重难点01：基本不等式的应用-2025年高考数学二轮复习讲与练（北京专用）

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1.几个重要的不等式
①
②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
2.不等式变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
3.不等式应用的步骤：
①根据实际应用题意列出有关函数关系式并变形为基本不等式的格式
②利用上述重要不等式及不等式的变形求出最值
③进行验证：是否满足当且仅当（不等式成立的条件）
4.利用基本不等式解决不等式应用时注意事项
①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数
②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；正所谓“积定和最小，和定积最大”
③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
二、题型精讲精练
【题型训练-刷模拟】
1．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过（ ）后池水中药品的浓度达到最大．
A．B．C．D．
2．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（ ）
A．2kmB．3kmC．4kmD．5km
3．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（ ）
A．2080B．20C．D．400
4．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客得到的黄金实际克数是t，则（ ）
A．B．C．D．
5．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．110B．116C．119D．122
6．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站（ ）千米处，才能使两项费用之和最小.
A．3B．4C．5D．6
7．某生物制药公司为了节约污水处理成本，引进了一批新型生物污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处理成本y（元）与月处理量x（吨）满足函数关系式，则每吨的月平均处理成本最低为（ ）
A．200元B．220元C．300元D．400元
8．某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，若当贮水池一边长x时，最低总造价z最小，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．《几何原本》第二卷的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理和公理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且，设，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
10．要制作一个长为米，宽为米，高为1米，容积为4立方米的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）
A．80元B．120元C．160元D．240元
11．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（ ）
A．无法确定采用哪种方案划算B．两种方案一样划算
C．采用第一种方案划算D．采用第二种方案划算
12．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（ ）
A．5B．6C．7D．8
13．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（ ）
A．B．C．D．
14．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，则（ ）
A．当时，的面积取得最大值
B．当时，的面积取得最大值
C．当时，的面积取得最大值
D．当时，的面积取得最大值
15．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（ ）
A．大于10g；B．小于10g；C．等于10g；D．不能判断大小．
16．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．无法确定
17．五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛离地面1.5米，则这位在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（ ）
A．B．C．3D．2
18．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（ ）

A．B．C．D．
19．为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（ ）

A．米B．米C．米D．米
20．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000B．10480C．10816D．10818
21．小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73B．1.41C．2.24D．2.45
22．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（ ）
A．B．
C．D．以上都有可能
23．足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个11人制的标准足球场，其底线宽，球门宽，且球门位于底线的中间，在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线上的点处起脚射门，当最大时，点离底线的距离约为（ ）
A．B．C．D．
24．某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A．10B．15C．30D．45
25．某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6年B．7年C．8年D．9年