典型例题

考点一 判断各式是否是方程
例题：（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【答案】C
【分析】根据方程的定义即可一一判定．
【详解】解：含有未知数的等式叫做方程，
①是方程；
②，不含有未知数，故不是方程；
③不是等式，故不是方程；
④是方程；
⑤是方程；
⑥不是等式，故不是方程；
故方程有：①④⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握和运用方程的定义是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据方程的定义即可求出答案．
【详解】解：∵方程是指含有未知数的等式，
∴只有B选项是方程，
故选B．
【点睛】本题考查方程的定义，解题的关键是熟练运用方程的定义．
2．（2022·河南三门峡·七年级期末）在①；②；③；④中，方程共有（ ）
A．1个B．3个C．2个D．4个
【答案】C
【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答．
【详解】解：方程有③；④，
故选：C．
【点睛】此题考查了方程的定义，正确理解定义是解题的关键．
考点二 列方程
例题：（2022·河北·邢台市开元中学七年级阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x的少2”列出方程是（ ）
A．3x+5=+2B．3x+5=-2
C．3（x+5）=-2D．3（x+5）=+2
【答案】B
【分析】仔细审题，x的3倍即是3x，x的即是，由此根据可列出方程．
【详解】解：x的3倍与5的和是3x+5，比x的少2是，
所以由题意可列方程为：，
故选：B．
【点睛】本题考查列一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．
【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·一模）在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10℃．某日地表温度是18℃，地下某处A的温度是25℃．设A处在地表以下x千米，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意列出方程即可．
【详解】解：∵A处在地表以下x千米，每下降1km温度就上升约10℃
∴从地表到地下x千米要增加10x℃．
∵地表温度是18℃，地下某处A的温度是25℃，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查列方程，正确理解题意是解题关键．
2．（2022·湖南株洲·七年级期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
【答案】
【分析】根据该数的3倍与7的差等于12，即可得出关于x的一元一次方程，此问得解
【详解】解：根据题意得，3x﹣7＝12
故答案为：3x﹣7＝12．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
考点三 方程的解
例题：（2022·福建泉州·七年级期末）下列方程中，解是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将分别代入选项，能使等式依然成立的即为正确答案．
【详解】A、，故A选项错误，不符合题意；
B、，故B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项正确，符合题意；
D、，故D选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程验证是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）已知是关于x的方程的解，则a的值是（ ）
A．B．0C．2D．3
【答案】C
【分析】直接利用方程的解的定义代入求解即可．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
解得，
故选：C
【点睛】本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程解的定义是关键．
2．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知是方程的解，则______．
【答案】5
【分析】将代入方程，求出a即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
考点四 等式的性质
例题：（2022·河北·安新县第二中学七年级阶段练习）下列等式的变形不正确的是（ ）
A．若2a﹣3＝b﹣3，则2a＝bB．若x＝y，则
C．若（m2+1）a＝﹣（m2+1），则a＝1D．若mx＝my，则1﹣mx＝1﹣my
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质，等式两边同时加上或者减去同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，以此判断即可得出正确选项．
【详解】A、若2a﹣3＝b﹣3，等式两边同时＋3，则2a＝b，选项正确，不符合题意；
B、若x＝y，因为，等式两边同时除以，则，选项正确，不符合题意；
C、若（m2+1）a＝﹣（m2+1），因为，等式两边同时除以，则a＝-1，选项错误，符合题意；
D、若mx＝my，则等式两边×（-1），得﹣mx＝﹣my，两边同时+1，则1﹣mx＝1﹣my，选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了等式基本性质的理解，熟练掌握等式的基本性质是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南·南阳市第九中学校七年级阶段练习）下列方程变形正确的是（ ）
A．由4＋x＝7得x＝7＋4B．由3x﹣2（x﹣1）＝8得3x﹣2x﹣2＝8
C．由5x＝﹣6得x＝﹣D．由＝2得8x﹣7（x﹣1）＝112
【答案】D
【分析】根据等式基本性质和去括号法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A、左边减4，右边加4，故A不符合题意；
B、括号前是负数去括号都变号，故B不符合题意；
C、两边除以不同的数，故C不符合题意；
D、方程＝2两边都乘以56，可得8x﹣7（x﹣1）＝112，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质和去括号法则，熟练掌握等式基本性质，是解题的关键．
2．（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）以下等式变形不正确的是（ ）
A．由，得到B．由，得到
C．由，得到D．由，得到
【答案】D
【分析】根据等式的性质等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
【详解】解：A、两边都加2，等式仍成立，故A正确，不符合题意；
B、两边都加3，等式仍成立，故B正确，不符合题意；
C、两边都乘以a，等式仍成立，故C正确，不符合题意；
D、当a≠0时，等式才成立，故D错误，符合题意 .
