专题04 导数及其应用（讲义）-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

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\l "_Tc181630019" 01考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc181630019 \h 2
\l "_Tc181630020" 02知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc181630020 \h 3
\l "_Tc181630021" 03 知识梳理·方法技巧4
\l "_Tc181630022" 04 真题研析·精准预测9
\l "_Tc181630023" 05 核心精讲·题型突破18
\l "_Tc181630026" 题型一：求已知函数的极值或最值18
\l "_Tc181630028" 题型二：由函数在区间上的单调性求参数26
\l "_Tc181630030" 题型三：利用导数求函数的单调区间（含参与不含参）31
\l "_Tc181630032" 题型四：求曲线上一点处的切线方程41
\l "_Tc181630032" 重难点突破：利用导数判断或证明已知函数的单调性48
有关导数的北京高考试题，导数小题一般以课程学习情境为主,突出基础性;大题一般以探索创新情境为主,突出综合性,作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点:
(1)利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题要侧重通性通法,含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论;(2)不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题,要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法的渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养
1.导数运算问题
技巧总结
①几个常用函数的导数
(c为常数)

②基本初等函数的导数公式



③简单函数导数的运算法则
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方
④复合函数的导数
定义：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作
求导：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积
简称：由外到内依次求导
2.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
技巧总结
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
①在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
②过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
3.有关可导函数单调性问题
技巧总结
①．求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.
②利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路
①由函数在区间上单调递增(减)可知 ()在区间上恒成立列出不等式；
②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
③对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值．
4讨论单调区间问题
技巧总结
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
5.函数的极值
技巧总结
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
6.函数的最值
技巧总结
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
7.函数恒成立问题
技巧总结
恒成立问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
8.函数零点问题
技巧总结
函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
9.导数证明不等式问题
技巧总结
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
（4）对数单身狗，指数找基友
1．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
2．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【详解】表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
(2)求证：不经过点.
(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：，，）
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明见解析(3)2
【详解】（1），
当时，；当，；
在上单调递减，在上单调递增.
则的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），切线的斜率为，
则切线方程为，
将代入则，
即，则，，
令，
假设过，则在存在零点.
，在上单调递增，，
在无零点，与假设矛盾，故直线不过.
（3）时，.
，设与轴交点为，
时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知.所以，
则切线的方程为，
令，则.
，则，
，记，
满足条件的有几个即有几个零点.
，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
因为，
，
所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.

4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
【答案】(1)(2)答案见解析(3)3个
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
5．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
【答案】(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析
【详解】（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，又，∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为，
所以，
令，则，
∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
（3）解：原不等式等价于，
令，，
即证，
∵，
，
由（2）知在上单调递增，
∴，∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证.
6．（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
7．（2020·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，所以，
不妨设时，结果一样，
则，所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
题型一：求已知函数的极值或最值
【典例1-1】设函数，若函数在处取得极小值8.
(1)求的值；
(2)求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值；
(3)证明：曲线是中心对称图形.
【答案】(1)，.(2)，最小值为8，，最大值为24.(3)证明见解析
【详解】（1），
由题意函数在处取得极小值8得，
解得，.此时，
当或时，f′x>0，当时，f′x0，ℎx在上单调递增，
当时，ℎ′x0，函数在上单调递增，
若，f′x0，函数在上单调递增；
当时，，此时f′x≥0，函数在上单调递增；
当时，，
若，f′x>0，函数在上单调递增，
若，f′x0，函数在上单调递增；
综上所述：
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
因为对于，不等式恒成立，
所以，
由成立，所以①成立，
故时，可得对于，不等式恒成立，
当时，对于，不等式恒成立，
若时，也有①恒成立，满足题设；
以下讨论且，
此时，只需，
即，
令，所以，
令，所以，
所以，即，
所以在上单调递增，又，
所以时，成立，
综上所述：的取值范围为．
【典例3-2】已知函数
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)讨论的单调区间.
【答案】(1)(2)答案见解析
【详解】（1）.
故的图象在点处的切线方程为.
（2）.
①当时，令，解得，有
故单调递增区间为，单调递减区间为.
②当时，令，解得或.
当时，
故单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，的单调递减区间为，无单调递增区间.
当时，
单调递增区间为，单调递减区间为.
综上，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）
（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）
含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）
（5）导数图像定区间
【变式3-1】设函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，判断的单调性．
【答案】(1)极小值为，无极大值(2)答案见解析
【详解】（1）由已知，的定义域为0,+∞，，
当时，令，得，
又，所以．当时，f′x0．
因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值．
（2）由已知，的定义域为0,+∞，，
令，
则在上递减，在上递增，因此，有最小值．
①当时，，则f′x≥0，此时，函数在0,+∞上单调递增；
②当时，令f′x>0，可解得，或，
令，可得，
此时，函数在和上单调递增；上单调递减．
综上：时，在0,+∞上单调递增；
时，在和上单调递增；上单调递减.
【变式3-2】已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当时，求证：时，成立.参考数据.
【答案】(1)(2)答案见详解(3)证明见详解
【详解】（1）解：当时，，，
则，，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，即.
（2）由题意可知：的定义域为，且，
（i）当时，，当时，f′x0，
所以在0,+∞上递减，在上递增；
（ⅱ）当时，令，则或，
①当，即时，，所以函数在上递增；
②当时，即时，
当时，f′x0，
所以在上递减，在和上递增；
③当时，即时，
当时，f′x0，
所以在上递减，在和0,+∞上递增.
（3）当时，由（2）可知：在0,1上递减，在1,+∞上递增，
则，
构建，则，当时，；当时，；
可知在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，
则，可得，即当时，成立
【变式3-3】已知函数.
(1)若，求的最小值；
(2)若存在极小值，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）函数的定义域为，当时，，
时，，在区间上单调递减，
时，，在区间上单调递增.
所以当时，取得最小值.
（2）函数的导函数为.
（1）当时，，在区间上单调递减，所以无极值.
（2）当时，令，得.
当变化时，与的变化情况如下表：
由上表知，当时，取得极小值.
综上，的取值范围为.
【变式3-4】已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间为，的单调递减区间(2)
【详解】（1）定义域为，
，设恒成立
所以在上是减函数，且
则当时，，即，则当时，，即，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间
（2）由（1）知，所以，
令，，
当时，，当时，，
所以在上的最小值为，
所以若关于的不等式有解，则，
即.
【变式3-5】已知函数（）在处取得极小值.
(1)求a的值，并求函数的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)最大值为，最小值为1.
【详解】（1），
由题意得，解得，，定义域为R，
，
令f′x>0得或，令f′x0，得或，
由f′x0，即，所以，函数在R上单调递增，
且当时，；当时，.
所以，对任意的，直线与函数的图象都有一个交点，
所以，当有且仅有一个零点时，的取值范围为R.
3．已知函数在处有极值-1.
(1)求实数a，b的值;
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)(2)的单调递增区间为，单调递减区间为
【详解】（1）已知函数，则，
由题意，解得 ，
当时，，，
当或时，f′x>0，当时，f′x0，从而f′x>0，所以函数在0,m上单调递增，
当时，gx0在区间上恒成立，
所以在区间上是增函数，所以当时，；
②当，即时，f′x与的情况如下：
所以当时，；
③当即时，f′x