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
考点五 一元一次方程的概念
例题：（2021·山东·单县湖西学校七年级阶段练习）下列是一元一次方程的是（ ）
A．2＝3－1B．C．x＋1＝5D．－2
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0），进行判断即可．
【详解】解：A．2=3-1，没有未知数，不是方程，故本选项不合题意；
B．，不是方程，故本选项不合题意；
C．x+1=5是一元一次方程，故本选项符合题意；
D．-2不是方程，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义和一般形式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级阶段练习）下列各式中：①x2－4x=3；②3x－1=；③x+2y=1；④xy－3=5；⑤5x－x=3，是一元一次方程的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①x2－4x=3中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；
②3x－1=符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；
③x+2y=1中含有两个未知数，不是一元一次方程；
④xy－3=5中含有两个未知数，不是一元一次方程；
⑤5x－x=3符合一元一次方程的概念，是一元一次方程；
综上分析可知，是一元一次方程的有2个，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，是一元一次方程．
2．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）下列方程中，一元一次方程共有( )个
①4x-3=5x-2；②3x-4y=5；③3x+1=； ④+=0；⑤；⑥x-1=12
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义得出即可．
【详解】解：①4x−3＝5x−2，是一元一次方程，符合题意；
②3x-4y=5，含有2个未知数，不是一元一次方程，不合题意；
③3x＋1＝，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意；
④+=0，是一元一次方程，符合题意；
⑤，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意；
⑥x−1＝12，是一元一次方程，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．
考点六 利用一元一次方程的概念求字母的值
例题：（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）若关于x的方程kx|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为（ ）
A．2B．1C．0D．0或2
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的概念列出方程及不等式求解．
【详解】∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，且，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川·安岳县兴隆初级中学七年级期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是______．
【答案】1
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，根据定义求解即可．
【详解】解：根据题意得：且m＋1≠0，
解得：m＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
2．（2021·江苏·盐城市大丰区实验初级中学七年级阶段练习）若关于x的方程是一元一次方程，则m的值是__．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程）即可求出答案．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：m=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．
课后训练
一、选择题
1．（2022·湖北荆州·七年级期末）下列方程的解是的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将分别代入四个选项中求解判断即可．
【详解】解：A、将代入，故选项错误，不符合题意；
B、将代入，故选项错误，不符合题意；
C、将代入，故选项正确，符合题意；
D、将代入，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．
2．（2022·福建厦门·七年级期中）根据“比的倍少”的数量关系可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先要理解题意，根据文字表述“比的倍少”列出方程即可．
【详解】解：由文字表述列方程得，．
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，比较简单，注意审清题意即可．
3．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）下列运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣cB．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b
C．如果，那么a＝bD．如果，那么a＝b
【答案】C
【分析】根据等式的性质判断即可．
【详解】解：A．等式两边都减去c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
B．等式两边都加c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
C．有可能等于0，不能两边都除以，故该选项符合题意；
D．∵c≠0，
∴等式两边乘c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
4．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为( )
A．-2B．C．2D．0
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴，
解得m＝−2．
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．
5．（2022·四川·岳池县兴隆中学七年级阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一元一次方程的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：①2x−5＝x，它是一元一次方程，故①符合题意；
②，它不是等式，故②不符合题意；
③2y−3＝1，它是一元一次方程，故③符合题意；
④3x＋y＝2，它含有2个未知数，故④不符合题意；
⑤y＝3，它是一元一次方程，故⑤符合题意；
⑥15−6＝9，它不含未知数，故⑥不符合题意；
符合题意的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程是解题的关键．
二、填空题
6．（2021·江苏·七年级专题练习）“的3倍比的一半多1”用方程表示为______．
【答案】3x=x+1
【分析】根据等量关系为：x的3倍=x的一半+1，即可得出．
【详解】解：∵x的3倍为3x，x的一半多1为：x+1，
∴可列方程为：3x=x+1，
故答案为：3x=x+1．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据关键词得到相应的运算顺序是解决本题的易错点．
7．（2022·四川乐山·七年级期末）如果是关于的方程的解，则的值为______．
【答案】3
【分析】根据一元一次方程的解的定义解决此题．
【详解】解：由题意得，．
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的定义．
8．（2022·江苏扬州·七年级期末）若方程（m+1）x2|m|﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 _____．
【答案】1
【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义即可得到m＝1．
【详解】解：∵方程（m+1）x2|m|﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程，
∴m+1≠0，2|m|﹣1＝1，
解得m＝1，
故答案是：1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．
9．（2021·四川广元·七年级期末）若关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为 _____．
【答案】
【分析】根据解一元一次方程的定义求得的值，根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案．
【详解】解：∵方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4是关于x的一元一次方程，
∴，
解得，
∵关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，
∴，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解，代数式求值，求得的值是解题的关键．
10．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期末）在下列方程中①；②；③；④，是一元一次方程的有___（填序号）．
【答案】③
【详解】解：①中方程有两个未知数，不符合题意，错误；
②中方程有分式，不符合题意，错误；
③中方程符合题意，是一元一次方程，正确；
④中方程未知数最高次数为2，不符合题意，错误；
故答案为：③．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义．一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的方程，
三、解答题
11．（2022·江苏·七年级专题练习）根据条件列方程：
(1)正方形的边长为2x，周长为50厘米；
(2)x的相反数减去3的差是x的2倍．
【答案】(1)4×2x＝50；
(2)﹣x﹣3＝2x．
【分析】（1）由正方形的周长公式列出方程；
（2）找到等量关系：x的相反数减去3的差＝x的2倍．
（1）根据题意得到：4×2x＝50；
（2）根据题意得到：﹣x﹣3＝2x．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到等量关系．
12．（2022·全国·七年级专题练习）若是关于x的一元一次方程，求的值．
【答案】16
【分析】根据一元一次方程的定义，判断出x的次数为1且系数不为0，求出m的值，再代入m2﹣2m+1即可．
【详解】解：∵（m﹣3）x2|m|﹣5﹣4m＝0是关于x的一元一次方程，
∴2|m|﹣5＝1且m﹣3≠0，
解得m＝﹣3，
原式＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）+1
＝16．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和解法．方程的两边都是整式，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
13．（2022·湖北武汉·七年级期末）若是关于x的一元一次方程，求的值．
【答案】
【分析】先化简代数式，再由是关于的一元一次方程，所以且，求得的值，代入所化简后的代数式即可求得．
【详解】解：


；
根据题意得，且，
解得，
把，代入化简后的代数式得，


．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，即只含有一个未知数且未知数的次数为的方程，掌握一元一次方程的定义是解决问题的关键．
14．（2022·江苏·七年级专题练习）已知方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值及方程的解．
(2)求代数式的值．
【答案】(1)，；
(2)；
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到且，解得，再解原方程得到；
（2）把代数式化简得到原式，然后把代入计算即可．
（1）解：方程是关于的一元一次方程，且，，原一元一次方程化为：，解得；
（2）原式，当时，原式．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也考查了一元一次方程的定义，即含有一个未知数及最高次数为1的等式．
15．（2022·四川·岳池县兴隆中学七年级阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程的解．
【答案】(1)-2；
(2)y＝2或y＝−6．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到且−（m＋1）≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4，把代数式化简得到原式＝，然后把x＝4代入计算即可；
（2）方程化为，根据绝对值的意义得到y＋2＝4或y＋2＝−4，然后分别解两个一次方程即可．
（1）
解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴且−（m＋1）≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：−2x＋8＝0，解得x＝4，
∵，
当x＝4时，原式＝；
（2）
方程化为，
∴y＋2＝4或y＋2＝−4，
∴y＝2或y＝−6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的定义．